Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody sztucznej inteligencji Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Wykład /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Systemy rozmyte – wnioskowanie – podejście formalne

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Wnioskowanie rozmyte, nazywane też rozumowaniem przybliżonym, jest procedurą wnioskowania, która wyprowadza wnioski w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i znane fakty Wnioskowanie w systemie opartym o reguły jest procesem opartym na złożeniowej zasadzie wnioskowania (Zadeh-1973) Złożeniowa reguła wnioskowania - analogie z klasyczną analizą Zadania: a) znaleźć wartość b opowiadającą wartości a przy zadanym odwzorowaniu f punktowym b) znaleźć przedział b odpowiadający przedziałowi a przy zadanym odwzorowaniu f przedziałowym

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Inaczej: Wnioskowanie rozmyte, jest procesem wyznaczania rozmytego zbioru wyjścia systemu w oparciu o zbiór rozmytych reguł IF-THEN i rozmyte zbiory wejścia Każda reguła może być rozważana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne występowanie określonych wartości x oraz y) (dla uproszczenia zapisu opuścimy dalej indeks i) z funkcją przynależności obliczaną z formuły

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Operator I może być:  implikacją rozmytą w sensie klasycznym  implikacją rozmytą inżynierską (t-normą) I implikacja rozmyta w sensie klasycznym: - jeżeli przesłanka zachodzi to konkluzja musi zachodzić -jeżeli przesłanka nie zachodzi nie potrafimy nic powiedzieć o zachodzeniu konkluzji - relacja nie może być odwrócona (nie jest symetryczna)

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Przykłady implikacji rozmytej klasycznej: - implikacja Łukasiewicza - implikacja Kleene-Diene

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 I implikacja rozmyta w sensie inżynierskim: -implikacja zachodzi jeżeli zachodzi przesłanka i konkluzja -relacja może być odwrócona (jest symetryczna) Przykłady implikacji rozmytej inżynierskiej: - implikacja Mamdani’ego (t-norma MIN) - implikacja Larsena (t-norma PROD)

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a) Niech: - relacja rozmyta określona na przestrzeni rozważań - zbiór rozmyty określona na przestrzeni rozważań oraz: - funkcja przynależności pary do relacji rozmytej - funkcja przynależności do zbioru rozmytego Pamiętając, że: wynik złożenia zbioru A oraz relacji F rzutowany na przestrzeń Y jest określony

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Używając np. t-normy min dla operacji przecięcia: i rzutując to przecięcie na przestrzeń Y otrzymamy funkcję wyniku złożenia w tej przestrzeni Zbiór B możemy zatem wyrazić:

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Ilustracja: Relacja rozmyta F Zbiór rozmyty A i jego rozszerzenie cylindryczne Przecięcie F i A Projekcja przecięcia F i A na przestrzeń Y Zadanie: Dana relacja rozmyta F na przestrzeni rozważań XxY oraz zbiór rozmyty A na przestrzeni rozważań X Znaleźć wynik złożenia relacji F i zbioru A określony w przestrzeni rozważań Y

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Złożeniowa reguła wnioskowania (Zadeh’a)  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności  B (x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Uogólniona złożeniowa reguła wnioskowania  Jeżeli A jest zbiorem rozmytym określonym na przestrzeni rozważań X, a R jest dwuargumentową relacją zdefiniowaną na iloczynie kartezjańskim przestrzeni X x Y, to złożenie A i R oznaczone jako A  R daje zbiór rozmyty określony w przestrzeni rozważań Y funkcją przynależności  B (x,y) określoną wzorem: gdzie: A  jest rozszerzeniem cylindrycznym A na przestrzeń X x Y

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Wykorzystując złożeniową regułę wnioskowania można sformułować procedurę wnioskowania rozmytego  Każda reguła IF-THEN może być traktowana jako relacja rozmyta (rozmyte ograniczenie na jednoczesne pojawienie się x oraz y): R:(XxY)  [0,1] obliczana Operator I może być typu (i) „A pociąga za sobą B” - uogólnienie implikacji klasycznej, albo typu (ii) „A powiązane z B” – operacja przecięcia realizowana t-normą

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13  Niech A, A ’ oraz B będą zbiorami rozmytymi (wartościami zmiennej lingwistycznej) w przestrzeniach rozważań X, X oraz Y, odpowiednio. Załóżmy, że implikacja rozmyta A  B jest dana relacją rozmytą R określoną na X x Y. Wówczas zbiór rozmyty B ’ indukowany przez fakt „x jest A ’ ” oraz regułę „jeżeli x jest A to y jest B” jest określony przez funkcję przynależności: lub równoważnie:

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Realizacje:  Podejście formalne oparte o relacje rozmyte – systemy czystej logiki rozmytej  Podejście uproszczone – wnioskowanie Mamdaniego – systemy z rozmywaniem i wyostrzaniem

