7. Oscylator harmoniczny 7.1. Prosty ruch harmoniczny Drgania oscylatora harmonicznego są przykładem ruchu okresowego, gdzie przemieszczenie cząstki względem punktu spoczynkowego jest harmoniczną funkcją czasu: A – amplituda - faza φ – faza początkowa ω – częstość kołowa (ω=2p/T = 2pf) T – okres (czas jednego cyklu), jednostka: 1 s f – częstość (liczba drgań na sekundę), jednostka: 1 herc (Hz) Przykłady oscylatorów harmonicznych: układ masa-sprężyna, wahadło matematyczne, wahadło fizyczne, wahadło torsyjne obwód elektryczny z pojemnością i indukcyjnością

Przykład Drgania cząstki dane są równaniem: gdzie: [x] = m, [t] = s Określić: a) przemieszczenie cząstki w chwili t = 2.0 s b) prędkość w chwili t = 2.0 s c) okres drgań d) częstość drgań (a) przemieszczenie x(t), (b) prędkość v(t) = dx/dt oraz (c) przyspieszenie a(t) = dv/dt w prostym ruchu harmonicznym; faza początkowa φ = 0.

7.2. Oscylator masa - sprężyna Oscylator taki składa się ze sprężyny o stałej sprężystości k i doczepionej do niej masy m. Alternatywne określenie prostego ruchu harmonicznego: Jest to ruch cząstki pod wpływem siły proporcjonalnej do przemieszczenia ale z przeciwnym znakiem. Siła ta może być zapisana następująco (7.1) Zgodnie z drugą zasadą Newtona (7.2) oraz mając na uwadze, że otrzymuje się równanie (7.3) Sprężyna naciągnięta Sprężyna ściśnięta Masa m doczepiona do sprężyny porusza się bez tarcia po powierzchni poziomej. W ten sposób otrzymano różniczkowe równanie (drugiego rzędu) ruchu prostego oscylatora harmonicznego: (7.4)

Oscylator sprężynowy, cd. Rozwiązanie równania (7.4) można łatwo przewidzieć, jeżeli weźmie się pod uwagę, że druga pochodna x(t) względem czasu musi być równa x(t) z odpowiednim współczynnikiem i odwrotnym znakiem. Taką własność wykazuje funkcja: (7.5) Aby to sprawdzić obliczamy (7.5a) a następnie (7.5b) Wstawiając (7.5) i (7.5b) do (7.4) otrzymuje się (7.6) Zatem jeśli wtedy funkcja (7.5) jest rozwiązaniem równania (7.4). W ten sposób wartości m i k określają częstotliwość oscylatora lub okres (7.7) Stałe A i φ zależą od warunków początkowych.

7.3. Wahadło matematyczne Wahadło matematyczne stanowi punktowa masa m zawieszona na nieważkiej i nierozciągliwej strunie o długości L. Na masę m działają dwie siły : gravitacyjna Q i naprężenia struny R. Siła wypadkowa jest równa (7.8) Odgrywa ona rolę siły przywracającej położenie równowagi i jest skierowana przeciwnie do wychylenia. Dla małych kątów θ można posłużyć się przybliżeniem Równanie ruchu dla wahadła matematycznego można zatem zapisać następująco (7.9) Porównując (7.9) i (7.4) widać, że odpowiada stałej k , a zatem zgodnie z (7.7) otrzymuje się wyrażenie na okres drgań wahadła matematycznego Struna tworzy kąt θ z kierunkiem pionu. Ciężar Q = mg można rozłożyć na składowe radialną Qr i styczną Qs .

7.4. Wahadło fizyczne Wahadło fizyczne stanowi bryła sztywna zawieszona w punkcie nie pokrywającym się ze środkiem ciężkości i wykonująca drgania pod wpływem siły ciężkości. Analiza ruchu jest podobna do tej dla wahadła matematycznego, z tym że zamiast masy punktowej mamy bryłę o momencie bezwładności I a zamiast siły zwrotnej – zwrotny moment siły τ. Zwrotny moment siły można w przybliżeniu zapisać następująco (7.10) Równanie ruchu dla przemieszczeń kątowych (Chapter 7), z uwzględnieniem (7.10), można zapisać następująco (7.11) Po uporządkowaniu równanie (7.11) przyjmuje postać (7.12) Siła grawitacji przyłożona jest do środka ciężkości C w odległości h od punktu zawieszenia O . Biorąc pod uwagę formalne podobieństwo (7.12) i (7.4) można podać wyrażenie na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń w analogii do (7.7):

7.5. Energia oscylatora Energia oscylującego obiektu to ciągła zamiana energii kinetycznej w potencjalną i na odwrót. Energia kinetyczna Energia kinetyczna oscylatora jest związana z prędkością i masą poruszającego się obiektu a zatem dla położenia zmieniającego się w czasie wg. relacji otrzymuje się (7.13) Energia potencjalna Zmiana energii potencjalnej jest związana z pracą siły zachowawczej jaką jest siła sprężystości (patrz rozdz. 4), wg. zależności (7.14)

Energia oscylatora, cd. Energia całkowita Całkowita energia mechaniczna oscylatora jest równa sumie jego energii kinetycznej i potencjalnej (7.15) Ponieważ otrzymuje się z (7.15) (7.16) Całkowita energia oscylatora jest stała w czasie i proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Każdy układ oscylujący zawiera element sprężysty magazynujący energię potencjalną i element inercyjny posiadający energię kinetyczną. Potencjalna, kinetyczna i całkowita energie oscylatora liniowego w funkcji wychylenia x.

7.6. Oscylator harmoniczny tłumiony Rzeczywiste oscylatory są zawsze tłumione. W skład oscylatora tłumionego pokazanego na rysunku wchodzi masa m, sprężyna o stałej sprężystości k i bezmasowa łopatka zanurzona w naczyniu z lepkim płynem. Płyn jest przyczyną istnienia siły tłumiącej, która dla niewielkich prędkości jest proporcjonalna do prędkości (z przeciwnym znakiem): (7.17) gdzie b – stała tłumienia W takim przypadku równanie ruchu wahadła wzdłuż osi x można zapisać następująco: (7.18) Po uporządkowaniu otrzymuje się (7.19) Dzieląc obustronnie przez m i podstawiając otrzymuje się równanie (7.20)

Oscylator harmoniczny tłumiony, cd. Rozwiązaniem równania ( 7.20 ) dla małego tłumienia jest funkcja (7.21) gdzie: (7.22) Rozwiązanie (7.21) można traktować jako funkcję cosinus z malejącą w czasie amplitudą (7.23) Częstość kołowa ω oscylatora tłumionego jest mniejsza niż oscylatora nietłumionego ωo . Dla małego tłumienia, czyli dla ωo>> β, rozwiazanie (7.21) można aproksymować następująco (7.24) Amplituda oscylatora tłumionego maleja eksponencjalnie w czasie.

Przykłady 1. Wyznaczyć czas t = τ, po którym amplituda w ruchu harmonicznym tłumionym zmaleje e1/2 razy. Czas taki nazywany jest średnim czasem życia oscylacji lub czasem relaksacji. 2. Wyznaczyć czas, po którym energia mechaniczna oscylatora tłumionego zmaleje do połowy wartości początkowej. Energia oscylatora nietłumionego jest stała i wynosi ½ kA2 . Energia oscylatora tłumionego jest zmienna w czasie i może być zapisana (dla małego tłumienia) analogicznie, zastępując amplitudę A stałą w czasie amplitudą Ae-bt. Zatem otrzymuje się E(t) = ½ kA2 e-2bt

7.7. Oscylator tłumiony z wymuszeniem Oscylator tłumiony z wymuszeniem podlega oddziaływaniu ze strony zawieszenia, które drga ruchem harmonicznym z częstością w. W tym przypadku po prawej stronie równania ( 7.19 ) wstawiamy siłę wymuszającą F(t) (10.33) (7.25) Po podzieleniu obustronnie przez m oraz uwzględnieniu podstawień oraz otrzymuje się (7.26) Jeżeli siła wymuszająca jest równa , to rozwiązaniem równania (7.26) jest wyrażenie (7.27) gdzie amplituda x0 jest równa (7.27a) a kąt fazowy φ: (7.27b) Wahadło jest napędzane przez ruchome zawieszenie, które oscyluje z częstością kołową ω. Częstość drgań swobodnych jest równa ω0.

Oscylator tłumiony z wymuszeniem, cd. Analiza rozwiązania (7.27). Przypadek gdy częstość wymuszenia jest znacznie niższa niż częstość własna ω0 (ω << ω0) W tym przypadku: rezonans – sytuacja, w której amplituda przemieszczenia (albo prędkości, albo mocy) drgań jest maksymalna. Dla ω = ω0 amplituda x0 nie jest w ogólności maksymalna: gdy osiąga minimum. Amplituda oscylacji wymuszonych w funkcji częstości wymuszenia dla różnych tłumień (b1<b2<b3). Mniejsze tłumienie daje większy i węższy pik rezonansowy. Warunek na minimum jest zatem następujący: co daje:

Oscylator tłumiony z wymuszeniem, cd. Prędkość oscylatora tłumionego z wymuszeniem otrzymuje się w wyniku rózniczkowania wyrażenia ( 7.27): (7.28) Amplituda prędkości jest zatem równa: Z (7.29) wymnika, że amplituda prędkości jest maksymalna dokładnie dla ω = ω0 . Z analogii między drgającymi układami mechanicznym i elektrycznym otrzymuje się: maksimum prądu (rezonans prądowy) występuje dokładnie dla ω = ω0. Amplituda prądu w rezonansowym obwodzie elektrycznym dla różnych częstości źródła zasilania.