Populacje, zmienne, skale, rozkłady liczebności Metodologia badań w naukach behawioralnych I

Populacja Zbiór obiektów poddany badaniom to populacja (populacja generalna, zbiorowość statystyczna). Elementy populacji nazywamy jednostkami badania. Przykłady: zbiór studentów I roku, zbiór wszystkich meczy rozegranych przez daną drużynę, zbiór dni roku 2013, zbiór wszystkich polskich rodzin, zbiór wszystkich Polaków zatrudnionych w przemyśle stoczniowym, zbiór wszystkich miejsc, w które uderzył kiedyś piorun, Populacje mogą być czymś tylko wyobrażonym: zbiór wszystkich możliwych rzutów daną monetą, zbiór wszystkich możliwych pomiarów temperatury Słońca, zbiór wszystkich przyszłych reakcji ludzi na jakiś bodziec K.Szymanek Metodologia badań... I2

Zmienna Elementy populacji mogą różnić się pod jakimś względem, np. Polacy różnią się pod względem płci, wykonywanego zawodu, zarobków, wieku, wzrostu, poglądów politycznych. Każdy „wzgląd” pod jakim elementy populacji się różnią, odpowiada zmiennej. Zmienna powstaje, gdy każdemu elementowi populacji przypisana jest jakaś wartość, na przykład każdemu Polakowi przypisane jest jego wykształcenie, każdemu miastu - liczba jego mieszkańców. K.Szymanek Metodologia badań... I3

Przykłady zmiennych (1) Zmienna przypisująca każdemu człowiekowi jego wzrost (wyrażony np. w centymetrach) (2) Zmienna przypisująca każdemu człowiekowi jego płeć (3) Zmienna przypisująca każdemu studentowi danej grupy stopień z egzaminu z logiki (4) Zmienna przypisująca każdemu widzowi filmu „Hobbit” jego ocenę tego filmu (np. w skali „zły”, „raczej zły”, „przeciętny”, „raczej dobry”, „dobry”) (5) Zmienna przypisująca każdemu uczestnikowi eksperymentu jego czas reakcji na bodziec. (6) Zmienna przypisująca każdemu dniu roku 2013 jego średnią temperaturę (w Polsce). K.Szymanek Metodologia badań... I4

Pomiar, skala pomiarowa Jedną z najdonioślejszych czynności badawczych jest pomiar, czyli ustalenie wartości interesującej nas zmiennej dla danego elementu populacji. Możliwe (przewidziane teoretycznie) wyniki wykonania procedury pomiaru a, b, c, … tworzą skalę (pomiarową). Jeśli np. mierzymy wzrost człowieka, otrzymujemy wynik w postaci liczby, np. centymetrów. Skala składa się więc z liczb 0, 1, 2, 3,…, 150, …, 200,... K.Szymanek Metodologia badań... I5

Pomiar, skala pomiarowa Projektowanie procedury pomiarowej i właściwej dla niej skali to na ogół skomplikowany problem teoretyczny, związany m.in. z samą naturą mierzonej zmiennej. Jak i na jakiej skali mierzyć np. stopień satysfakcji z życia, poglądy polityczne albo cechy osobowości? Skąd mamy wiedzieć, że dana procedura prowadzi do pomiaru właśnie tej zmiennej, o którą chodzi? K.Szymanek Metodologia badań... I6

Typy skali pomiaru (1) Skala nominalna (jakościowa) (2) Skala rangowa (porządkowa) (3) Skala interwałowa (przedziałowa) (4) Skala ilorazowa (stosunkowa) K.Szymanek Metodologia badań... I7

Skala nominalna Jeśli daną populację podzielimy na grupy A, B, C… w ten sposób, że każdy element populacji należy do dokładnie jednej grupy, przy czym nie zakładamy żadnego porządku „wyższy-niższy” pomiędzy grupami, to zbudujemy skalę pomiarową nominalną (jakościową), złożoną z wartości „A”, „B”, „C”,… Pomiar polegać będzie na przypisaniu elementowi populacji tej grupy, do której on należy (np. „B”). K.Szymanek Metodologia badań... I8

