Analiza numeryczna i symulacja systemów Janusz Miller 0. Informacje wstępne 1. Wstęp do numerycznego rachunku różniczkowego.

Slides:



Advertisements
Podobne prezentacje
Temat 2: Podstawy programowania Algorytmy – 1 z 2 _________________________________________________________________________________________________________________.
Advertisements

Klasyfikacja dalmierzy może być dokonywana przy założeniu rozmaitych kryteriów. Zazwyczaj przyjmuje się dwa:  ze względu na rodzaj fali (jej długości)
Blok I: PODSTAWY TECHNIKI Lekcja 7: Charakterystyka pojęć: energia, praca, moc, sprawność, wydajność maszyn (1 godz.) 1. Energia mechaniczna 2. Praca 3.
Równowaga chemiczna - odwracalność reakcji chemicznych
Ekonometria WYKŁAD 10 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych.
Plan Czym się zajmiemy: 1.Bilans przepływów międzygałęziowych 2.Model Leontiefa.
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2014/2015Metodyka modelowania matematycznego  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1.
Literowe oznaczenia dla wielkości niewiadomych stosował już starożytny myśliciel Diofantos. Za ojca współczesnej algebry uważany jest matematyk francuski.
Zajęcia 1-3 Układ okresowy pierwiastków. Co to i po co? Pojęcie masy atomowej, masy cząsteczkowej, masy molowej Proste obliczenia stechiometryczne. Wydajność.
Próba rozciągania metali Wg normy: PN-EN ISO :2010 Metale Próba rozciągania Część 1: Metoda badania w temperaturze pokojowej Politechnika Rzeszowska.
Stężenia Określają wzajemne ilości substancji wymieszanych ze sobą. Gdy substancje tworzą jednolite fazy to nazywa się je roztworami (np. roztwór cukru.
Teoria gry organizacyjnej Każdy człowiek wciąż jest uczestnikiem wielu różnych gier. Teoria gier zajmuje się wyborami podejmowanymi przez ludzi w warunkach.
© Matematyczne modelowanie procesów biotechnologicznych - laboratorium, Studium Magisterskie Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej, Kierunek Biotechnologia,
MIESZACZE CZĘSTOTLIWOŚCI. Przeznaczenie – odbiorniki, nadajniki, syntezery częstotliwości Podstawowy parametr mieszacza = konduktancja (nachylenie) przemiany.
Ekonometria stosowana Autokorelacja Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych.
Niepewności pomiarowe. Pomiary fizyczne. Pomiar fizyczny polega na porównywaniu wielkości mierzonej z przyjętym wzorcem, czyli jednostką. Rodzaje pomiarów.
Ekonometria Wykład 1 Uwarunkowania modelowania ekonometrycznego. Uogólniona metoda najmniejszych kwadratów dr hab. Mieczysław Kowerski.
Przemiany energii w ruchu harmonicznym. Rezonans mechaniczny Wyk. Agata Niezgoda Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego.
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2015/2016Identyfikacja – metoda najmniejszych kwadratów  Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii.
EWALUACJA PROJEKTU WSPÓŁFINANSOWANEGO ZE ŚRODKÓW UNII EUROPEJSKIE J „Wyrównywanie dysproporcji w dostępie do przedszkoli dzieci z terenów wiejskich, w.
WSPÓŁRZĘDNE GEOGRAFICZNE.  Aby określić położenie punktu na globusie stworzono siatkę geograficzną, która składa się z południków i równoleżników. Południk.
IEN 2010 © wszelkie prawa zastrzeżone SEMINARIUM Pakiet MATLAB w Zakładzie OGM Możliwości posiadanych produktów.
Analiza numeryczna i symulacja systemów Równania różniczkowe zwyczajne cz.3: Zagadnienie brzegowe (BVP) Janusz Miller.
Kontrakty terminowe na indeks mWIG40 Prezentacja dla inwestorów Giełda Papierów Wartościowych w Warszawie S.A. Dział Notowań GPW kwiecień 2005.
ENERGIA to podstawowa wielkość fizyczna, opisująca zdolność danego ciała do wykonania jakiejś pracy, ruchu.fizyczna Energię w równaniach fizycznych zapisuje.
