Rozwiązywanie układów równań Radosław Hołówko Konsultant: Agnieszka Pożyczka

Rozwiązywanie układów równań Układ równań Rozwiązania układu równań Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań Metoda podstawiania Metoda przeciwnych współczynników

Układ równań Układ równań to zapis dwóch lub więcej równań (jedno pod drugim połączonych klamrą), w których występuje więcej niż jedna niewiadoma. Przykłady: 2x+3y=7 3x+y=8 a+b=3 b-c=4 c+2a=5

Układ równań Jeżeli układ tworzą dwa równania z dwiema niewiadomymi to parę (pary) liczb, która spełnia oba te równania jednocześnie, nazywamy rozwiązaniem układu równań. Przykład: 4x=20 y=x+2 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb: x=5 i y=7

Rozwiązania układu równań Układ równań może być: a) układem oznaczonym – gdy układ równań ma jedną parę rozwiązań Przykład: 2x+y=4 4x+4y=8 Rozwiązaniem jest para liczb x=2 i y=0

Rozwiązania układu równań b) układem sprzecznym – gdy układ równań nie ma rozwiązania Przykład: 5x+y=4 5x+y=7 stąd: 0=3 co jest fałszem Zatem żadna para liczb nie spełnia tego układu równań.

Rozwiązania układu równań c) układem nieoznaczonym – gdy układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań Przykład: 2x+y=2/-2x 4x+2y=4 y=2-2x 4x+2y=4 4x+2(2-2x)=4 4x+4-4x=4 0∙x=0 Ponieważ x może być dowolną liczbą, zatem układ jest spełniony przez pary liczb spełniających równanie: 2x+y=2

Algebraiczne metody rozwiązywania układów równań Układy równań możemy rozwiązać za pomocą następujących metod: metodą podstawiania metodą przeciwnych współczynników

Metoda podstawiania Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu jednej niewiadomej w jednym z równań, a następnie podstawienia wyniku do drugiego równania.

Metoda podstawiania Przykład: 2x+4y=16/:2 3x-2y=8 x+2y=8/-2y 3x-2y=8 x=8-2y 3(8-2y)-2y=8 x=8-2y 24-6y-2y=8/-24 x=8-2y -8y=-16/:(-8) Z pierwszego równania wyznaczamy x W drugim równaniu w miejsce x podstawiamy: 8-2y

Metoda podstawiania Przykład c.d. x=8-2y y=2 x=8-2∙2 y=2 x=4 y=2 Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x=4 i y=2 W pierwszym równaniu w miejsce y podstawiamy 2

Metoda przeciwnych współczynników Polega na doprowadzeniu jednego z równań do postaci w której współczynnik przy jednej ze zmiennych (x lub y) będzie liczbą przeciwną do współczynnika tej samej zmiennej w drugim równaniu. Następnie równania należy do siebie dodać, pozbywając się jednej z niewiadomych. Uwaga: Czasami należy wykonać odpowiednie działania na obu równaniach.

Metoda przeciwnych współczynników Przykład 1: 3x+2y=2/∙(-2) 5x+4y=6 -6x-4y=-4 + 5x+4y=6. -x=2/∙(-1) x=-2 3(-2)+2y=2/+6 Mnożąc pierwsze równanie przez (-2) otrzymamy przeciwne współczynniki przy zmiennych y, w obu równaniach Dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie I-go stopnia z jedną niewiadomą Obliczamy x Wstawiamy x=-2 do jednego z równań

Metoda przeciwnych współczynników Przykład c.d. x=-2 2y=8/:2 x=-2 y=4 Odpowiedź: Rozwiązaniem układu równań jest para liczb x=-2 i y=4

Metoda przeciwnych współczynników Przykład 2 3x+4y=2/∙5 5x+7y=1/∙(-3) 15x+20y= x-21y=-3 -y=7 y=-7 5x+7∙(-7)=1 y=-7 5x=50 y=-7 x=10 Odpowiedź: Rozwiązaniem jest para liczb x=10 i y=-7 W tym przykładzie należy wykonać odpowiednie działania na obu równaniach

Dziękuję za uwagę. Proszę o rozwiązanie zadań umieszczonych w karcie pracy.