Wydział Mechaniczny ANALIZA MODALNA OPARTA NA WIDMIE SYGNAŁU Z WYKORZYSTANIEM OPTYMALIZACJI WIELOMA ROJAMI CZĄSTEK Marek Galewski Adrian Orzechowski

ANALIZA MODALNA 𝑦 𝑡 = 𝑚=1 𝑛𝑚 𝑌 0𝑚 𝑒 −2𝜋 𝑓 𝑚 𝜁 𝑚 𝑡 𝑠𝑖𝑛 2𝜋 𝑓 𝑚 1− 𝜁 𝑚 2 𝑡 = 𝑚=1 𝑛𝑚 𝑌 0𝑚 𝑒 − 𝛽 𝑚 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝜔 𝑚 1− 𝛽 𝑚 𝜔 𝑚 2 𝑡 Analiza modalna polega na badaniu dynamicznych właściwości struktur, której głównym celem jest identyfikacja jego charakterystycznych parametrów. Jest to powszechny problem i wiele metod obliczeniowych zostało opracowanych na przestrzeni lat. Większość z nich jest oparta na opisie wielomianowym w domenie częstotliwości lub czasu. Drgania swobodne mogą zostać opisane zaprezentowaną formułą. Jednak problem identyfikacji modalnej może zostać przeniesiony do problemu wyszukiwania zestawu optymalnych parametrów modelu matematycznego, który najlepiej opisuje analizowaną strukturę. Otwiera to możliwość wprowadzenia Optymalizacji z Użyciem Roju Cząstek do analizy modalnej. Model matematyczny drgań swobodnych może zostać opisany zaprezentowaną formułą, w której występują amplitudy, współczynniki tłumienia oraz częstotliwości naturalne poszczególnych modów. y - sygnał drgań swobodnych, m - numer moda, nm - liczba modów, Y0m - początkowa amplituda moda nr m, ζm - bezwymiarowy współczynnik tłumienia moda nr m, fm - częstotliwość naturalna moda nr m, t - czas, ωm = 2πfm - pulsacja moda nr m, βm = ωm fm - współczynnik tłumienia moda nr m.

OPTYMALIZACJA ROJEM CZĄSTEK Lokalizacja cząstki w przestrzeni rozwiązań xi i i Prędkość cząstki (zmiana lokalizacji w kolejnej epoce) vi Algorytm PSO został zaproponowany przez Kennedy’ego i Eberharta i zainspirowany był naturalnym, społecznym zachowaniem ptaków. Podstawową ideą PSO jest to, że każda cząstka stanowi potencjalne rozwiązanie (X) problemu i porusza się po przestrzeni wyszukiwania. Aby znaleźć optymalne rozwiązanie, cząstki wykorzystują informacje o swoich najlepszych wynikach, a także o najlepszych odkryciach całego roju, aby określić prędkość jego ruchu (V) w przyszłej epoce.

𝑣 𝑖,𝑑 =𝜔 𝑣 𝑖,𝑑 + 𝜑 𝑝 𝑟 𝑝,𝑑 𝑝 𝑖,𝑑 − 𝑥 𝑖,𝑑 + 𝜑 𝑔 𝑟 𝑔,𝑑 𝑔 𝑑 − 𝑥 𝑖,𝑑 𝑣 𝑖,𝑑 =𝜔 𝑣 𝑖,𝑑 + 𝜑 𝑝 𝑟 𝑝,𝑑 𝑝 𝑖,𝑑 − 𝑥 𝑖,𝑑 + 𝜑 𝑔 𝑟 𝑔,𝑑 𝑔 𝑑 − 𝑥 𝑖,𝑑 xi i vi Tu zaprezentowana została formuła dotycząca aktualizacji składowej d prędkości cząstki i. i - numer porządkowy cząstki d - aktualizowana składowa prędkośći , p, g - arbitralne wielkości określające udział poszczególnych składowych prędkości rp, rg - wielkości losowe <0,1> zgodne z rozkładem jednostajnym pi,d - najlepsza dotychczasowa pozycja cząstki gd - najlepsza globalna pozycja

PROPONOWANY ALGORYTM wiele rojów podział Zaproponowany algorytm składa się z wielu rojów, które podzielone są na dwie zasadnicze grupy. Pierwszą z nich są roje zwiadowców, których zadaniem jest określenie obszarów, w których znajdują się poszczególne częstotliwości modalne badanej struktury. Drugą grupą są roje pomocników, które skupiają się na wyszczególnionych wcześniej przedziałach częstotliwości w celu znalezienia odpowiednich częstotliwości, współczynników tłumienia oraz amplitud poszczególnych modów. Każdemu rojowi zwiadowców przypisany jest jeden rój pomocników. Poszczególne roje pracują równolegle.

PROPONOWANY ALGORYTM podział rang komunikacja między rojami si si+1 si+2 ... sn si s0 s1 ... si-1 Każdy z rojów zwiadowców posiada swoją unikalną rangę. Rangi są wykorzystywane w procesie komunikacji rojów. Komunikacja występuje w kierunku od roju wyższej rangi do roju niższej rangi (najwyższa ranga reprezentowana jest przez 0). Nie występuje ona w kierunku przeciwnym. Na grafie po lewej stronie widoczny jest przypadek, gdy rój centralny wysyła informacje do rojów o rangach niższych. Po prawej, rój centralny odbiera informacje od rojów o wyższych rangach. Rój 'centralny' jako wysyłający odbierający

