Matematyka czyli tam i z powrotem… Dawno, dawno temu, za X rzekami i Y lasami inteligentni ludzie badali za iloma rzekami i lasami mieszkali… Zespół wykonawczy: Bartłomiej Okrzesik, Mateusz Piechaczek, Tomasz Ćmok, Szymon Szulik Opiekun: Maria Kukułka

Figury geometryczne Rysowanie i określanie własności figur Obliczanie obwodów, pól figur płaskich Cechy przystawania trójkątów Okrąg wpisany i opisany Twierdzenie Pitagorasa Figury podobne Praktyczne zastosowania wiedzy o figurach

Rysowanie i określanie własności figur Prostokąt Wszystkie kąty proste Parami boki równe i równoległe Przekątne są równe i dzielą się na połowy Pole= a × b Obwód= 2×a + 2×b

Rysowanie i określanie własności figur Trójkąt (ogólnie) Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180°. Każdy bok trójkąta jest mniejszy od sumy dwóch pozostałych boków tego trójkąta Wysokością trójkąta nazywamu odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum Środkową boku trójkąta nazywamy odcinkiem łączącym środek tego boku z przeciwległym bokiem tego trójkąta. Każdy trójkąt ma trzy srodkowe przecinające się w jednym punkcie (p.S), który nazywamy środkiem ciężkości tego trójkąta. Obwód = a+b+c Pole = ½ a × h Podział trójkątów ze względu na boki: równoboczny, równoramienny, różnoboczny Podział trójkątów ze względu na kąty: ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny

Rysowanie i określanie własności figur Trójkąt równoboczny Ma wszystkie boki równej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60°. Wysokości dzielą się w stosunku 2:1 Obwód= 3a Pole= a2√3 : 4 Wysokość= a√3 : 2

Rysowanie i określanie własności figur Trójkąt prostokątny Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre Pole= ½ a × b Obwód= a+b+c b= przyprostokątna a= przyprostokątna c= przecwiprostokątna

Rysowanie i określanie własności figur Okrąg i koło Pole = ¶r2 Obwód = 2¶r Średnica najdłuższy odcinek w kole Promień = ½ średnicy Cięciwa odcinek koła nie przechodzący przez środek Styczna jest to prosta mająca 1 punkt wspólny z okręgiem Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy niż wpisany oparty na tym samym łuku Kąt wpisany oparty na średnicy jest kątem prostym Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe Pole wycinka = ¶r2 α : 360o Długość łuku = ¶r α : 180o

Rysowanie i określanie własności figur Trapez Para boków równoległych (podstawy) Pole = ½ (a+c) Va Obwód = a+b+c+d Suma wewnętrznych kątów równa się 360o Suma kątów przy jednym ramieniu jest równa 180o

Cechy przystawania trójkątów Posługiwanie się definicją w celu stwierdzenia czy dwie figury są przystające może okazać się kłopotliwe, znacznie prościej jest sprawdzić, czy badane figury spełniają tak zwane cechy przystawania, to znaczy warunki, które gwarantują ich przystawanie. Najprostsze i najważniejsze cechy przystawania dotyczą trójkątów: (cecha bbb) dwa trójkąty są przystające, gdy boki jednego z nich mają te same długości, co boki drugiego (cecha bkb) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa boki jednego z nich mają te same długości, co dwa boki drugiego, a kąty pomiędzy tymi bokami w jednym i drugim trójkącie są równe (cecha kbk) dwa trójkąty są przystające, gdy dwa kąty jednego z nich są równe dwóm kątom drugiego, a boki zawarte pomiędzy tymi kątami w jednym i drugim trójkącie są równe

Okrąg wpisany w trójkąt Aby wpisać okrąg w trójkąt należy wykreślić dwusieczne kątów tego trójkąta, przecięcie się dwusiecznych daje środek okręgu W każdy trójkąt da się wpisać okrąg

Okrąg opisany Aby opisać okrąg na trójkącie należy wykreślić symetralne boków tego trójkąta. Punkt przecięcia się symetralnych daje środek okręgu Na każdym trójkącie da się opisać okrąg

Twierdzenie Pitagorasa Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a2 + b2 = c2

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa Jeżeli w trójkącie o bokach długości a, b i c zachodzi równość a2 + b2 = c2, to trójkąt jest prostokątny.

Figury podobne Figury podobne to takie figury, które mają te same kąty. Np. α1 = α2 Ich boki są podobne w skali podobieństwa. Każdy z nich w tej samej. Jeśli stosunek boków w pierwszym trójkącie jest równy stosunkowi odpowiednich boków drugiego trójkąta to te figury są podobne.

Praktyczne zastosowanie wiedzy o figurach Praktyczne zastosowanie wiedzy o figurach płaskich: - obliczanie pól np. pola pod uprawę, pokoju (np. ile trzeba m kwadratowych paneli, płytek, tapety itp.), dachu (np. ilość potrzebnej blachy, dachówek) - obliczenie obwodów potrzeba siatki by ogrodzić działkę Obliczanie ilości przejechanej drogi z obwodu okręgu (np. liczniki rowerowe) Obliczanie odległości Wyznaczenia kąta prostego w terenie Wyznaczanie odległości przedmiotów, które są od nas bardzo daleko z podobieństwa trójkątów