Analiza tendencji centralnej „Człowiek – najlepsza inwestycja”
Funkcja liniowa Przygotował: Kajetan Leszczyński Niepubliczne Gimnazjum Przy Młodzieżowym Ośrodku Wychowawczym Księży Orionistów W Warszawie Ul. Barska.
© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Prezentacja – 4 Matematyczne opracowywanie.
STATYSTYKA – kurs podstawowy wykład 10 dr Dorota Węziak-Białowolska Instytut Statystyki i Demografii.
W KRAINIE TRAPEZÓW. W "Szkole Myślenia" stawiamy na umiejętność rozumowania, zadawania pytań badawczych, rozwiązywania problemów oraz wykorzystania wiedzy.
Metoda kartogramów. Definicja Metoda służy do przedstawiania średniej intensywności zjawiska w granicach określonych pól odniesienia. Wartości obliczane.
WYNIKI ANKIETY INTERNETOWEJ Opracowanie wyników: Dr Jarosław Załęcki Mgr Maciej Brosz „Współtwórz swoje miasto. Wysokościowce w Gdańsku”
Pakiety numeryczne Równania różniczkowe Łukasz Sztangret Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania.
Algorytmy Informatyka Zakres rozszerzony
KLASA VI 1. WSTĘP – Układy współrzędnych – przykłady 2. UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH X-Y – definicja, rzędne, odcięte, początek układu. 3. WSPÓŁRZĘDNE PUNKTU –
Lekcja 17 Budowanie wyrażeń algebraicznych Opracowała Joanna Szymańska Konsultacje Bożena Hołownia.
Zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne i wewnętrzne
KOMBINATORYKA.
Metody Analizy Danych Doświadczalnych Wykład 9 ”Estymacja parametryczna”
Matematyka przed egzaminem czyli samouczek dla gimnazjalisty Przygotowała Beata Czerniak FUNKCJE.
Menu Jednomiany Wyrażenia algebraiczne -definicja Mnożenie i dzielenie sum algebraicznych przez jednomian Mnożenie sum algebraicznych Wzory skróconego.
Czym jest gramofon DJ-ski?. Gramofon DJ-ski posiada suwak Pitch służący do płynnego przyspieszania bądź zwalniania obrotów talerza, na którym umieszcza.
Wieloaspektowa analiza czasowo- kosztowa projektów ze szczególnym uwzględnieniem kryterium jakości rozwiązań projektowych AUTOR: ANNA MARCINKOWSKA PROMOTOR:
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. Ignacego Łukasiewicza WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI ZAKŁAD METROLOGII I SYSTEMÓW POMIAROWYCH METROLOGIA Andrzej Rylski.
Optymalna wielkość produkcji przedsiębiorstwa działającego w doskonałej konkurencji (analiza krótkookresowa) Przypomnijmy założenia modelu doskonałej.
Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Perceptrony proste nieliniowe i wielowarstwowe © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab.
Katarzyna Rychlicka Wielomiany. Katarzyna Rychlicka Wielomiany Przykłady Wykresy funkcji wielomianowych Równania wielomianowe Działania na wielomianach.
M ETODY POMIARU TEMPERATURY Karolina Ragaman grupa 2 Zarządzanie i Inżynieria Produkcji.
Analiza numeryczna i symulacja systemów 2. Równania różniczkowe zwyczajne - cz.2 - metody Rungego-Kutty Janusz Miller.
Budżetowanie kapitałowe cz. III. NIEPEWNOŚĆ senesu lago NIEPEWNOŚĆ NIEMIERZALNA senesu strice RYZYKO (niepewność mierzalna)
W kręgu matematycznych pojęć
Wyznaczanie miejsc zerowych funkcji
terminologia, skale pomiarowe, przykłady
Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH
Liczby pierwsze.
Modele SEM założenia formalne
Podstawy automatyki I Wykład /2016
Elementy analizy matematycznej
Zajęcia przygotowujące do matury rozszerzonej z matematyki
Równania różniczkowe zwyczajne
Tensor naprężeń Cauchyego
Modelowanie układów dynamicznych
Zygmunt Kubiak Wszystkie ilustracje z ww monografii Wyd.: Springer
Metody Numeryczne Ćwiczenia 5
Wytrzymałość materiałów
Prawa ruchu ośrodków ciągłych c. d.
WYBRANE ZAGADNIENIA PROBABILISTYKI
Zapis prezentacji:

