Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
OBLICZENIA NUMERYCZNE
Advertisements

Modelowanie i symulacja
Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty
Instrukcje - wprowadzenie
Metody numeryczne część 1. Rozwiązywanie układów równań liniowych.
TOMASZ WALCZAK, BOGDAN MARUSZEWSKI, ROMAN JANKOWSKI
Wybrane zastosowania programowania liniowego
IV Tutorial z Metod Obliczeniowych
STATYSTYKA WYKŁAD 03 dr Marek Siłuszyk.
Cząsteczki homodwujądrowe
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
Metoda elementów skończonych cd.
Metoda szeregu Fouriera
Badania operacyjne. Wykład 2
Modelowanie konstrukcji z uwzględnieniem niepewności parametrów
Metody numeryczne wykład no 2.
Metody Numeryczne Wykład no 3.
Wykład no 11.
Liniowość - kryterium Kryterium Znane jako zasada superpozycji
Metoda węzłowa w SPICE.
Problemy nieliniowe Rozwiązywanie równań nieliniowych o postaci:
ZLICZANIE cz. II.
PROPOZYCJA PROJEKTÓW hp1d, hp2d, hp3d
Wyrównanie metodą zawarunkowaną z niewiadomymi Wstęp
1.
Równania i Nierówności czyli:
Metody numeryczne Wykład no 2.
Metoda różnic skończonych I
Wytrzymałość materiałów Wykład nr 6
Co to jest układ równań Układ równań – koniukcja pewnej liczby (być może nieskończonej) równań. Rozwiązaniem układu równań jest każde przyporządkowanie.
WYKŁAD 2 Pomiary Przemieszczeń Odkształcenia
MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r.
Metody numeryczne SOWIG Wydział Inżynierii Środowiska III rok
Obserwatory zredukowane
Równania rekurencyjne
Zakładamy a priori istnienie rozwiązania α układu równań.
METODY NUMERYCZNE I OPTYMALIZACJA
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych
Stabilność metod numerycznych
Źródła błędów w obliczeniach numerycznych
Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu
MS Excel - wspomaganie decyzji
Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Henryk Rusinowski, Marcin Plis
Metody numeryczne metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane tą drogą wyniki są na ogół przybliżone, jednak.
Modelowanie fenomenologiczne III
opracowała: Anna Mikuć
Metody Numeryczne Ćwiczenia 9
Metody Numeryczne Ćwiczenia 10 Rozwiązywanie liniowych układów równań metodą LU.
Tematyka zajęć LITERATURA
Metody rozwiązywania układów równań nieliniowych
Metody rozwiązywania układów równań liniowych
1. ZROZUMIENIE ZADANIA a)Co jest niewiadome? Czego szukamy? Co chcemy znaleźć? b)Co jest dane? Co wiemy o zadaniu? c)Jaki jest warunek? d)Czy warunek.
Tensometria elektrooporowa i światłowodowa Politechnika Rzeszowska Katedra Samolotów i Silników Lotniczych Ćwiczenia Laboratoryjne z Wytrzymałości Materiałów.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Temat – 5 Modelowanie różniczkowe.
Fundamentals of Data Analysis Lecture 12 Approximation, interpolation and extrapolation.
Modele nieliniowe sprowadzane do liniowych
Treść dzisiejszego wykładu l Analiza wrażliwości –zmiana wartości współczynników funkcji celu, –zmiana wartości prawych stron ograniczeń. l Podejścia do.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE. Równanie postaci W(x)=0 gdzie W(x) jest wielomianem stopnia n nazywamy równaniem wielomianowym stopnia n. Liczba, która jest rozwiązaniem.
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ
Wytrzymałość materiałów
Wytrzymałość materiałów
METROLOGIA Podstawy rachunku błędów i niepewności wyniku pomiaru
utwierdzonych dwu i jednostronnie
Wytrzymałość materiałów
Analiza numeryczna i symulacja systemów
Wytrzymałość materiałów
59 Konferencja Naukowa KILiW PAN oraz Komitetu Nauki PZITB
Jednorównaniowy model regresji liniowej
Wytrzymałość materiałów WM-I
Zapis prezentacji:

Dlaczego rozwiązując problem inżynierski warto od razu rozwiązać problem dualny Maciej Paszyński Katedra Informatyki Akademia Górniczo-Hutnicza Kraków, Poland paszynsk@agh.edu.pl home.agh.edu.pl/paszynsk

Przykładowy problem prosty Funkcja celu Sformułowanie silne PLAN PREZENTACJI Przykładowy problem prosty Funkcja celu Sformułowanie silne Sformułowanie słabe Dyskretyzacja metodą Galerkina Szacowanie dokładności rozwiązania numerycznego Wpływ dokładności rozwiązania globalnego na dokładność wartości funkcji celu Rozwiązanie problemu dualnego – funkcja wpływu Przykładowe problemy proste i dualne

PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY SFORMUŁOWANIE SILNE Szukamy , takiego że dla dla , Naszym celem jest obliczenie wartości funkcji w punkcie (zwana funkcją celu)

PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY SFORMUŁOWANIE SILNE / SFORMUŁOWANIE SŁABE Szukamy , takiego że dla dla , Sformułowanie słabe Szukamy , takiego że dla

PRZYKŁADOWY PROBLEM PROSTY DYSKRETYZACJA METODĄ GALERKINA Rozwiązanie przybliżone kombinacja liniowa funkcji bazowych przestrzeni Szukamy , takiego że dla Przykładowa baza przestrzeni Otrzymaliśmy układ równań liniowych o wyrazach o niewiadomych ai

SZACOWANIE DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA Jak oszacować dokładność ? Jeśli znam rozwiązanie dokładne uexact wówczas mogę oszacować błąd Jeśli nie znam rozwiązania dokładnego, wówczas mogę rozwiązać problem słaby na większej podprzestrzni uzyskując rozwiązanie i szacując błąd względny

ZALEŻNOŚĆ DOKŁADNOŚCI ROZWIĄZANIA A DOKŁADNOŚCI FUNKCJI CELU PROBLEM DUALNY Jak dokładność rozwiązania wpływa na dokładność wartości funkcji celu O tym mówi tzw. funkcja wpływu (influence function) którą otrzymuje się rozwiązując tzw. problem dualny

PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (1/4) Szukamy , takiego że dla Problem dualny Dla danego szukamy takiego że dla Tutaj Go to funkcja Greena Jeśli B jest symetryczna wówczas rozwiązanie problemu dualnego to rozwiązanie problemu prostego dla nowej prawej strony  LU faktoryzacje układu równań wykonuje się tylko raz

PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (2/4) Problem prosty Jednorodny transport ciepła Funkcja celu Q(u) = wartość rozwiązania (temperatura) w punkcie (0.6,0.6) Problem dualny Rozwiązanie problemu prostego – rozkład temperatury Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu („Influence function”)

PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (3/4) Problem prosty Liniowa sprężystość, problem rotacji belki Funkcja celu Q(u) = składowa przemieszczenia x na górze na środku belki Problem dualny Rozwiązanie problemu prostego – pole przemieszczeń Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu („Influence function”)

PROBLEM PROSTY / PROBLEM DUALNY – PRZYKŁAD (4/4) Problem prosty Liniowa sprężystość, obciążenie części maszyny Funkcja celu Q(u) = norma z naprężenia na środku górnego ramiona Rozwiązanie problemu prostego – pole przemieszczeń Problem dualny Rozwiązanie problemu dualnego funkcja wpływu („Influence function”)

PODSUMOWANIE Rozwiązanie problemu dualnego dla danej funkcji celu pozwala nam znaleźć funkcje wpływu (influence function) mówiącą o tym w jakim stopniu rozwiązanie problemu prostego wpływa na wartość funkcji celu. Dzięki temu wiemy np. w jaki sposób poprawiać dokładność rozwiązania problemu prostego żeby poprawić dokładność wartości funkcji celu. W przypadku problemów symetrycznych rozwiązanie problemu dualnego uzyskujemy używając drugiej dodatkowej prawej strony – koszt obliczeniowy rozwiązania to jedna LU faktoryzacja oraz 2 podstawiania wstecz.