Podział AB C D E F K.Szymanek Metodologia badań... I9

Skala nominalna - przykłady (1) Dzieląc populację wszystkich Polaków na uprawiających sport i nieuprawiających sportu otrzymujemy skalę nominalną z wartościami: (i) „Polacy uprawiający sport” (ii) „Polacy nieuprawiający sportu” jest to przykład skali dychotomicznej czyli dwuwartościowej. Otrzymujemy ją dzieląc populację na grupę elementów posiadających jakąś cechę A i grupę elementów nieposiadających cechy A, czyli elementów „pozostałych”. K.Szymanek Metodologia badań... I10

Skala nominalna - przykłady (2) Dzieląc populację wszystkich ludzi na urodzonych w poniedziałek, wtorek itd. otrzymamy skalę o siedmiu wartościach: „Pn”, „Wt”, „Śr”, „Cz”, „Pt”, „Sb”, „N”. (3) Populację mieszkańców Polski można podzielić na posiadających poglądy prawicowe, posiadających poglądy lewicowe i pozostałych. (4) Populację wszystkich ludzi można podzielić na grupy według wyznania: „chrześcijanin”, „muzułmanin”, „hinduista” itd. K.Szymanek Metodologia badań... I11

Skala nominalna - uwagi Wartości skali nominalnej są nieuporządkowane. Żadna z nich nie jest w stosunku do pozostałych wyższa, większa, lepsza, a przynajmniej w badaniach nie rozpatruje się ich pod takim kątem. Błędy w konstrukcji skali nominalnej: (a)Niektóre elementy populacji nie należą do żadnej z grup A, B, C… (nieadekwatność) (b)Niektóre elementy należą do więcej niż jednej z grup A, B, C… (nierozłączność) K.Szymanek Metodologia badań... I12

Błędy (1)„Podział” populacji wszystkich Polaków na czytelników „Polityki” (G1), czytelników „Gazety Polskiej” (G2), czytelników „Wprost” (G3) i pozostałych (G4) jest nierozłączny: niektórzy są czytelnikami dwóch tygodników. (2)„Podział” populacji wszystkich Polaków na posiadających poglądy prawicowe (G1) i posiadających poglądy lewicowe (G2) jest nieadekwatny: niektórzy mają poglądy centrowe albo nieokreślone. K.Szymanek Metodologia badań... I13

Skala rangowa Jeśli oceny widzów filmu wyrażamy stosując określenia „zły”, „raczej zły”, „przeciętny”, „raczej dobry”, „dobry”, to posługujemy się skalą rangową. Wartości takiej skali mają kolejność, są uporządkowane od najgorszej (najniższej, najmniejszej itp.) do najlepszej (najwyższej, największej itp.). Jednak brakuje jednostki miary - nie da się sensownie określić wielkości odstępu między wartościami. Film „przeciętny” jest lepszy od „raczej złego” ale nie potrafimy wskazać wielkości różnicy między tymi wartościami. K.Szymanek Metodologia badań... I14

Skala rangowa - przykłady (1)wykształcenie: „bez wykształcenia” – „podstawowe” – „średnie” – „licencjackie” – „wyższe” (2)stopień wojskowy: „szeregowy” – „st. szeregowy” - „kapral” – „st. kapral” – … (3)siła przekonania: „to bzdura” - „nie wierzę” – „możliwe” – „bardzo prawdopodobne” - „jestem pewien” (4)miejsce w zawodach: „poza podium” – „brązowy medal” – „srebrny medal” – „złoty medal” K.Szymanek Metodologia badań... I15

Skala interwałowa Temperaturę można mierzyć za pomocą skali Celsjusza. Mamy tu określoną jednostkę miary (  C), możemy też wyznaczać interwał (przedział) pomiędzy wartościami skali. Przykładowo: różnica pomiędzy 15  C a 9  C wynosi 6  C – i różnicę tę można zinterpretować odwołując się do przebiegu zjawisk fizycznych. Skala interwałowa nie dopuszcza dzielenia wartości: nie ma sensownej interpretacji twierdzenia, że temperatura 10  C jest dwa razy wyższa od temperatury 5  C. Punkt 0  C jest wybrany umownie – nie oznacza on np. braku czegoś czy niewystępowania jakiegoś zjawiska. K.Szymanek Metodologia badań... I16

Skala interwałowa - przykłady (1) skala temperatur Celsjusza, Fahrenheita (2) wyniki punktowe uzyskiwane w standardowym teście inteligencji WAIS-R (3) daty: „rok 2014”, „rok 2013” …. (4) szerokość geograficzna punktu na powierzchni Ziemi K.Szymanek Metodologia badań... I17

Skala ilorazowa Gdy dochody miesięczne pracownika mierzymy w zło- tych, posługujemy się skalą ilorazową. Mamy jednostkę miary – złoty. Pomiędzy dochodami, powiedzmy, 1000 zł a 1600 zł jest określona różnica (interwał) równa 600 zł. Dochód 1000 zł jest dwa razy mniejszy od dochodu 2000 zł. Jasna jest interpretacja dochodu 0 zł. Skala ilorazowa spełnia więc wszystkie postulaty skali interwałowej a oprócz tego daje możliwość dzielenia wartości oraz punkt 0 jest przyjęty w sposób niearbitralny. Skala ta zapewnia najwyższy poziom pomiaru. K.Szymanek Metodologia badań... I18

Skala ilorazowa - przykłady (1) skala temperatur Kelvina (2) wzrost w cm, waga w kg, koszty w zł (3) prędkość w km/h (4) czas wykonania zadania w sekundach (5) napięcie prądu w woltach K.Szymanek Metodologia badań... I19

Porównanie skal Każda z kolejnych skal nominalna – rangowa – interwałowa – ilorazowa jest od poprzedniej bogatsza, jeśli chodzi o informację uzyskiwaną o obiekcie w wyniku pomiaru. W przypadku skali nominalnej pomiar sprowadza się do zakwalifikowania obiektu do grupy obiektów posiadających jakąś cechę. Skala rangowa ustanawia pozycję obiektu (wyższy-niższy) pośród innych. Skale interwałowa i ilora- zowa pozwalają, dzięki użyciu liczb, na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i stosowanie bardziej zaawanso- wanych technik przetwarzania danych. W badaniach staramy się używać skali możliwe najwyższego typu. K.Szymanek Metodologia badań... I20

Przykład skali – skala dystansu społecznego Bogardusa Skala opracowana przez amerykańskiego socjologa Emory S. Bogardusa. Jej wartości uzyskujemy na podstawie odpowiedzi na zestaw pytań np. (1)Czy zgadzasz się, by muzułmanie mieszkali w Twoim kraju? (2)Czy zgadzasz się, by muzułmanie mieszkali w Twojej miejscowości? (3)Czy zgadzasz się, by muzułmanie mieszkali przy Twojej ulicy? (4)Czy zgadzasz się, by muzułmanie byli Twoimi sąsiadami? (5)Czy zgadzasz się, by muzułmanie weszli do Twojej rodziny? Skala ta ma odzwierciedlać akceptowany przez respondenta stopień bliskości z innymi ludźmi (grupą religijną, narodowościową itp.). K.Szymanek Metodologia badań... I21

Skala dystansu społecznego Bogardusa Przykładowa odpowiedź: (1)Czy zgadzasz się na to, by muzułmanie mieszkali w Twoim kraju? TAK (2)Czy zgadzasz się, by muzułmanie mieszkali w Twojej miejscowości? TAK (3)Czy zgadzasz się, by muzułmanie mieszkali w na Twojej ulicy? NIE (4)Czy zgadzasz się, by muzułmanie byli Twoimi sąsiadami? NIE (5)Czy zgadzasz się by muzułmanie weszli do Twojej rodziny? NIE Kiedy respondent mówi NIE, to jego odpowiedzi na wszystkie następne pytania również muszą brzmieć NIE. Powyżej respondent uzyskał wynik 3 (numer pierwszej odpowiedzi NIE). K.Szymanek Metodologia badań... I22