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Podejście formalne 1. Przedstaw każdą regułę IF-THEN jako relację rozmytą 2. Zagreguj posiadane relacje w jedną reprezentatywną dla całej bazy reguł 3. Mając określone wejście, użyj reguły złożeniowej dla określenia odpowiadającego mu wyjścia

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Wnioskowanie z jedną regułą 1. Oblicz funkcję przynależności relacji implikacji 2. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’ Przykład graficzny:

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Przykład: Praktycznie obliczenia relacyjne mogą być prowadzone w dyskretnych przestrzeniach rozważań Rozważmy regułę: ze zbiorami rozmytymi A oraz B danymi Niech zbiór rozmyty wejścia

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Używając t-normy min (implikacja Mamadaniego) macierz relacji R M reguły IF-THEN otrzymujemy w postaci

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Zbiory wejścia: przesłanki A i faktu A’ Stosując regułę złożeniową wnioskowania obliczymy zbiór wyjścia

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Wybierając ponownie zastosowanie t-normy min jako operatora przecięcia obliczymy je dla aktualnego zbioru wejścia i relacji

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Używając operatora implikacji Łukasiewicza otrzymamy macierz relacji R Ł reguły IF-THEN w postaci

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Wybierając zastosowanie jako operatora przecięcia t-normę Łukasiewicza

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Zbiory wyjścia: konkluzji B i faktu B’

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Implikacja klasyczna Implikacja inżynierska -Przyjmuje wartość zero tylko, kiedy przesłanka jest prawdziwa, a konkluzja nie -Kiedy przesłanka nie jest prawdziwa, przyjmuje wartość 1 niezależnie od wartości konkluzji - Przyjmuje wartość zero kiedy tylko przesłanka lub konkluzja, bądź obydwie nie są prawdziwe Wpływ na wynik wnioskowania i wybór metody wyostrzania!

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Wnioskowanie z wieloma regułami 1. Oblicz relację implikacji dla każdej z relacji 2. Zagreguj relacje R i w jedną całościową 3. Użyj regułę złożeniową dla obliczenia B’ z A’

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Agregacja reguł Baza reguł jest przedstawiana za pomocą agregacji relacji R i odpowiadających poszczególnym regułom w pojedynczą relację  Jeżeli R i jest typu „A pociąga za sobą B” (implikacja w sensie klasycznym) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora przecięcia poszczególnych relacji R i (operatora t-normy)  Jeżeli R i jest typu „A powiązane z B” (implikacja inżynierska) reguła całościowa jest uzyskiwana za pomocą operatora połączenia poszczególnych relacji R i (operatora s-normy)

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Przykład – model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu Dyskretyzacja przestrzeni rozważań Tablice funkcji przynależności: Wartość lingwistyczna Element dziedziny 0123 Low OK High Przesłanek Wartość lingwistyczna Element dziedziny Low High Konkluzji

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Baza reguł: Dziedziny lingwistyczne reguł: R 1 : LowxLow; R 2 : OKxHigh; R 3 : HighxLow; Macierze implikacji dla poszczególnych reguł: wybieramy t-normę MIN: R 1 : LowxLow

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 R 2 : OKxHigh R 3 : HighxLow

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Agregacja reguł:

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Relacje reguł graficznie i ich agregacja – graficzna ilustracja (większa rozdzielczość dyskretyzacji przestrzeni rozważań): R 1 : LowxLow R 2 : OKxHigh R 3 : HighxLow R = R 1  R 2  R 3

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Wykres rozmyty modelu lingwistycznego z przykładu. Ciemniejsze zacieniowanie odpowiada większemu stopniowi przynależności. Linia ciągła jest możliwą funkcją punktową reprezentującą podobną relację jak model rozmyty Grafik/wykres rozmyty

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Wnioskowanie Niech zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately Low

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Niech teraz zbiór rozmyty wejścia - Approximately OK (mniej więcej OK)

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Wybieramy t-normę złożenia - MIN: Approximately High

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Niedogodność metody formalnej: konieczność wykonywania i przechowywania wyników obliczeń relacyjnych Można pokazać, że dla przypadków 1. korzystania do reprezentacji reguł z implikacji rozmytych klasycznych i dla punktowych (crisp) wejść 2. korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych schemat wnioskowania może być uproszczony przez ominięcie obliczeń relacyjnych

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Dla korzystania do reprezentacji reguł z t – norm (tzw. implikacje inżynierskie) i dla wejść zarówno punktowych (crisp) jak i rozmytych uproszczenia te prowadzą do powszechnie znanego schematu wnioskowania nazywanego wnioskowaniem Mamdaniego Ebrahim MAMDANI Imperial College of Science, Technology and Medicine, University of London

Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie formalne © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu