Podstawy automatyki I Wykład 6 - 2015/2016 - studia stacjonarne Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 6 - 2015/2016 Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe obiektu dynamicznego

Transmitancja widmowa i charakterystyki częstotliwościowe Interesuje nas: Odpowiedź obiektu liniowego stacjonarnego na wymuszenie sinusoidalne Potrafimy już znajdować: Odpowiedź w dziedzinie czasu, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych Odpowiedź w dziedzinie zmiennej zespolonej s, na dowolne wymuszenie i przy dowolnych warunkach początkowych  Przypadek szczególny: zerowy warunek początkowy, prowadzi do pojęcia transmitancji operatorowej R.R. G(s) u(t) y(t) U(s) Y(s)

Przykładowy obiekt: Model matematyczny:

Dla: gdzie: Odpowiedź operatorowa układu:

Znajdźmy odpowiedź naszego przykładowego układu na wymuszenie sinusoidalne Interesują nas odpowiedzi na pytania:  czy odpowiedź układu będzie sinusoidalna dla t0 (ogólnie dla tt0 , gdzie t0 - chwila początkowa obserwacji)  co można będzie powiedzieć o stosunku amplitud sygnału wyjściowego i wejściowego - wzmocnieniu  co można będzie powiedzieć o kątach fazowych sygnału wyjściowego i wejściowego – przesunięciu fazowym

Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi Przedstawmy równanie różniczkowe modelu układu w postaci: Rozwiązanie tego równania uwy(t) (odpowiedź układu) dla dowolnego wymuszenia uwe(t) ma postać (patrz poprzednie wykłady): (*) Składowa swobodna odpowiedzi Składowa wymuszona odpowiedzi

Jaka będzie odpowiedź układu, jeżeli wymuszenie będzie miało postać: (**)

Podstawiając (**) do (*) Można pokazać (dobre zadanie do samodzielnego wykonania), że odpowiedź układu na sinusoidalne wymuszenie ma postać: Wniosek: odpowiedź układu na wymuszenie sinusoidalne nie jest sinusoidalna dla dowolnego t0

Odpowiedź częstotliwościowa układu Jeżeli interesujemy się odpowiedzią układu dla chwil t wystarczająco odległych od chwili t>>0 takich, że składowa swobodna będzie pomijalnie mała: sygnał odpowiedzi układu na wymuszenie wyniesie Odpowiedź częstotliwościowa układu

Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Odpowiedź ustalona układu liniowego stacjonarnego pobudzanego sygnałem sinusoidalnym o częstotliwości kątowej  jest również sygnałem sinusoidalnym o tej samej częstotliwości

Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Amplituda odpowiedzi ustalonej układu jest różna od amplitudy wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

Wejście Wyjście gdzie: Wnioski:  Kąt fazowy odpowiedzi ustalonej układu jest różny od kąta fazowego wymuszenia i zależy od częstotliwości kątowej ω sygnału wymuszającego (poza oczywistą zależnością od parametrów układu)

=

Policzmy: a. Stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego b. Różnicę kątów fazowych sygnału wyjściowego i sygnału wejściowego

a. Amplituda sygnału wejściowego: Amplituda sygnału wyjściowego: Stosunek amplitud:

b. Kąt fazowy sygnału wejściowego: Kąt fazowy sygnału wyjściowego: Różnica kątów fazowych:

Wróćmy do opisu dynamiki przykładowego układu za pomocą transmitancji operatorowej G(s) jest funkcją zespoloną zmiennej zespolonej s =σ+jω W szczególności jej wartości można obliczać dla s=jω

Policzmy zatem wartości G dla s=j Możemy poszukiwać dla przedstawienia w postaciach używanych dla liczb zespolonych

Przykład 1:  G(jω) ReG(jω) ImG(jω) |G(jω)| Przypomnieć sobie zasady rachunku liczb zespolonych!!!

Przykład 2: ReG(jω) ImG(jω)

Wykonajmy eksperyment – policzmy dla pokazanego na początku układu RL transmitancję dla s=j Moduł: Faza:

- z odpowiedzi częstotliwościowej - z transmitancji widmowej Porównanie: - z odpowiedzi częstotliwościowej - z transmitancji widmowej Wniosek:!!! Transmitancja dla s=j zawiera pełną informację o odpowiedziach częstotliwościowych (ustalonej odpowiedzi wymuszonej na sygnał sinusoidalny) układu dynamicznego dla różnych pulsacji ω

Definicja transmitancji widmowej Stąd: Transmitancja dla s=j stosowana jest jako narzędzie analizy układów dynamicznych i nosi nazwę transmitancji widmowej Definicja transmitancji widmowej

Matematycznie: G(jω) odwzorowuje dziedzinę (oś) pulsacji ω płaszczyznę zespoloną

Stosowane nazwy: - wzmocnienie amplitudowe, moduł - przesunięcie fazowe, faza

Przykład 3:

Przykład 3: c.d. Dyskusja: Jeżeli dla to Jeżeli dla to Element inercyjny zmniejsza amplitudę i wprowadza opóźnienie fazowe

Człon inercyjny jako filtr dolnoprzepustowy Dwustronnie odwrotne przekształcenie Laplace’a

Odpowiedź na wymuszenie skokowe o amplitudzie A Stała czasowa styczna w t = t0 Część rzeczywista P() Część urojona Q() Transmitancja widmowa Wzmocnienie statyczne Moduł: Faza:

a) charakterystyka (częstotliwościowa) amplitudowa b) charakterystyka (częstotliwościowa) fazowa

wykorzystamy zasadę superpozycji Przykład 4: Mamy, Niech wymuszenie: wykorzystamy zasadę superpozycji

Skorzystamy z właściwości działań na liczbach zespolonych przedstawionych w postaci wykładniczej Dla sygnału wymuszającego: Odpowiedź ustalona: W dziedzinie częstotliwości dla obiektu o transmitancji G(j): W przykładzie:

Po podstawieniu danych przykładu: Składowa wymuszenia (wejścia) o częstotliwości „poza” przepustowością filtru została odrzucona!

Dlaczego interesują nas odpowiedzi częstotliwościowe?  sygnały sinusoidalne są często wymuszeniami układów  Dowolne sygnały dobrze aproksymują się za pomocą szeregów Fouriera Możliwość eksperymentalnego wyznaczenia transmitancji widmowej

Formy graficznego przedstawiania transmitancji widmowej – charakterystyki częstotliwościowe Znane są następujące charakterystyki częstotliwościowe  charakterystyka amplitudowo – fazowa zwana charakterystyką Nyquist’a

 charakterystyka amplitudowa (a)  charakterystyka fazowa (b)

 charakterystyka składowej rzeczywistej transmitancji (a)  charakterystyka składowej urojonej transmitancji (b)

 charakterystyka logarytmiczna amplitudowa (a)  charakterystyka logarytmiczna fazowa (b) zwane wykresami Bode’a

Charakterystyki amplitudowo – fazowe; wykresy Nyquist’a

Przykład 5:

Charakterystyki logarytmiczne amplitudy i fazy; wykresy Bode’a Transmitancję dowolnego elementu można przedstawić:

Przykładowo:

Szkicując charakterystyki asymptotyczne przyjmuje się zwykle zgrubnie:

Charakterystyki amplitudy

Charakterystyka błędu modułu

Charakterystyki fazy

Charakterystyki rzeczywiste i asymptotyczne

Przykład 6: ω1 = 10

Przykład 7: ω1 = 10

Przykład 8:

Dokładność aproksymacji:

– koniec materiału prezentowanego podczas wykładu Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu