PROGNOZY I SYMULACJE 1 Katarzyna Chudy – Laskowska konsultacje: p. 400Aśroda12-14 czwartek strona internetowa: Forecasting is the art of saying what will happen, and then explaining why it didn’t. Ch. Chatfield (1986)

2 Estymacja nieliniowa WYKŁAD XIII 1.Wprowadzenie 2.Mikroekonomiczne funkcje popytu (funkcje Törnquista) 3.Modele ekonometryczne liniowe względem parametrów, ale nieliniowe względem zmiennych objaśnianych 4.Modele ekonometryczne nieliniowe zarówno względem parametrów jak i zmiennych ale sprowadzalne do modeli liniowych względem parametrów za pomocą transformacji zmiennych 5.Model potęgowy 6.Model wykładniczy 7.Wielomiany 8.Funkcje hiperboliczne 9.Funkcje logarytmiczne 10.Funkcje logistyczne

3 Analizując zależności między zmiennymi ekonomicznymi, dochodzi się do w wniosku, że często zależności te nie są wyraźnie liniowe. Zastosowanie w takim przypadku liniowego modelu ekonometrycznego prowadzi do błędnych wniosków, lub do błędnego prognozowania. Jeśli w modelu regresji liniowej współczynnik determinacji jest niewielki, może to właśnie świadczyć o nieliniowym charakterze związku badanych zmiennych. Z punktu widzenia metod estymacji parametrów, można wyróżnić trzy typy modeli nieliniowych: -modele ekonometryczne liniowe względem parametrów, ale nieliniowe względem zmiennych objaśnianych -modele ekonometryczne nieliniowe zarówno względem parametrów jak i zmiennych ale sprowadzalne do modeli liniowych względem parametrów za pomocą transformacji zmiennych -modele nieliniowe, których nie można przekształcić do modeli liniowych względem parametrów (modele istotnie nieliniowe) WPROWADZENIE

MIKROEKONOMICZNE FUNKCJE POPYTU FUNKCJE TÖRNQUISTA Funkcje te zwane krzywymi Törnquista są dobrymi aproksymantami tzw. krzywych Engla, opisujących zależność popytu (wydatku) na dane dobro lub usługę do dochodu konsumenta (przy ustalonych wartościach innych czynników wpływających na popyt konsumpcyjny a szczególnie przy niezmiennych cenach). Zmienną objaśnianą w funkcjach Törnquista są wydatki na dane dobro (grupę dóbr czy usług), natomiast zmienną objaśniającą – dochody. Funkcje te należą do rodziny funkcji hiperbolicznych. Ich cechą charakterystyczną jest to, że parametry: γ-wyznaczają hierarchię potrzeb, α-paziom ich nasycenia (z wyjątkiem funkcji typu III). Kształt krzywych jest zgodny z prawami Engla. Przy niskim poziomie dochodów większość wydatków jest przeznaczana na dobra niższego rzędu oraz pierwszej potrzeby. Przy wyższych dochodach zaczynają pojawiać się wydatki na dobra względnie luksusowe. Po osiągnięciu odpowiednio wysokiego poziomu dochodów pojawiają się wydatki na dobra luksusowe. W zależności od rodzaju potrzeb zaspokajanych dzięki konsumpcji określonych dóbr i usług wyróżnia się funkcje (krzywe) Törnquista dla: -dóbr i usług niższego rzędu, -dóbr i usług podstawowych (pierwszej potrzeby), -dóbr i usług wyższego rzędu (dalszej potrzeby, względnie luksusowych), -dóbr i usług luksusowych. 4

FUNKCJE TÖRNQUISTA Wspomnianemu podziałowi odpowiadają cztery typy funkcji (krzywych) Törnquista: Funkcja Törnquista typu zerowego: (dobra i usługi niższego rzędu) α γ -β-β x y 5

Funkcja Törnquista typu pierwszego: (dobra i usługi podstawowe – pierwszej potrzeby) FUNKCJE TÖRNQUISTA α x y α – jest asymptotą poziomą β – asymptotą pionową 6

Funkcja Törnquista typu drugiego: (dobra i usługi wyższego rzędu, dalszej potrzeby) FUNKCJE TÖRNQUISTA α x y γ α – jest asymptotą poziomą β – asymptotą pionową γ – przesunięcie pionowe funkcji w porównaniu z funkcja typu I 7

Funkcja Törnquista typu trzeciego: (dobra i usługi luksusowe) FUNKCJE TÖRNQUISTA y x γ β+γβ+γ W funkcji parametr β nie spełnia już roli poziomu nasycenia, gdyż model ten nie posada asymptoty poziomej lecz ukośną. Funkcja rośnie coraz szybciej dla dochodów większych od x=γ. Począwszy od tego punktu dla x  , konsumenci przeznaczają na dobra luksusowe coraz większą część dochodów. Parametr γ jest poziomem X, przy którym pojawia się objaśniane zjawisko (Y). 8

