Ekonometria WYKŁAD 7 Piotr Ciżkowicz Katedra Międzynarodowych Studiów Porównawczych

Plan Czym się zajmiemy: 1.Modele liniowe i nieliniowe – przykłady 2.Funkcje produkcji 3.Modele zmiennej jakościowej

Modele liniowe ►Modele liniowe względem parametrów i zmiennych np.: ►Jeśli funkcja g (y)=y, to model jest bezpośrednio liniowy względem parametrów, w przeciwnym przypadku model jest linearyzowany np. ►Modele liniowe względem parametrów, lecz nieliniowe względem zmiennych np.: lub w postaci ogólnej: lub po zlinearyzowaniu:

Typowe modele liniowe wzg. parametrów ►Modele bezpośrednio liniowe: ►Modele funkcji kwadratowej (zależność U-kształtna) ►Model ze zmiennymi interakcyjnymi ►Modele linearyzowane: ►Model potęgowy: ►Model wykładniczy: ►Model hiperboliczny:

Interpretacja parametrów regresji w modelach z logarytmami ►Model liniowy : poziom – poziom - wyjaśnione wcześniej ►Model logarytmiczny : poziom – logarytm Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o jednostek ►Model wykładniczy : logarytm– poziom Interpretacja: wzrost x o 1 prowadzi do wzrostu y o ►Model potęgowy: logarytm– logarytm Interpretacja: wzrost x o 1% prowadzi do wzrostu y o

Co oznacza przyrost logarytmu? ►Wyrażenie oznacza tempo wzrostu zmiennej x ►Dla zmiennej przekrojowej oznacza natomiast procentowy przyrost zmiennej x ►Dowód: ►Z rozwinięcia Taylora mamy stąd dla mamy:

Elastyczność a logarytmy ►Elastyczność cząstkowa zmiennej y po zmiennej x dana jest wzorem: ►Dowód: oznaczając u=lny, v=lnx, x=e^lnx=e^v otrzymujemy

Interpretacja parametru w wykładniczym modelu trendu parametr stojący przy zmiennej t oznacza stopę wzrostu zmiennej y ►Dowód: ►W modelu postaci co ze wzoru Maclaurina jest równe

Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna ►Funkcja logistyczna to funkcja określona wzorem ►Wykres funkcji logistycznej postaci

Przykład modelu ściśle nieliniowego – funkcja logistyczna ►Własności funkcji logistycznej: ►parametr jest poziomem nasycenia zmiennej y, gdyż zachodzi : ►dla t= 0 funkcja przyjmuje ►punktem przegięcia funkcji jest ►funkcję można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania prawdopodobieństwa (podstawa tzw. modelu logistycznego)

Funkcja produkcji - własności (1) ►Funkcja produkcji opisuje zależność między nakładami czynnikami produkcji wartością wytworzonego dzięki nim produktu. ►Funkcja produkcji może bazować na danych mikro (nakłady i wyniki poszczególnych przedsiębiorstw), bądź danych makroekonomicznych (województwo, sektor, kraj itp.) ►Ogólna postać ekonometrycznej funkcji produkcji:

Funkcja produkcji - własności (2) ►Estymacja ekonometrycznej funkcji produkcji może bazować na danych przekrojowych (np firm z danego województwa w danym roku), szeregach czasowych (np. produkcja i nakłady danego przedsiębiorstwa w 30 kolejnych kwartałach) lub danych panelowych (np. wielkość produkcji i nakładów w 15 sektorach gospodarki w latach ) ►Funkcja produkcji jest zazwyczaj funkcją nieliniową; niektóre z jej postaci można zlinearyzować (por. dalej funkcję produkcji Cobba- Douglasa) ►Funkcja produkcji zazwyczaj spełnia szereg własności – dla uproszczenia przedstawione są dla funkcji dwuczynnikowej postaci:

Funkcja produkcji - własności (3) ►(1) Funkcja produkcji jest ciągła i dwukrotnie różniczkowalna ►(2) Wartości funkcji oraz jej argumenty są nieujemne (wykres znajduje się w pierwszym oktancie układu (Y, K, L) ►(3) Warstwice funkcji produkcji dla (K,L) tworzą izokwanty produkcji – linie obrazujące kombinację czynników produkcji dających tę samą wielkość produktu; izokwanty są wypukłe w przestrzeni (K, L); dla danej wielkości produktu są opisane wzorem : ►(4) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest dodatnia; jest to pierwsza pochodna funkcji produkcji po danym czynniku produkcji; mierzy o ile zmienia się produkt jeśli ceteris paribus nakład czynnika zmienia się o jednostkę

Funkcja produkcji - własności (4) ►(5) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest malejącą funkcją nakładów tego czynnika; jest to druga pochodna po danym czynniku produkcji; własność oznacza, że zwiększanie danego czynnika produkcji ceteris paribus prowadzi do coraz mniejszego wzrostu produktu ►(6) Produkcyjność krańcowa czynnika produkcji jest rosnącą funkcją nakładów drugiego czynnika; jest to pochodna mieszana po obu czynnikach produkcji; własność oznacza, że zwiększanie danego czynnika produkcji ceteris paribus prowadzi zwiększenia produkcyjności krańcowej drugiego czynnika produkcji

Funkcja produkcji - własności (5) ►(7) Funkcja produkcji jest jednorodna; stopień jednorodności funkcji jest określony przez r we wzorze: Stopień jednorodności funkcji definiuje tzw. efekty skali: ►jeśli r<1, to funkcja wykazuje malejące korzyści skali tzn. że zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje zwiększenie produktu o mniej niż x%; ►jeśli r=1, to funkcja wykazuje stałe korzyści skali tzn. że zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje zwiększenie produktu o x%; ►jeśli r>1, to funkcja wykazuje rosnące korzyści skali tzn. że zwiększenie każdego z czynników produkcji o x% powoduje zwiększenie produktu o więcej niż x%.

Funkcja produkcji - własności (6) ►(8) Czynniki produkcji są substytucyjne w procesie produkcji. Oznacza to, że ten sam poziom produktu można osiągnąć różnymi kombinacjami nakładów czynników produkcji. ►Stopień zastępowania czynników produkcji określa Krańcowa Stopa Substytucji (KSS); określa ona jaka powinna być wielkość wzrostu (spadku) jednego z czynników produkcji, aby przy spadku (wzroście) drugiego czynnika produkcji o jednostkę produkt pozostawał stały ►KSS jest równa współczynnikowi nachylenia stycznej do izokwanty w punkcie równym wyjściowej kombinacji czynników produkcji. ►KSS wyznaczamy ze wzoru na różniczkę zupełną tzn.: Ponieważ produkt ma być stały to dY=0, a stąd

Funkcja produkcji - własności (7) ►(9) Elastyczność produkcji względem czynnika produkcji mierzona w danym punkcie mówi o ile procent zmieni się Y jeśli dany czynnik produkcji zmieni się o 1 proc. w otoczeniu punktu wyznaczonego przez daną kombinację czynników produkcji: ►(10) Elastyczność substytucji mówi o ile proc. zmienia się relacja czynników produkcji (K/L – techniczne uzbrojenie pracy) w reakcji na 1 proc. zmianę KSS; mierzy stopień wypukłości izokwanty

Funkcja Cobba-Douglasa (1) ►Funkcja bazuje na modelu potęgowym i jest liniowa względem parametrów – po zlinearyzowaniu przyjmuje postać: ►Funkcja postaci lub w formule dwuczynnikowej ►(4) Produkcyjność krańcowa: ►(3) Izokwanta produkcji dla Y0:

Funkcja Cobba-Douglasa – izokwanty dla funkcji o parametrach a=0.8, b=0.66, c=0.33

Funkcja Cobba-Douglasa (2) ►(6) Produkcyjności krańcowe są rosnącą funkcją drugiego czynnika produkcji ►(5) Produkcyjności krańcowe są malejącą funkcją danego nakładu produkcji, jeśli tylko b i c <1

Funkcja Cobba-Douglasa (3) ►(8) Krańcowa stopa substytucji jest funkcją technicznego uzbrojenia pracy ►(7) Funkcja jest jednorodna stopnia r=b+c Efekty skali zależą więc od sumy współczynników b i c: ►jeśli b+c<1, to funkcja wykazuje malejące korzyści skali ►jeśli b+c=1, to funkcja wykazuje stałe korzyści skali ►jeśli b+c>1, to funkcja wykazuje rosnące korzyści skali

Funkcja Cobba-Douglasa (4) ►(9) Elastyczności produkcji względem czynników produkcji ►(10) Elastyczności produkcji względem czynników produkcji. W funkcji Cobba- Douglasa jest ona stała i zawsze wynosi 1

Estymacja funkcji Cobba-Douglasa ►W praktyce funkcję CD estymujemy metodą najmniejszych kwadratów logarytmując wyjściowe wartości poszczególnych zmiennych ►Za pomocą testu liniowych restrykcji możemy przetestować hipotezę o charakterze korzyści skali (stałe, rosnące lub malejące) ►W modelach bazujących na szeregach czasowych często do funkcji produkcji dodaje się parametr opisujący zmiany produktu w czasie niezależne od poziomu czynników produkcji lub dla postaci zlinearyzowanej Wartość parametru d informuje o ile procent zmienia się wartość produktu w każdej jednostce czasu. Jest interpretowana jako miara postępu technologicznego.

Modele zmiennej jakościowej ►Zmienne jakościowe stosowane są do kwantyfikacji cech jakościowych np. płci, przedziału dochodów, jakości produktu itp. ►Bardzo często zmienne te przyjmują postać binarną (zerojedynkową) np. 1- kobieta, 0- mężczyzna ►Modele zmiennej jakościowej to takie, w których zmienną objaśnianą w modelu jest zmienna jakościowa zazwyczaj zero- jedynkowa. ►Zmienne objaśniające mogą być zarówno zmiennymi jakościowymi, jak i ilościowymi ►Postać funkcyjna zależności może być różna, w szczególności może mieć charakter nieliniowy

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (1) ►LMP w postaci teoretycznej zapisujemy jako gdzie y(i) jest zmienną zero-jedynkową ►Wartości empiryczne zmiennej objaśnianej są równe 0 lub 1, jednak wartości teoretyczne (wynikające z modelu) nie mają takich ograniczeń ►Jaka jest interpretacja wartości teoretycznych y(i)? Co oznacza wartość 0.3, jeśli zmienna objaśniana przyjmuje wartość 1, gdy dana osoba jest bezrobotna, a 0 gdy pracująca? ►Należy zauważyć, że: natomiast z postaci funkcyjnej modelu wynika, że

►Z powyższego wynika że: Liniowy Model Prawdopodobieństwa (2) co oznacza, że wartość teoretyczna zmiennej objaśnianej może być interpretowana jako prawdopodobieństwo tego, że zmienna y(i) przyjmie wartość 1 ►Interpretacja parametrów strukturalnych LMP odnosi się do zmian prawdopodobieństwa w reakcji na jednostkową zmianę wartości zmiennej objaśniającej przy innych czynnikach niezmienionych.

►Przykład: oszacowano LMP postaci: Liniowy Model Prawdopodobieństwa (3) gdzie y(i) przyjmuje wartość 1, gdy dane gospodarstwo domowe posiada mieszkanie na własność i 0 w pozostałych przypadkach, zaś zmienna x określa miesięczny dochód rozporządzalny gospodarstwa domowego w tys. zł. ►Przy dochodzie rozporządzalnym równym 10 tys. zł prawdopodobieństwo tego, że dane gospodarstwo domowe posiada mieszkanie na własność wynosi 0.5, zaś wzrost dochodu o 1 tys. zł prowadzi do wzrostu prawdopodobieństwa posiadania mieszkania o 0.03.

Główne ograniczenia LMP: Liniowy Model Prawdopodobieństwa (4) ►Ograniczenie nr 1: ►składniki losowe w LMP nie mają rozkładu normalnego; ►analizując własności składnika losowego na podstawie poznanych wcześniej testów, dochodzimy do wniosku, że charakteryzuje się on heteroskedastycznością gdyż zachodzi: ►utrudniona jest więc ocena istotności dokonywana na podstawie standardowych testów ►Ograniczenie nr 2: ►teoretyczne wartości zmiennej objaśnianej mogą być mniejsze od 0 i większe od 1 ►uniemożliwia to ich interpretację w kategoriach prawdopodobieństwa

Liniowy Model Prawdopodobieństwa (5)

Model logitowy (1) ►Model logitowy bazuje na funkcji logistycznej określonej wzorem ►Przykład funkcji logistycznej:

►Funkcję logistyczną można sformułować w innej wersji, w której przyjmuje wartość nasycenia równą 1, stąd nadaje się do modelowania prawdopodobieństwa: Model logitowy (2) ►Model prawdopodobieństwa ma więc postać: gdzie: ►Z powyższego wynika, że

