Okrąg wpisany w trójkąt. Opracowanie: Beata Szabat

Na którym rysunku okrąg jest wpisany w wielokąt? O okręgu mówimy, że jest wpisany w wielokąt jeżeli jest styczny do wszystkich boków tego wielokąta.

Jak określić położenie figur? . . . Okrąg wpisany w wielokąt. . . Wielokąt opisany na okręgu.

Jak skonstruować okrąg wpisany w trójkąt? Aby skonstruować okrąg wpisany w trójkąt należy: Znaleźć środek tego okręgu, czyli punkt równooddalony od boków tego trójkąta. Znaleźć promień tego okręgu, czyli odcinek łączący środek okręgu z punktem styczności.

1.Jak znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt? Boki trójkąta tworzą kąt, więc aby znaleźć punkt leżący w takiej samej odległości od obu ramion kąta należy skonstruować jego dwusieczną. Zawiera ona wszystkie punkty spełniające ten warunek, więc także szukany środek okręgu. Konstruując dwusieczne kątów trójkąta znajdziemy ich punkt przecięcia, który będzie środkiem szukanego okręgu wpisanego w trójkąt.

2.Jak znaleźć promień okręgu wpisanego w trójkąt? Aby szukany okrąg był styczny do boku, musi być spełniony warunek prostopadłości promienia poprowadzonego do punktu styczności. Oznacza to, że szukany promień musi być prostopadły do boku trójkąta. Aby znaleźć promień należy skonstruować prostą prostopadłą do wybranego boku trójkąta, która przechodzi przez środek okręgu (punkt przecięcia dwusiecznych).

Na dwusiecznej kąta leżą punkty równo oddalone od ramion tego kąta. Punkty styczności okręgu do ramion kąta leżą w takiej samej odległości od wierzchołka tego kąta r Dwusieczna kąta a r a

Konstrukcja okręgu wpisanego w trójkąt Kreślimy dwusieczne kątów trójkąta. Dwusieczne przecinają się w punkcie S. Odległości punktu S od boków trójkąta są równe. Promieniem SK kreślimy okrąg o środku w punkcie S. Okrąg jest styczny do boków trójkąta. Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt jest punkt przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta. C L M S A B K

Okrąg można wpisać w każdy trójkąt. Prostokątny: Wierzchołek kąta prostego, środek okręgu wpisanego i punkty styczności leżące na przyprostokątnych tworzą kwadrat o boku r.

Okrąg można wpisać w każdy trójkąt. Rozwartokątny:

Okrąg można wpisać w każdy trójkąt. Równoboczny: Środek okręgu wpisanego jest punktem przecięcia wysokości trójkąta.

Ciekawostka. W czworokącie opisanym na okręgu (kole) sumy długości przeciwległych boków są jednakowe. c a + c = b + d b d Jak można to uzasadnić? a

Przykład 1. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnej długości 10cm wpisano okrąg o promieniu 3cm. Oblicz pole tego trójkąta. x x 7 3 3 3 7

Rozwiązanie: Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

Zapraszam do rozwiązania zadań!