Opracowała: Iwona Bieniek WIELOMIANY Opracowała: Iwona Bieniek

Wyrażeniami algebraicznymi nazywamy wyrażenia, w których występują symbole liczbowe bądź liczbowe i literowe połączone symbolami czterech działań (+, -,*,:) i pierwiastkowania oraz ewentualnie nawiasami wskazującymi kolejność działań. Przykłady Wyrażeniami algebraicznymi są: 3, -125, 5a, 10x2, a+b, 15xy, (a-b)(a+b), (x+y)(x-5)

DEFINICJA Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne będące iloczynem liczb i liter (zmiennych).

Podział jednomianów ze względu na: I. Ilość zmiennych: - jednej zmiennej: 0, -147, 6y, 2x5, ½a2 - wielu zmiennych: -3abc, 15x2yz3, πr2h II. Stopień jednomianu: - stopnia zerowego: 8, -147 Liczba 0 jest jednomianem, lecz nie przypisujemy jej stopnia stopnia pierwszego: 6y, 2b stopnia drugiego: ½a2, 9xy - stopnia trzeciego: -3abc, πr2h

DEFINICJA Wielomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest jednomianem lub sumą jednomianów.

Podział wielomianów ze względu na: I. Ilość zmiennych: - jednej zmiennej: 2x+1, x3+7x2-3, x4-8 - wielu zmiennych: πr2h, (a+b)(a-b), 5x +2xy II. Stopień wielomianu: - stopnia zerowego: -2, 11 - stopnia pierwszego: x-5, 3x+17 - stopnia drugiego: a2, ab, x2 –3x+5, 8x2+2 - stopnia trzeciego: abc, πr2h, 4/3 πr3

DEFINICJA Wielomianem stopnia n , gdzie n N, jednej zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję określoną wzorem: W(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2+ …+ a2x2 + a1x + ao , gdzie an,an-1,an-2, … a2,a1,ao R i an ≠0 i x R. liczby an,an-1,an-2, … a2,a1,ao nazywamy współczynnikami wielomianu, współczynnik ao nazywamy wyrazem wolnym wielomianu, anxn,an-1xn-1,an-2xn-2,…, a2x2, a1x, ao nazywamy wyrazami wielomianu, stopień wielomianu W oznaczamy st(W) i zapisujemy: st(W) = n, wielomiany oznaczamy dużymi literami alfabetu: W, G, H, Q …

PRZYKŁADY WIELOMIANÓW W(x) = -x3 Q(x) = ¼x3- 2x2 +3x H(x) = 3x3 +3x Wielomian trzeciego stopnia W(x)=a2x2 +a2x2 +a1x+ao gdzie a3 ≠0 trzeci W(x) = x2 H(x) = 3x2 - 8x +10 Funkcja kwadratowa W(x)= a2x2 + a1x +ao gdzie a2 ≠0 drugi W(x) = 3x G(x) = -6x +7 Funkcja liniowa W(x)= a1x +ao gdzie a1 ≠0 pierwszy W(x) = -24 (-24= -24x0) H(x) = ¾ Funkcja stała W(x)= ao gdzie ao ≠0 zerowy Przykłady Nazwa wielomianu Wzór ogólny Stopień

Ćwiczenie 1. Uporządkuj wielomian W. Podaj jego stopień i wypisz współczynniki wielomianu. W(x)= 3x + x3 + 6x5 – 2 – 15x2 – x4 b) W(x)= 5 - ½x + 2x10 – x6 + 3x2 praca domowa: c) W(x)= 2x6 - x3 + ⅝x4 – x - ¾x5

WIELOMIANY RÓWNE DEFINICJA Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach. Przykład: W(x)= x3 – 3x + 5x2 i H(x)= -3x + x3 + 5x2 W(x)= x2 + 8x4 -7x3 -21 i G(x)= -21 -7x3 + x2 + 8x4

Ćwiczenie 2. Podaj przykład wielomianu G(x), takiego, że G(x)=W(x) jeżeli: W(x)= -x2 + 2x3 – 4 + 5x b) W(x)= 3x5 -2 + 6x4 + 2x8 + x7

DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH: Dodawanie wielomianów Odejmowanie wielomianów Mnożenie wielomianów Dzielenie wielomianów

Dodawanie i odejmowanie wielomianów Suma i różnica wielomianów jest wielomianem – aby je wyznaczyć, dodajemy lub odejmujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach.

Przykład: Dane są wielomiany W(x)= x4 – 5x3 +8 i G(x)= 5x3 – x2 +9. Wyznacz: a) W(x) + G(x) b) W(x) - G(x) Rozwiązanie: W(x) + G(x) = (x4 – 5x3 +8) + (5x3 – x2 +9) = x4– x2+ 17 b) W(x) - G(x) = (x4 – 5x3 +8) - (5x3 – x2 +9) = x4 – 5x3 +8 - 5x3 + x2 – 9= x4 –10x3 + x2- 1

Mnożenie wielomianów Iloczyn wielomianów jest wielomianem – obliczamy go, mnożąc wszystkie wyrazy pierwszego wielomianu przez wszystkie wyrazy drugiego wielomianu.

Przykład: Dane są wielomiany W(x)= x4 – 5x3 +8 i G(x)= 5x3 – x2 +9. Wyznacz: a) -4W(x) b) W(x) * G(x) Rozwiązanie: a) -4W(x) = -4(x4 – 5x3 +8) = -4x4 + 20x3 – 32 b) W(x) .G(x) = (x4 – 5x3 +8) (5x3 – x2 +9)= x4(5x3–x2 +9) – 5x3(5x3–x2 +9) +8(5x3–x2+9)= 5x7– x6 + 9x4 – 25x6 + 5x5 - 45x3 + 40x3 – 8x2 + 72= 5x7- 26x6 + 5x5 + 9x4 - 5x3 – 8x2 + 72

KONIEC