Martyna Majdecka 3 LO w Sopocie TRYSEKCJA KĄTA Martyna Majdecka 3 LO w Sopocie

PROBLEM TRYSEKCJI KĄTA ROZWIĄŻEMY GDY: Do konstrukcji wykorzystamy tylko cyrkiel i linijkę​ Całą konstrukcję przeprowadzimy w skończonej liczbie kroków Znajdziemy procedurę pozwalającą dokonać trysekcji dowolnego kąta

WIELKIE PROBLEMY MATEMATYKI GRECKIEJ Podwojenie sześcianu Trysekcja kąta Kwadratura koła

SPOSOBY KONSTRUKCJI TRYSEKCJI RÓŻNYCH KĄTÓW, RÓŻNYMI METODAMI

Skonstruuj 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝟑 mając dany 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝜶=𝟒 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝜶−𝟑𝒄𝒐𝒔𝜶 więc 𝒄𝒐𝒔 𝝋 𝟑 =𝒙 spełnia zależność: 𝒄𝒐𝒔 𝝋=𝟒 𝒙 𝟑 −𝟑𝒙 𝒇 𝒙 =𝟒 𝒙 𝟑 −𝟑𝒙−𝒄𝒐𝒔𝝋

Kąt 90° Kąt 60° 𝒇 𝒙 =𝟒 𝒙 𝟑 −𝟑𝒙 𝒇 𝒙 =𝟒 𝒙 𝟑 −𝟑𝒙− 𝟏 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° =𝟎 𝟐𝒇 𝒙 =𝟖 𝒙 𝟑 −𝟔𝒙−𝟏 𝟏,−𝟏, 𝟏 𝟐 ,− 𝟏 𝟐 , 𝟏 𝟒 ,− 𝟏 𝟒 , 𝟏 𝟖 ,− 𝟏 𝟖 𝒇 𝒙 =𝟒 𝒙 𝟑 −𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎° =𝟎

METODA ARCHIMEDESA

SPRAWDZENIE: ∢𝑾𝑷𝑪= 𝟐𝜷=∢𝐖𝐂𝐏 ∢𝑫𝑷𝑾=𝟏𝟖𝟎°−𝟐𝜷 ∢𝑷𝑾𝑪= 𝟏𝟖𝟎°−𝟒𝜷 𝜷+ 𝟏𝟖𝟎°−𝟒𝜷 +𝜶=𝟏𝟖𝟎° 𝜶=𝟑𝜷

KONSTRUKCJA TRYSEKCJI KĄTA 𝟗𝟎° ∢𝑨𝑩𝑫=𝟔𝟎° ∢𝑨𝑩𝑪= 𝟗𝟎° ∢𝑫𝑩𝑪=𝟑𝟎°= 𝟏 𝟑 ∢𝑨𝑩𝑪

INNE METODY KONSTRUKCJI TRYSEKCJI KĄTA

Kąt 60° 4 𝑥 3 −3𝑥− 1 2 4 𝑥 3 −3𝑥− 1 2 =0 𝑥 3 − 3 4 𝑥− 1 8 =0 𝑥 4 − 3 4 𝑥 2 − 1 8 𝑥=0

𝒙 𝟒 − 𝟕 𝟒 𝒙 𝟐 + 𝟒𝟗 𝟔𝟒 + 𝒙 𝟐 − 𝟏 𝟖 𝒙+ 𝟏 𝟐𝟓𝟔 − 𝟏𝟗𝟕 𝟐𝟓𝟔 =𝟎 𝒙 𝟐 − 𝟕 𝟖 𝟐 + 𝒙− 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟏𝟗𝟕 𝟐𝟓𝟔 𝒙− 𝟏 𝟏𝟔 𝟐 + 𝒚− 𝟕 𝟖 𝟐 = 𝟏𝟗𝟕 𝟐𝟓𝟔

KONSTRUKCJE NIEKLASYCZNE

KONSTRUKCJA Z „WSTAWKĄ” ∢𝑨𝑶𝑪=∢𝑨𝑬𝑶=𝟐∢𝑨𝑪𝑶=𝟐∢𝑪𝑶𝑩 𝑶𝑨 =𝒅 𝑪𝑫 =𝟐𝒅

KONCHOIDOGRAF

KWADRATRYSA SPIRALA ARCHIMEDESA

DOWÓD NA NIEWYKONALNośĆ TRYSEKCJI

PIERRE LAURENT WANTZEL Żył w latach 1814-1848​ Był francuskim matematykiem i autorem twierdzenia o konstruowalności figur płaskich za pomocą cyrkla i linijki​. ​ Opisał precyzyjnie warunki wykonalności konstrukcji przy użyciu cyrkla i linijki i rozwiązał tym samym problem trysekcji kąta oraz podwojenia sześcianu.

𝒙 𝟑 −𝟑𝒙−𝟏=𝟎 𝒙= 𝒄 𝒅

2. Jeżeli (1), to możemy także dokonać trysekcji kąta 𝟔𝟎° 1. Możemy dokonać trysekcji dowolnego kąta tylko za pomocą cyrkla i linijki 2. Jeżeli (1), to możemy także dokonać trysekcji kąta 𝟔𝟎° 3. Jeżeli (2), to możemy znaleźć konstruowalne rozwiązanie równania 𝒄 𝟑 −𝟑𝒄 𝒅 𝟐 − 𝒅 𝟑 =𝟎 4. Jeżeli (3), to równanie 𝒄 𝟑 −𝟑𝒄 𝒅 𝟐 − 𝒅 𝟑 =𝟎 ma wymierne rozwiązanie 5. To wymierne rozwiązanie musi być równe 𝟏 albo −𝟏

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!

ŹRÓDŁA: William Dunham- „Matematyczny wszechświat” Marek Kordos- „ Zobaczyć to czego nie widać, czyli kultura matematyczna w praktyce” Dariusz Laskowski- „Jak tego dowieść - krótka opowieść. Dowody matematyczne dla każdego” M. Łuczyński, Z. Opial- „O konstrukcjach trójkątów” Maciej Bryński, Ludomir Włodarski- „Konstrukcje geometryczne”