►Logit to logarytm ilorazu szans, czyli relacji prawdopodobieństwa zdarzenia, dla którego y przyjmuje wartość 1 i zdarzenia przeciwnego – relacja z zakładów bukmacherskich ►Przykład: przy strzelaniu do tarczy i prawdopodobieństwie trafienia w jej środek równym 0.33 iloraz szans wynosi ½, czyli szansa na trafienie vs. szansa na nietrafienie mają się jak 1 do 2. Model logitowy (3) ►Iloraz szans ma postać zaś logit:

►Z powyższego wynika interpretacja parametrów strukturalnych, która jest inna niż w LMP. Model logitowy (4) ►Z powyższego wynika, że zmiana wartości zmiennej o jednostkę prowadzi do wzrostu ilorazu szans o ►Wpływ zmian wartości zmiennej na wartość prawdopodobieństwa przyjęcia przez zmienną objaśnianą wartości 1 definiujemy jako efekt krańcowy i wyznaczamy ze wzoru

►Uwaga do interpretacji efektu krańcowego: wartość efektu krańcowego jest funkcją wartości pozostałych zmiennych objaśniających modelu. Oznacza to, że efekt krańcowy jest nieliniowy: ►wpływ na prawdopodobieństwo tej samej zmiany jednostkowej zmiennej objaśniającej prowadzi do innej zmiany prawdopodobieństwa w zależności od pozostałych wartości zmiennych objaśniających ►wartość efektu krańcowego podaje się dla zadanej wartości wszystkich zmiennych objaśniających modelu. Model logitowy (5) ►W pakietach ekonometrycznych podaje się efekty krańcowe dla średniej wartości prawdopodobieństwa.

►Standardowe miary dopasowania (stosowane w przypadku zwykłego modelu liniowego) w modelu logitowym nie znajdują zastosowania. Model logitowy (6) ►W modelu logitowym stosuje się inne metody estymacji, gdyż jest to model nieliniowy. Zazwyczaj jest to Metoda Największej Wiarygodności, gdzie maksymalizuje się funkcję wiarygodności postaci ►Na podstawie tej metody wyznacza się (wyliczany standardowo w większości pakietów) współczynnik pseudo-R^2 McFadena : gdzie L MP to wartość funkcji wiarygodności dla pełnego modelu (zawierającego wszystkie zmienne objaśniające) zaś L MZ to wartość funkcji wiarygodności dla modelu zredukowanego do wyrazu wolnego

►Druga standardowa miara dopasowania bazuje na tzw. tablicy trafności prognoz ex post konstruowanej według następującej procedury: Model logitowy (6) ►po estymacji parametrów modelu dokonuje się oszacowania wartości teoretycznych prawdopodobieństw według wzoru: ►dla tak wyznaczonych prawdopodobieństw wyznaczamy wartości teoretyczne zmiennej objaśnianej według ►(1) jeśli próba jest zbilansowana tzn. liczba 0 i 1 dla zmiennej objaśnianej jest mniej więcej równa ►(2) jeśli próba jest niezbilansowana, przy czym jest równa udziałowi wartości 1 w wartościach Y(i) (tzw. metoda optymalnej wartości granicznej Cramera)

►w kolejnym kroku tworzy się tablicę postaci: Model logitowy (7) ►wyznaczamy wartość tzw. R^2 zliczeniowego postaci EmpiryczneTeoretyczneRazem Y=1Y=0 Y=1N11N10N1. Y=0N01N00N0. RazemN.1N.0N

►W modelu probitowym wartość prawdopodobieństwa określona jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego tzn. Model probitowy gdzie jest funkcją gęstości standardowego rozkładu normalnego ►Efekty krańcowe w tym modelu mają postać gdzie: ►Relacja między parametrami modelu logitowego i probitowego jest dana wzorem

►Jest to jeden z modeli służących do estymacji w przypadku zmiennej ograniczonej, czyli przyjmującej wartość liczbową w jakimś przedziale (gdy są obserwowalne) oraz wartość jakościową poza tym przedziałem (wtedy nadajemy im jakąś umowną wartość np. 0). Model tobitowy ►Najczęściej model opisujący kształtowanie się takiej zmiennej ma postać ►Model ten zwany też modelem normalnej regresji cenzurowanej ma zastosowanie w modelowaniu np. ►wydatków na zakup mieszkania w gospodarstwach domowych ►przychodów z pracy w danym okresie wśród osób o różnym statusie na rynku pracy ►nakładów inwestycyjnych w danym okresie

Dziękuję za uwagę