Analiza numeryczna i symulacja systemów Janusz Miller 0. Informacje wstępne 1. Wstęp do numerycznego rachunku różniczkowego

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 2 Podstawowe pojęcia: Analiza numeryczna Analiza matematyczna – XVII w. (Leibniz, Newton) – rachunek różniczkowy i całkowy – jeden z działów matematyki. Ogólnie obliczenia możemy wykonywać na liczbach lub na symbolach. Wykonując obliczenia na liczbach mamy do czynienia z obliczeniami numerycznymi. Obliczenia symboliczne – operacje matematyczne wykonywane na wyrażeniach matematycznych. Co jest lepsze? Dlaczego będziemy zajmować się dziedziną “ułomną”? Analiza numeryczna –jakie równania różniczkowe zwyczajne daje się rozwiązać symbolicznie? –jakie równania różniczkowe cząstkowe daje się rozwiązać symbolicznie? –czy w rzeczywistości istnieją zjawiska “liniowe”? Analiza numeryczna to część Metod numerycznych. Dwa przedmioty: - “Metody numeryczne” – o podstawach i teorii tych metod. - “Analiza i symulacja” – o zastosowaniu, współczesnych metodach, narzędziach, przykładach bliżej praktyki.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 3 Podstawowe pojęcia w symulacji: Proces, obiekt, model Obiekt - fragment “rzeczywistości” wyodrębniony z otoczenia. Wejście i wyjście - strumienie informacji, masy lub energii, które łączą obiekt z otoczeniem. Rozważamy proces (fizyczny, chemiczny, biologiczny, socjologiczny, termodynamiczny, ekonomiczny lub inny) – jakaś “rzeczywistość” (najczęściej) podlega zmianom w czasie. Proces / obiekt opisujemy ilościowo za pomocą zmiennych. Zależność między tymi zmiennymi, wejściem i wyjściem oraz czasem opisujemy w modelu matematycznym. Tworzenie modelu - dwa podejścia: -teoretyczne - na podstawie znajomości praw rządzących zjawiskami towarzyszącymi procesowi, -fenomenologiczne 1) - na podstawie obserwacji (pomiarów) przyczyn i skutków, _________ 1) W nastawieniu naturalnym mamy na temat świata pewne założenia, domysły, teorie, spekulacje. Fenomenologia je odrzuca - po to, by przyjrzeć się światu tak, jak się on jawi.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 4 Podstawowe pojęcia: Symulacja, model Symulacja procesu jest “programistyczną” reprezentacją modelu. Dokładniej: Dwa pojęcia: Symulacja i model: Model komputerowy to algorytmy i równania określające zachowania modelowanego systemu. Symulacja komputerowa to „przebieg programu”, który zawiera te algorytmy i równania. Zatem mówimy: tworzymy/budujemy/ konstruujemy model, uruchamiamy symulację.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 5 Klasyfikacja modeli Statyczne i dynamiczne Liniowe i nieliniowe Deterministyczne (w tym chaotyczne) i stochastyczne O parametrach skupionych i rozłożonych Ciągłe i dyskretne (w tym DE - discrete event) Z regularną albo nieregularną siatką danych

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 6 Narzędzia Początki: Simula (Simula-67 – nazwa od roku powstania). Inne, np. na stronie: (m.in. Scilab) Mamy w laboratorium: MATLAB z toolboxami (np.: PDE) SIMULINK STATEFLOW

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 7 Plan na semestr 1. Symulacja systemów o parametrach skupionych - równania różniczkowe zwyczajne - MATLAB, SIMULINK 2. Kalibracja, weryfikacja, walidacja - metody optymalizacji - Optimization Toolbox 3. Symulacja systemów o parametrach rozłożonych - równania różniczkowe cząstkowe - ew. PDE Toolbox 4. Aproksymacja - dr Jarosław Wąs

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 8 Literatura Kincaid D., Cheney W.: Analiza numeryczna WNT 2006 Hairer E., Norsett S.P., Wanner G.: Solving Ordinary Differential Equations Springer 2008 Nocedal J., Wright S.J.: Numerical Optimization Springer 1999 (lub późniejsze) Sewell G.: The Numerical Solution of Ordinary and Partial Differential Equations Wiley 2005 Thomas J.W.: Numerical Partial Differential Equations. Finite Difference Methods Springer 1995 Cooper J.M.: Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB. Dirkhaeuser 1998 internet

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 9 Dlaczego analiza NUMERYCZNA? Zaleta analitycznego (w stosunku do numerycznego) rezultatu różniczkowania, całkowania, rowiązywania rónania różniczkowego - wynikiem jest funkcja. W przypadku obliczeń numerycznych - tylko liczby. Kiedy stosujemy metody numeryczne? - Przykład 1. Obliczyć pochodną zależności między odległością “nietrafienia” od kąta strzału (w przypadku gdy uwzględniamy opór powietrza, zależność gestości powietrza od wysokości itp.) - Przykład 2. Obliczyć całkę np. - które (ile) równania różniczkowe można rozwiązać analitycznie? Najczęściej - jeżeli można coś obliczyć analitycznie - należy to zrobić (szczególnie w dobie komputerowych obliczeń analitycznych narzędzia- np.: MAPLE, MATLAB - Symbolic Math Toolbox, Mathematica)

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 10 Plan na pierwsze 2-3 wykłady Różniczkowanie numeryczne Podstawy całkowania numerycznego Równania różniczkwe zwyczajne - zbieżność, zgodnośc i stabilność metod, - metody Eulera i typu predyktor-korektor, - metody wstecznego różniczkowania, - metody całkowania równań różniczkowych, - liniowe metody wielokrokowe, - metody Rungego-Kutty, - algorytmy stałokrokowe i adaptacyjne, - metody używane w MATLABie i SIMULKNKu