Przykład skali – skala typu Likerta Skalę opracował amerykański badacz społeczny Rensis Likert. Mierzy się nią stopień akceptacji badanego względem jakiejś opinii. Np. Dziecko czasem musi dostać porządnego klapsa (1) zdecydowanie nie zgadzam się (2) raczej się nie zgadzam (3) nie mam zdania (4) raczej się zgadzam (5) zdecydowanie się zgadzam Bardzo często wykorzystuje się tę skalę i jej warianty do pomiaru postaw. O budowie skali Likerta będzie jeszcze mowa. K.Szymanek Metodologia badań... I23

Zmienność Nauki społeczne interesują się zmiennością cech w populacjach i wyjaśnianiem przyczyn tej zmienności. Dlaczego jedni ludzie są szczęśliwi, a inni nie? Dlaczego niektóre kraje są bogate, a inne biedne? Dlaczego ludzie różnią się inteligencją, poglądami politycznymi, religią? Odpowiedzi na te pytania wymagają rozwinięcia metod reprezentowania zmienności, metod jej pomiaru, opisu oraz interpretacji. K.Szymanek Metodologia badań... I24

Klasyfikacja zmiennych (1)Zmienne mierzone na skali nominalnej nazywamy nominalnymi, na skali rangowej rangowymi itd. (2) Niektóre zmienne interwałowe/ ilorazowe są skokowe, to znaczy nie przyjmują wartości pośrednich pomiędzy ustalonymi wartościami skali a 1, a 2, a 3,… Zmienna skokowa to np. liczba dzieci w rodzinie, liczba wypadków drogowych w danym dniu roku, liczba nieobecności w pracy w danym miesiącu. (3) Skala zmiennych ciągłych przyjmuje wartości pośrednie, jest pozbawiona odstępów, luk. Na przykład skala temperatur Celsjusza przyjmuje wartość 50  C i 51  C razem z wszystkimi pośrednimi liczbami: 50,14 50,22 50, itp. Zmienne ciągłe to np. czas reakcji na bodziec, napięcie prądu w przewodniku, średni dochód na głowę w danym kraju. K.Szymanek Metodologia badań... I25

Rozkłady liczebności (1)W badaniach mniej interesuje nas, jaką wartość przyjęła zmienna dla danego elementu populacji, ale raczej ile razy w populacji pojawiła się jakaś wartość (ile elementów ją przyjmuje), albo jaki ułamek (procent) wszystkich elementów populacji przyjmuje daną wartość. Interesuje nas więc rozkład liczebności danej zmiennej. (2)Przykład: W pewnej szkole przystępuje do matury 55 uczniów, mających do wyboru jeden (i tylko jeden) z czterech języków obcych: angielski, francuski, niemiecki, hiszpański. Możemy więc utworzyć zmienną nominalną „język” mierzoną za pomocą skali „angielski”, „francuski”, „niemiecki”, „hiszpański”. K.Szymanek Metodologia badań... I26

Rozkład liczebności Rozkład liczebności tej zmiennej, czyli liczba uczniów przypisanych danej wartości (czyli zdających dany język). JĘZYK LICZBA UCZNIÓW angielski25 francuski14 niemiecki11 hiszpański 5 K.Szymanek Metodologia badań... I JĘZYK LICZBA UCZNIÓW niemiecki 11 hiszpański 5 angielski25 francuski 14 Może być tak: nie ma znaczenia kolejność wartości, bo zmienna jest nominalna. 27

Rozkład liczebności względnych (czyli częstości) JĘZYK CZĘSTOŚĆ (%) angielski45,5% francuski25,5% niemiecki20,0% hiszpański 9,1% K.Szymanek Metodologia badań... I JĘZYK CZĘSTOŚĆ angielski0,455 francuski0,255 niemiecki0,200 hiszpański 0,091 28

Dwie tabelki Można też zestawić obie tabelki: JĘZYK LICZBA UCZNIÓWCZĘSTOŚĆ (%) angielski2545,5% francuski1425,5% niemiecki1120,0% hiszpański 5 9,1% K.Szymanek Metodologia badań... I29

Wykres słupkowy liczebności Dane można też przedstawić w postaci graficznej za pomocą tzw. wykresu słupkowego liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I30

Wykres słupkowy liczebności Dane można też przedstawić w postaci graficznej za pomocą tzw. wykresu słupkowego liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I Odstępy między słupkami przypominają, że chodzi o zmienną nominalną 31