PROPONOWANY ALGORYTM funkcja przydatności 𝑓𝑖𝑡 𝒙 𝑖 𝑗 = 𝑛=0 𝑛 𝑓𝐹𝐹𝑇 −1 𝐹𝐹𝑇 𝑡 𝑛 − 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,𝑗 𝑛 4 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝑃 𝑛, 𝑖,𝑗 , 𝑓𝑜𝑟 𝑗>0 𝑛=0 𝑛 𝑓𝐹𝐹𝑇 −1 𝐹𝐹𝑇 𝑡 𝑛 − 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,𝑗 𝑛 4 𝐴 𝑚𝑎𝑥 , 𝑓𝑜𝑟 𝑗=0 W tradycyjnym PSO funkcja przydatności, która wykorzystywana jest w momencie określenia stopnia poprawności wyników otrzymanych przez daną funkcję. W zaproponowanym rozwiązaniu idea tej funkcji została odpowiednio zmodyfikowana poprzez funkcję dodatkowej kary (P). FFTt - widmo amplitudy FFT zmierzonego sygnału, FFTxi,j - widmo amplitudy FFT sygnału wygenerowanego dla cząsteczki i o randze j, Amax - maksymalna amplituda w FFTxi,j P - funkcja dodatkowej kary.

POLITECHNIKA GDAŃSKA PROPONOWANY ALGORYTM mechanizm dodatkowej kary 𝑃 𝑛, 𝑖,𝑗 = 𝑘=0 𝑗 1+ 𝑛− 𝑛 𝐾 𝐿 𝑛 𝐾 − 𝑛 𝐾 𝐿 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,0 (𝑛) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,𝑗 𝑛 ,𝑛∈( 𝑛 𝐾 𝐿 , 𝑛 𝐾 > 𝑘=0 𝑗 1+ 𝑛 𝐾 𝑅 −𝑛 𝑛 𝐾 𝑅 − 𝑛 𝐾 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,0 (𝑛) 𝐴 𝑚𝑎𝑥 𝐹𝐹𝑇 𝑥 𝑖,𝑗 𝑛 , 𝑛∈( 𝑛 𝐾 , 𝑛 𝐾 𝑅 ) Funkcja dodatkowej kary wynika z obszarów zainteresowania pozostałych rojów. Kara ta jest odpowiednią składową całkowitej kary dla cząsteczki w przypadku, gdy znaleziona częstotliwość leży w obszarze zainteresowania innego roju. nfFFT - liczba próbek FFT, nK - częstotliwość znaleziona przez rój o randze k, nKL, nKR - najbliższe częstotliwości nK lewe/prawe minimum lokalne uzyskane na podstawie wygładzonego widma FFTt(n) z użyciem filtra Gaussa, obtained from.

PRZYKŁAD UŻYCIA Na zdjęciu zaprezentowana została cienkościenna struktura z brązu, która została poddana analizie z wykorzystaniem zaprezentowanego algorytmu. Sygnał reprezentujący drgania struktury został otrzymany poprzez użycie zamocowanych akcelerometrów widocznych na zdjęciu.

Na przedstawionym wykresie widoczne są widma amplitudowe zmierzonego sygnału oraz sygnału wygenerowanego na podstawie wyników z analizy przy użyciu zaproponowanego algorytmu. Jak widać zidentyfikowane mody pokrywają się z modami rzeczywistymi.

Powyżej widoczny jest sygnał odczytany z jednego z akcelerometrów, natomiast poniżej sygnał wygenerowany na podstawie zidentyfikowanych parametrów.

Mod m 1 2 3 4 Y0m [m/s2] -Identified 406.66335 281.8995 225.5973   -Identified 406.66335 281.8995 225.5973 156.1845 fm [Hz] -ERA 431.586 827.210 1785.460 2091.090 -pLSCF-d 432.550 826.820 1785.820 2087.390 -LSCE 433.268 828.368 1783.930 2087.660 432.728 827.051 1783.417 2078.901 ξm 0.01590290 0.00405383 0.0128091 0.0171588 0.00508105 0.00395397 0.0121051 0.0158959 0.00442277 0.00373500 0.0113763 0.0154250 0.00557891 0.00403926 0.0104341 0.0145219 Jako, że mamy tu do czynienia z sygnałem rzeczywistym, wyniki analizy zostały porównane z wynikami z powszechnie uznanych metod. Co do częstotliwości, to jest ona zbliżona do wyników z pozostałych metod. Co do tłumienia, widać znaczącą rozbieżność metody ERA dla moda 1 w stosunku do pozostałych wyników. Przedstawiony algorytm dodatkowo pozwala na wyznaczenie amplitudy poszczególnych modów, które nie są określone przez pozostałe metody. Podsumowanie Przedstawiony algorytm jest propozycją wykorzystania optymalizacji z użyciem rojów cząstek dla rzeczywistego problemu inżynierii. Może on być alternatywą dla powszechnie przyjętych metod. Przedstawione wyniki pokazują, że algorytm pozwala na osiągnięcie wyników porównywalnych do innych popularnych metod identyfikacji modalnej.

Badania zostały sfinansowane przez Polskie Narodowe Centrum Badań i Rozwoju, projekt TANGO1/266350/NCBR/2015: "Zastosowanie wybranych rozwiązań mechatronicznych do nadzorowania procesu skrawania przedmiotów wielkogabarytowych na wieloosiowych centrach obróbkowych” Dane pomiarowe dla rzeczywistego przykładu zostały zgromadzone w ramach projektu badawczego wspieranego przez Polskie Ministerstwo Nauki i Informatyzacji, nr grantu: 5T07C03725 Dane referencyjne dla rzeczywistego przykładu zostały przygotowane dzięki uprzejmości dr. inż. Michała Mazura, Politechnika Gdańska