Transformacja Z -podstawy Analogowa funkcja x(t) spróbkowana Transformata Laplace’a.

Z twierdzenia o przesunięciu:

Transformata Z ciągu x(n) Transformata odwrotna

Dla sygnału o skończonej liczbie punktów:

Czym jest transformata Z? Dla sygnałów dyskretnych jest tym, czym transformata Laplace’a dla sygnałów analogowych – umożliwia analizę stanów dynamicznych układów Jest uogólnieniem (rozszerzeniem) Transformaty Fouriera

Określenie obszaru zbieżności:

Przykład 1 Dana funkcja (impuls dyskretny): Z definicji  istnieje jedynie jej pierwszy składnik:

Przykład 2 Dany sygnał: Z definicji  transformata składa się z nieskończenie wielu składników:

Obszar zbieżności:

Przykład 2 cd Dany sygnał: dla a=1 sygnał jest dyskretnym skokiem jednostkowym a jego transformata Z:

Właściwości transformacji Z Liniowość Przesunięcie Twierdzenie o różniczkowaniu Twierdzenia graniczne

Liniowość

Przykład Dany jest sygnał:

Z-transformata szeregu opóźnionego:

Twierdzenie o różniczkowaniu

Przykład zastosowania Dany jest sygnał dyskretny Z twierdzenia o różniczkowaniu:

Twierdzenie graniczne

Odwrotna transformata Z Proces otrzymania x(n) z X(z) zwany transformatą odwrotną może być zrealizowany poprzez rozwiązanie całki zespolonej wzdłuż zamkniętej krzywej c na płaszczyźnie Z obejmującej początek układu, leżącej w obszarze zbieżności i mającej kierunek odwrotny do kierunku ruchu wskazówek zegara.

W pzypadku funkcji wymiernej X(z) Proces otrzymania x(n) z X(z) można przeprowadzić na bazie rozkładu na ułamki proste. Przykład: Z rozkładu na ułamki proste:

Rezultat niezadawalający: Bowiem nie posiada struktury standardowej transformaty znanego sygnału! Lekarstwo? Taką postać rozłóżmy na ułamki proste

Mnożąc obustronnie przez z:

Inna koncepcja wyznacania transformaty odwrotnej aby uzyzskać szereg potęgowy dzielimy bezpośrednio licznik przez mianownik.. Przykład: PROCEDURA DZIELENIA

Twierdzenie o splocie dyskretnym Dowód:

Z DEFINICJI X(z): Z iloczynów funkcji

Przykład

Splot graficznie .

Weryfikacja

Funkcja przejściowa systemu dyskretnego Odpowiedź systemu LTI na wymuszenie x(n) Odpowiedź impulsowa

Dla systemów o zerowych warunkach początkowych (x(n)=0 dla n<0) Twierdzenie o transformacie splotu

Transformata Z dyskretnego sygnału wejściowego Transformata Z sygnału wyjściowego Transformata Z odpowiedzi impulsowej h(n) układu o zerowych warunkach początkowych = FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

Ogólny opis systemu LTI : Dyskretny sygnał wejściowy Dyskretny sygnał wyjściowy Równanie różnicowe systemu LTI

Po zastosowaniu Transformacji Z : Transformata Z dyskretnego sygnału wejściowego Transformata Z dyskretnego sygnał wyjściowego

Po elementarnych przekształceniach: Transformata Z odpowiedzi impulsowej h(n) układu o zerowych warunkach początkowych = FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

Przykład reprezentacji systemu za pomocą blokowego diagramu: u(n)

Wykorzystanie rozkładu na ułamki proste funkcji Y(z)/z:

FUNKCJA PRZEJŚCIOWA = FUNACJA OBWODOWA

Zera i bieguny funkcji H(z) zera funkcji Stały współczynnik bieguny funkcji

Dla biegunów jednokrotnych i stopnia licznika mniejszego od mianownika: rozkład na ułamki proste ==> pomnożenie przez z

Odpowiedź impulsowa systemu: Transformata odwrotna Z

Właściwości odpowiedzi h(n) dla biegunów rzeczywistych dodatnich:

Właściwości odpowiedzi h(n) dla biegunów rzeczywistych ujemnych:

Bardziej skomplikowany przypadek: bieguny zespolone

Prosty przykład Dany system dyskretny opisany funkcją: Cel: wyznaczenie dyskretnej odpowiedzi impulsowej h(n)

Rozwiązanie Znajdujemy bieguny:

Rozwiązanie (cd) oraz współczynniki rozkładu H(z)/z na ułamki proste

Realizacja rozkładu w Matlabie: [r,p,k]=residue(L,M) r = -6.756756756756767e-001 -9.459459459459463e-001i -6.756756756756767e-001 +9.459459459459463e-001i 1.351351351351353e+000 p = 4.999999999999992e-001 +5.000000000000000e-001i 4.999999999999992e-001 -5.000000000000000e-001i -2.000000000000000e-001 k = []

Parę słów o stabilności Dla systemów przyczynowych LTI, n<m, brak wspólnych składników w liczniku i mianowniku: Składniki odpowiedzi impulsowej w przypadku biegunów jednokrotnych

Rozwiązywanie równań różnicowych z wykorzystaniem transformaty Z. ETAPY PROCESU Transformacja Z obu stron równania różnicowego (uwzględnienie warunków początkowych) Twierdzenie o przesunięciu Przekształcenie zależności  rozwiązanie równania algebraicznego względem transformaty Z sygnału wyjściowego. Obliczenie transformaty odwrotnej

Przykład Rozwiązać równanie różnicowe: gdzie:

Rozwiązanie (1) Po zastosowaniu obustronnej transformacji Z do równania: .

Rozwiązanie (2) po rozwiązaniu względem Y(z): .

Rozwiązanie (3) Znajdujemy rozkład Y(z)/z na ułamki proste: .

Realizacja rozkładu w Matlabie: [r,p,k]=residue(L,M) r= 6.000000000000000e-001 8.500000000000002e-001 -4.500000000000003e-001 p = 1.999999999999999e+000 -1.000000000000000e+000 9.999999999999999e-001 k = []

Rozwiązanie (4) .

Nieco inna koncepcja rozkładu L=[1 -2.1 2] M=[1 -2 -1 2] [r,p,k]=residuez(L,M)

Schemat blokowy systemu opisanego zadanym równaniem:

Porównanie DTFT i Z DTFT ciągu {xm} w szczególnym wypadku dla x(m)=0 przy m<0

Porównanie DTFT i Z (2) porównując z Transformata Z ciągu {xm} m=0,1,2,... porównując z

Porównanie DTFT i Z (2) Odpowiedź częstotliwościowa systemu:

Przykład realizacji polecenia freqz(L,M) dla systemu opisanego funkcją H(z)