Wykres słupkowy liczebności Aby ułatwić odczyt danych, każdy słupek może być opisany odpowiednią liczbą. K.Szymanek Metodologia badań... I32

Wykres słupkowy liczebności względnych (częstości) Dane można przedstawić w postaci graficznej za pomocą tzw. wykresu słupkowego częstości K.Szymanek Metodologia badań... I33

Wykres słupkowy liczebności względnych (częstości) Tutaj na osi rzędnych (pionowej) zaznaczono ułamki zamiast liczb procentowych. K.Szymanek Metodologia badań... I34

Wykres kołowy liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I35

Wykres kołowy liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I 45,5% 36

Rozkład liczebności zmiennej interwałowej (1) Populacja: 30 osobowa grupa studencka (2) Zmienna: wynik testu (3) Skala: punkty 0, 1, 2…, 5 (zmienna skokowa) (4)Wyniki testu: następny slajd K.Szymanek Metodologia badań... I37

Wyniki testu NR PUNKTÓW NR PUNKTÓW NR PUNKTÓW K.Szymanek Metodologia badań... I38

Rozkład liczebności PUNKTY LICZEBNOŚĆCZĘSTOŚĆ 53 0, , , , , ,07 K.Szymanek Metodologia badań... I39

Rozkład liczebności, częstość, częstość skumulowana PUNKTY LICZEBNOŚĆCZĘSTOŚĆ CZĘSTOŚĆ SKUMULOWANA 53 0,10 1, ,20 0, ,30 0, ,23 0, ,10 0, ,07 K.Szymanek Metodologia badań... I40

Rozkład liczebności, częstość, częstość skumulowana PUNKTY LICZEBNOŚĆCZĘSTOŚĆ CZĘSTOŚĆ SKUMULOWANA 53 0,10 1, ,20 0, ,30 0, ,23 0, ,10 0, ,07 K.Szymanek Metodologia badań... I 70% uczniów osiągnęło wynik 3 lub gorszy 41

Rozkład liczebności, częstość, częstość skumulowana PUNKTY LICZEBNOŚĆCZĘSTOŚĆ CZĘSTOŚĆ SKUMULOWANA 53 0,10 1, ,20 0, ,30 0, ,23 0, ,10 0, ,07 K.Szymanek Metodologia badań... I 17% uczniów osiągnęło wynik 1 lub gorszy 42

Histogram liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I43

Histogram częstości K.Szymanek Metodologia badań... I44

Przypadek większej liczby punktów K.Szymanek Metodologia badań... I W teście wzięło udział 50 studentów. Test dopuszcza wyniki punktowe w granicach Oto komplet wyników 45

Rozkład liczebności (fragment) PUNKTY LICZEBNOŚĆ CZĘSTOŚĆ 10000, , , , , , , , , ,00 K.Szymanek Metodologia badań... I PUNKTY LICZEBNOŚĆ CZĘSTOŚĆ 9010, , , , , , , , , ,00 46

Wyniki pogrupowane PUNKTY LICZEBNOŚĆ CZĘSTOŚĆ , , , , , , , , , ,06 K.Szymanek Metodologia badań... I Dzięki pogrupowaniu wyników dane stają się klarowniejsze 47

Wyniki pogrupowane: 5 grup PUNKTY LICZEBNOŚĆ CZĘSTOŚĆ , , , , ,12 RAZEM 501,00 K.Szymanek Metodologia badań... I Ile przedziałów należy tworzyć? Zaleca się, żeby liczba przedziałów była nie większa niż pierwiastek z połowy liczby N wszystkich wyników (w naszym przypadku N = 50 ). Rubryka RAZEM upewnia nas, że żadnego wyniku nie zgubiliśmy 48

Jak tworzyć histogram? 1. Wyniki ustawić w porządku malejącym, wyznaczyć N. 2. Ustalić wartość największą i wartość najmniejszą. 3. Ustalić granice najwyższego i najniższego przedziału klasowego. 4. Wybrać liczbę k przedziałów klasowych ( ) 5. Ustalić granice przedziałów klasowych. 6. W przypadku zmiennej skokowej przedziały mogą być zbędne. K.Szymanek Metodologia badań... I49

