projekt nr POKL /12 „Z Wojskową Akademią Techniczną nauka jest fascynująca!” WYKŁAD Z MATEMATYKI dla uczestników projektu w dniu r. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego „ Liczba wyznacznikiem matematycznego poznania Świata” dr inż. Józef Rafa

,,Wszystko co daje się poznać ma liczbę, ponieważ nic nie może być wyobrażone ani poznane bez liczb’’,,Świat jest matematyczny’’ ks. prof. Michał HELLER Filolaos z Krotony (480 r. p.n.e.) grecki matematyk i filozof, uczeń Pitagorasa

Literatura: Wacław SIERPIŃSKI,,Wstęp do teorii liczb’’ Fernando CORBALA’N,,Złota proporcja. Matematyczny język piękna’’ Enrique GRACIA’N,,Liczby pierwsze. Wstęp do nieskończoności’’ Michał HELLER,,Podglądanie wszechświata’’

********************************** W swoim referacie przedstawię kilka wybranych zagadnień dotyczących prezentowanej tematyki: 1.Rozwój pojęcia liczby – rys historyczny i aspekty praktyczne. 2.Złota proporcja i liczby Fibonacciego. 3.Liczby pierwsze, ich własności i zastosowania. 4.Liczby wyrażające uniwersalne stałe fizyczne i ich znaczenie w opisie świata materialnego 5.Magia liczb – ich spektakularne wykorzystanie w różnych kulturach. **********************************

Wprowadzenie Znany aktor mojego pokolenia Bogumił KOBIELA, występujący w sztuce Moliera,,SKĄPIEC’’, zwraca się do swojej żony:,,Widzisz ja mówię prozą’’. W życiu również mówimy prozą liczb, które towarzyszą nam na co dzień, nawet jeśli nie zdajemy sobie z tego sprawy.

Historycy badający rozwój cywilizacji zgodnie twierdzą, że ludzkość nauczyła się liczy, gdy zaczęła się osiedlać, uprawić ziemię i hodować zwierzęta. Wyobraźmy sobie pasterza który wyprowadza rano na pastwisko stado owiec a wieczorem sprowadza je do zagrody. Interesuje go czy wszystkie owce powróciły z pastwiska. Nie potrafi liczyć. Jak ma rozwiązać ten problem? Do woreczka przy wyprowadzaniu owiec wrzuca 1 kamyk – 1 owca. Wieczorem czyni odwrotnie, wyrzuca z woreczka 1 kamyk za każdą wracającą owcę. W ten sposób sprawdzi czy bilans się zgadza. Powstał pierwotny system liczenia (a dokładniej porównywania). Słowo,,kalkulacja’’ pochodzi od łacińskiego słowa,,calculus’’, czyli kamyk. System kamykowy nie wymagał znajomości pojęcia liczby. Dziś powiemy w języku matematycznym, że pasterz skonstruował bijekcję (wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość) pomiędzy zbiorem owiec i zbiorem kamyków w woreczku. Możemy powiedzieć,,wymyślił sposób’’ albo, że wykazał się,,pewnym poziomem abstrakcji’’ lub,,myśleniem abstrakcyjnym’’.

,,Filozofia zapisana jest w wielkiej księdze która nieustannie leży otwarta przed naszymi oczami (nazywam ją wszechświatem), ale do której nie można zajrzeć, jeśli nie rozumie się jej języka, nie pozna pisma, nie wie się co zostało w niej zapisane. Jest ona bowiem napisana językiem matematyki bez którego niemożliwe jest ludzkie poznanie. Bez nich człowiek błąka się bez celu jak w ciemnym labiryncie’’ - powiedział Galileo Galilei Z kolei Albert Einstein stwierdził:,,Matematyka nigdy nie przestaje mnie zaskakiwać – to produkt ludzkiej wyobraźni, który idealnie odpowiada rzeczywistości’’. Angielski filozof Bertrand Russell wyraził swój pogląd na ten temat, następująco:,,Matematyka jest nie tylko pewna ale i piękna’’.

Wszystko co nas otacza, od rzeczy codziennych po najbardziej abstrakcyjne, byłoby nie do zrozumienia gdyby nie matematyka: od prognozy pogody po zabezpieczenia sieci i technologie GPS, w sztuce i muzyce, modelach świata cyfrowego (telewizja cyfrowa, fotografia cyfrowa, dźwięk cyfrowy itd.), poprzez podstawy logiki i racjonalnego myślenia. Wraz z rozwojem cywilizacyjnym, zwiększeniem ilości wytwarzanych dóbr, rozwojem handlu itp. Powstała potrzeba rozszerzenia pojęcia liczby. Wpierw liczby naturalne opatrzono znakami,,+’’,,,-’’ tworząc zbiór liczb całkowitych. Konieczność podziału posiadanych dóbr wytworzyła następnie liczby wymierne (nazywane potocznie ułamkowymi lub częściami całości). Załatwiło to możliwość wykonywania czterech podstawowych działań: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia.

Rozwój geometrii (geo-ziemia, metro-mierzę) spowodował zainteresowanie własnościami figur geometrycznych. Powstała słynna szkoła mistrza Pitagorasa. Badając m.in. kwadrat o boku równym jednostkowej długości, stwierdził, że przekątna tego kwadratu nie wyraża się w postaci żadnej ze znanych dotąd liczb. Dzisiaj zapisujemy ją symbolicznie: Z kolei równie słynny Grek Archimedes zainteresował się własnościami (jednego z największych wynalazków ludzkości) koła. Badał stosunek długości obwodu koła do jego średnicy. Był zdziwiony, że niezależnie od wielkości koła jest on jednakowy, stały. Ponadto stwierdził, że ta wartość nie wyraża się żadną ze znanych liczb. I tak powstała liczba Archimedesa, którą nazywamy dziś π (pi). Dla uczczenia tego faktu obchodzimy dziś światowy dzień liczby π.

Zaczęło się pojawiać wiele takich liczb. Dało to asumpt do stworzenia liczb niewymiernych. I znów wydawało się, że wszystkie liczby są poznane i pełny ich zbiór nazwano liczbami rzeczywistymi. Tym razem do ataku przystąpiła algebra. Jej rozwój w XVI w. i zainteresowanie rozwiązywaniem równań wielomianowych (drugiego, trzeciego i czwartego stopnia) wymusił uogólnienie liczby rzeczywistej. Powstały liczby zespolone.

W 1545 r. Girolamo Cardano postawił zadanie:,,podzielić 10 na dwie części, których iloczynem jest 40’’. Zadanie to wyraża więc układ równań: stąd po redukcji otrzymujemy równanie kwadratowe (które Cardano potrafił rozwiązać): a więc

co rzeczywiście spełnia warunki zadania. Pojawił się jednak problem: obliczenie pierwiastka kwadratowego co można zapisać jako Tak więc problemem staje się obliczenie