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 11 Różniczkowanie numeryczne 1. Błąd numeryczny elementarnych algorytmów - operacji arytmetycznych x - dana wejściowa, y - dana wyjściowa, f - algorytm, y=f(x). Jak błąd danych wejściowych „przenosi się” na błąd wyniku. - Analitycznie: Dla małych zaburzeń  x można przyjąć, że Który błąd (bezwzględny czy względny) jest lepszą miarą dokładności? Powrównajmy błędy względne dla np. mnożenia, y=kx, k=const!=0 Dla odejmowania y=x-a Kiedy - „Informatycznie”: Która operacja (i kiedy) drastycznie zmniejsza liczbę znaczących bitów w maszynowej reprezentacji liczby zmiennoprzecinkowej?

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 12 Różniczkowanie numeryczne 2. Numeryczne przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym. Dla z rozwinięcia w szereg Taylora z resztą Lagrange’a otrzymujemy [h>0 - forward-difference formula, h<0 - backward-difference formula] Dla jakiego h błąd numerycznego przybliżenia pochodnej jest najmniejszy?

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 13 Różniczkowanie numeryczne Wynik obliczeń numerycznych

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 14 Różniczkowanie numeryczne

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 15 Różniczkowanie numeryczne Jak zmniejszyć błąd numerycznego przybliżenia? Idea: Funkcję aproksymować wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a i pochodną funkcji przybliżać pochodną wielomianu. Ww. przybliżenie to pochodna wielomianu opartego na 2 punktach (1. stopnia) Dodajemy trzeci punkt. Przez 3 punkty prowadzimy wielomian interpolacyjny stopnia <=2 i otrymujemy przybliżenia pochodnej (three-point formulas): wykres stycznej i siecznej dla paraboli Ogólne pojęcie rzędu metody przybliżania: Rząd = p, jeżeli metoda jest dokładna dla wszystkich wielomianów stopnia s<=p, a dla stopnia p+1 istnieje wielomian, dla którego błąd != 0.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 16 Różniczkowanie numeryczne Uwagi: Dodając kolejne punkty (węzły interpolacji) otrzymujemy przybliżenia wyższych rzędów. Np. często jest stosowana five-points formula: Po czym rozpoznać rząd metody (znając wzór / mając algorytm)? Problem błędu numerycznego nie znika (odejmowanie pozostaje), ale wzrasta potęga h w reszcie - nie trzeba tak bardzo zmniejszać h, żeby dostatecznie zmalała reszta rozwinięcia (czyli błąd przybliżenia). Czy można stosować (czy jest zachowany rząd p), gdy przepis f nie obowiazuje w całym przedziale [a,b]?

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 17 Elementarne metody całkowania numerycznego Kwadratury - jeden z tematów przedmiotu Metody numeryczne. Dla potrzeb Numerycznych metod rozwiązywania równań różniczkowych - krótki wstęp - najprostsze metody: 1. Prostokątów “w przód” 2. Prostokątów - wsteczna 3. Prostokątów - punktu środkowego 4. Trapezów 5, Simpsona

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 18 Elementarne metody całkowania numerycznego Uwagi: 1. Ww. to kwadratury Newtona-Cotesa - powstałe z całkowania wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a z węzłami równoodległymi. Ogólnie Jest wiele (ważnych) metod z węzłami nierównomiernie rozłożonymi. 2. Rząd - podobnie jak dla metod różniczkowania numerycznego. 3. Jedna z metod prostokątów jest wyższego rzedu niż 2 pozostałe! Metody “symetryczne” mają wyższy rząd (podobnie jak metody różniczkowania). 4. “Ciekawostka”: w metodzie Simpsona występuje zjawisko nadmiaru rzędu.

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 19 Różniczkowanie i całkowanie numeryczne w praktyce - Czy zawsze warto stosować metody wysokiego rzędu? - Wartości funkcji nie zawsze są obliczane - czasem mierzone, - Np. wpływ opadu na “skokową” zmianę funkcji przepływu - punkty “kątowe” - funkcja nieróżniczkowalna

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 20 Podsumowanie Obliczenia numeryczne - “kiepskie ale jedyne możliwe”, bo: - wynik tylko w postaci liczb, - wynik obarczony błędem - metody, danych, reprezentacji liczb. Odejmowanie - potencjalna przyczyna wzmacniania błędu. Przybliżanie pochodnej ilorazem różnicowym - to tylko jedna z możliwych metod. Nie ma metod “lepszych/gorszych” - są wyższego lub niższego rzędu. Rząd metody - badamy, dla wielomianu którego stopnia metoda przestaje być dokładna. Całkowanie funkcji a “całkowanie” danych pomiarowych - czy warto stosować metody wysokich rzędów?

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne 21 Pytania, uwagi, propozycje... osobiście albo na adres - z góry dziękuję!