Jak tworzyć histogram? 7. Policzyć liczbę elementów w każdym przedziale klasowym. 8. Sporządzić tabelkę liczebności (częstości). 9. Narysować osie wykresu. Punkt zerowy (czyli 0 na obu osiach) powinien być punktem przecięcia osi. Wybrać skale na obu osiach. 10. Wysokość wykresu powinna stanowić ok. ¾ jego szerokości. K.Szymanek Metodologia badań... I50

Przykład Dane surowe: 3,0/ 6,0/ 7,0/ 8,0/ 9,9/ 3,3/ 6,3/ 7,2/ 8,3/ 11,1/ 3,4 / 6,4/ 7,2/ 8,4/ 13,6/ 2,9/ 5,6/ 7,0/ 8,0/ 9,3/ 3,5/ 6,7/ 7,5/ 8,9/ 13,9/ 4,9/ 6,9/ 7,6/ 9,0/ 14,0/ 5,5/ 7,0/ 8,0/ 9,1/ 14,8/ 3,1/ 6,0/ 7,1/ 8,0/ 10,0 K.Szymanek Metodologia badań... I51

Wyniki uporządkowane 14,8/ 14,0/ 13,9/ 13,6/ 11,1/ 10,0/ 9,9/ 9,3/ 9,1/ 9,0/ 8,9/ 8,4/ 8,3/ 8,0/ 8,0/ 8,0/ 8,0/ 7,5/ 7,2/ 7,2/ 7,1/ 7,0/ 7,0/ 7,0/ 7,0/ 6,9/ 6,7/ 6,4/ 6,3/ 6,0/ 6,0/ 5,6/ 5,5/ 4,9/ 3,5/ 3,4/ 3,3/ 3,1/ 3,0/ 2,9 Rozstęp = 14,8 – 2,9 = 11,9 Decydujemy się na 4 przedziały klasowe: [2,8; 5,8) [5,8: 8,8) [8,8: 11,8) [11,8; 14,8] K.Szymanek Metodologia badań... I52

Tabelka liczebności Wynik Liczebność Częstość [11,8; 14,8]40,13 [8,8; 11,8)70,23 [5,8; 8,8)200,67 [2,8; 5,8)90,30 RAZEM:301,03 K.Szymanek Metodologia badań... I53

Histogram liczebności K.Szymanek Metodologia badań... I 2,8 5,8 8,8 11,8 14,8 54

Histogram częstości K.Szymanek Metodologia badań... I 2,8 5,8 8,8 11,8 14,8 55

Liczba za zbiór liczb Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Liczba za zbiór liczb Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Liczba za zbiór liczb Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Kandydat na taką liczbę: 20. Obliczymy sumę odległości: (a)|5 – 20| = 15 (e) |11 – 20| = 9 (b)|8 – 20| = 12 (f) |19 – 20 |= 1 (c)|9 – 20| = 11 (g) |50 – 20| = 30 (d)|10 – 20| = = 78 58

Liczba za zbiór liczb Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Inny kandydat: 15. Obliczymy sumę odległości: (a)|5 – 15| = 10 (e) |11 – 15| = 4 (b)|8 – 15| = 7 (f) |19 – 15| = 4 (c)|9 – 15| = 6(g) |50 – 15| = 35 (d)|10 – 15| = = 71 Inny kandydat: 15. Obliczymy sumę odległości: (a)|5 – 15| = 10 (e) |11 – 15| = 4 (b)|8 – 15| = 7 (f) |19 – 15| = 4 (c)|9 – 15| = 6(g) |50 – 15| = 35 (d)|10 – 15| = = 71 59

Liczba za zbiór liczb Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Pomysł nr 1: Wybrać taką liczbę, dla której suma odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Jeszcze inny kandydat: 10. Obliczymy sumę odległości: (a)|5 – 10| = 5 (e) |11 – 10| = 1 (b)|8 – 10| = 2 (f) |19 – 10| = 9 (c)|9 – 10| = 1(g) |50 – 10| = 40 (d)|10 – 10| = = 58 Jeszcze inny kandydat: 10. Obliczymy sumę odległości: (a)|5 – 10| = 5 (e) |11 – 10| = 1 (b)|8 – 10| = 2 (f) |19 – 10| = 9 (c)|9 – 10| = 1(g) |50 – 10| = 40 (d)|10 – 10| = = 58 60

