Pamięci Henryka Pawłowskiego
Dodatnie liczby całkowite m i n spełniają warunek Udowodnić, że I sposób.
Dodatnie liczby całkowite m i n spełniają warunek Udowodnić, że II sposób.
Udowodnić, że dla dowolnych, dodatnich liczb rzeczywistych x i y nierówności są równoważne.
Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki Wykazać, że
Liczby rzeczywiste x, y spełniają warunki Wykazać, że
Wykazać, że jeżeli dodatnie liczby całkowite m i n spełniają nierówność to prawdziwa jest nierówność
Niech a, b, c i d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi Niech a, b, c i d będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Udowodnić, że wykresy funkcji mają dokładnie jeden punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy wykresy funkcji mają dokładnie jeden punkt wspólny.
Dany jest czworokąt wypukły, w który można wpisać okrąg Dany jest czworokąt wypukły, w który można wpisać okrąg. We wnętrzu tego czworokąta wpisano cztery okręgi, z których każdy jest styczny do dwóch boków czworokąta i zewnętrznie styczny do dwóch sąsiednich okręgów. Udowodnić, że dwa z nich są przystające.
W trapezie ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD W trapezie ABCD podstawa AB jest dwa razy dłuższa od podstawy CD. Niech E jest środkiem przekątnej AC, a prosta BE przecina bok AD w punkcie P. Wyznaczyć stosunek pola czworokąta PECD do pola trapezu ABCD.
Na bokach BC, CA i AB trójkąta ABC obrano odpowiednio punkty K, L, M tak, że Udowodnić, że jeżeli odcinki AK, BL, CM mają punkt wspólny, to jest on środkiem ciężkości tego trójkąta.
Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Udowodnić, że jeżeli suma pól trójkątów AED i BEC jest równa sumie pól trójkątów AEB i CED, to jedna przekątna tego czworokąta połowi drugą.