Mediana I K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Podsumowanie: (1)wynik dla 20: 78 (2)wynik dla 15: 71 (3)wynik dla 10: 58 Można wykazać, że poniżej 58 nie da się zejść i że wynik taki daje wyłącznie 10. Ćwiczenie: wykonać stosowne obliczenia dla liczby 10,5 i przekonać się, że wynik będzie większy od 58 Podsumowanie: (1)wynik dla 20: 78 (2)wynik dla 15: 71 (3)wynik dla 10: 58 Można wykazać, że poniżej 58 nie da się zejść i że wynik taki daje wyłącznie 10. Ćwiczenie: wykonać stosowne obliczenia dla liczby 10,5 i przekonać się, że wynik będzie większy od 58 61

Mediana II Mediana (me) to wynik „środkowy” me = 10 K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Mediana III Mediana (me) to wynik „środkowy” me = 10 K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Mediana IV Mediana (me) to wynik „środkowy” me = 10 K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Mediana V Mediana (me) to wynik „środkowy” me = 9 K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK

Mediana - ściślej Mediana jest to taka liczba, że (a)wyników nie mniejszych od niej jest co najmniej 50% (b)wyników nie większych od niej jest co najmniej 50% K.Szymanek Metodologia badań... I66

Mediana - przykłady (a)3, 4, 7, 15, 18 (me = 7) (b)3, 4, 7, 7, 7, 9, 20 (me = 7) (c)3, 4, 7, 8, 13, 20- w tym wypadku warunki mediany spełniają wszystkie liczby z przedziału [7, 8]. Przyjmujemy umowę, że medianą jest (7+8)/2 = 7,5. (d) 1, 10, 23, 25, 34, 38, 40, 41, 57, 61 (e)5, 6, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 14, 15 K.Szymanek Metodologia badań... I (me = 36) (me = 9,5) 67

Pomysł nr 2 Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Pomysł nr 2: Wybrać taką liczbę, dla której suma kwadratów odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Pomysł nr 2: Wybrać taką liczbę, dla której suma kwadratów odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Kandydat na taką liczbę: 10 (mediana). Obliczamy sumę kwadratów odległości: (a)(5 – 10) 2 = 25 (e) (11 – 10) 2 = 1 (b)(8 – 10) 2 = 4 (f) (19 – 10) 2 = 81 (c)(9 – 10) 2 = 1(g) (50 – 10 ) 2 = 1600 (d)(10 – 10) 2 = =

Pomysł nr 2 Przypuśćmy, że zależy nam na scharakteryzowaniu następującego zbioru wyników za pomocą jednej liczby K.Szymanek Metodologia badań... I WYNIK Pomysł nr 2: Wybrać taką liczbę, dla której suma kwadratów odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Pomysł nr 2: Wybrać taką liczbę, dla której suma kwadratów odległości do poszczególnych wyników będzie najmniejsza. Inny kandydat: 16. Obliczymy sumę kwadratów odległości: (a)(5 – 16) 2 = 121 (e) (11 – 16) 2 = 25 (b)(8 – 16) 2 = 64 (f) (19 – 16) 2 = 9 (c)(9 – 16) 2 = 49(g) (50 – 16 ) 2 = 1156 (d)(10 – 16) 2 = =

Inne wyliczenia Liczba Suma kwadratów 91803, , , , , ,00 15,51461,75 15,81460, ,00 16,21460,28 16,41461, , ,00 K.Szymanek Metodologia badań... I Liczba, która realizuje minimum (w naszym przykładzie jest to 16), to średnia arytmetyczna wszystkich wyników. ( )/7 = 16 70

Średnia arytmetyczna K.Szymanek Metodologia badań... I71

Średnia - przykłady (a) 2, 4(m = 3) (b) 2, 4, 6 (m = 4) (c) 1, 8, 7, 3, 2 m = ( )/5 = 21/5 = 4,2 K.Szymanek Metodologia badań... I72