Dana jest zależność: Y – jest liniową funkcją parametrów  0,  1,  2, ale nie jest liniową funkcją zmiennej X, w zależności występuje kwadrat tej zmiennej. Wszystkie obliczenia związane z wyznaczeniem estymatorów parametrów tego modelu, ich błędów standardowych, estymatora wariancji składnika losowego są analogiczne jak dla modelu z wieloma zmiennymi objaśniającymi. Inna jest interpretacja parametrów modelu: Jeśli wartość zmiennej X zwiększy się o jednostkę to przeciętna wartość zmiennej Y zwiększy się o  1 +2  2 x jeżeli  1 < 0 i  2 < 0 lub zmniejszy się o  1+2  2 x jeżeli  1 > 0 i  2 < 0. Sytuacja, w której parametry różnią się znakami musi być rozpatrywana dla ich konkretnych wartości, ponieważ zmiana o jednostkę zmiennej X może powodować albo wzrost albo spadek zmiennej Y. Jest to model z jedną zmienną objaśniającą X mimo, że występują dwie zmienne ją reprezentujące. MODELE EKONOMETRYCZNE LINIOWE WZGLĘDEM PARAMETRÓW, ALE NIELINIOWE WZGLĘDEM ZMIENNYCH OBJAŚNIANYCH 9

W wielu sytuacjach zmienna objaśniana może zależeć od kilku zmiennych objaśniających w sposób nieliniowy przy jednoczesnej zależności liniowej od parametrów: Model można podobnie jak i wcześniejszy sprowadzić do liniowego z wieloma zmiennymi objaśniającymi i stasować wcześniej omówione metody do estymacji parametrów. 10

MODELE EKONOMETRYCZNE NIELINIOWE ZARÓWNO WZGLĘDEM PARAMETRÓW JAK I ZMIENNYCH ALE SPROWADZALNE DO MODELI LINIOWYCH WZGLĘDEM PARAMETRÓW ZA POMOCĄ TRANSFORMACJI ZMIENNYCH Często w badaniach występują zależności, które nie są zależnościami liniowymi ani względem parametrów ani względem zmiennych. Niektóre z nich mogą być jednak drogą transformacji zmiennych sprowadzone do zależności liniowych; do najczęściej spotykanych należą zależności typu potęgowego i wykładniczego. Modele potęgowe znajdują szerokie zastosowanie w analizie funkcji produkcji. 11

y t - wartość zmiennej objaśnianej w okresie t x it - wartość i-tej zmiennej objaśniającej w okresie t  i – parametr występujący przy i-tej zmiennej objaśnianej  t - realizacja czynnika losowego w okresie t Logarytmując stronami wzór sprowadzamy analizowany model do postaci liniowej względem parametrów. MODEL POTĘGOWY Model ten jest już modelem liniowym (ze względu na zmienne i parametry), spełnia on założenia stosowania MNK do szacowania parametrów. 12

MODEL POTĘGOWY Funkcja potęgowa jest jedną z najczęściej stosowanych postaci, ma ona zastosowanie przede wszystkim: -w analizie rynku przy badaniu popytu na dobra nowe, wówczas α1>0 oraz gdy dane dobro rośnie ale w tempie malejącym; -dla α1>0 dobrze aproksymuje zależność indywidualnej wydajności pracy od czasu dojazdu do pracy; -w demografii, przy szacowaniu potencjału życiowego ludności.  1 >1  1 =10<  1 <1  1 =0  1 <0 13 Jeżeli zmienna x i wzrośnie o 1%, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o α i %.

MODEL WYKŁADNICZY Logarytmując stronami logarytmem przy podstawie e otrzymuje się: Model ten jest liniowym względem parametrów i zmiennej objaśnianej Funkcję wykładniczą najczęściej można zastosować w przypadku: - badania dynamiki dochodu narodowego; - analizy rynku, przy badaniu popytu na dobra nowe, w fazie rozpowszechniania; - w demografii. Znajduje także zastosowanie w szacowaniu funkcji kosztów całkowitych. 14

MODEL WYKŁADNICZY  1 >0  1 =0  1 <0  1 >0  1 =0  1 <0  1 >1  1 =1 0<  1 <1 x x x Y YY 15 jeżeli zmienna x i wzrośnie o jednostkę, a pozostałe zmienne nie ulegną zmianie, to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o (e αi – 1) * 100% czyli w przybliżeniu o α i * 100%.

WIELOMIANY Znajdują one zastosowanie w ekonometrycznej analizie kosztów produkcji. Wielomian stopnia III Wielomian stopnia II Wielomian stopnia IV 16

FUNKCE HIPERBOLICZNE Podstawienie wygląda następująco: Dla α 0 ≥0, α 1 >0 jest funkcją kosztów przeciętnych, gdy funkcja kosztów całkowitych jest funkcją liniową. 17

FUNKCE LOGARYTMICZNE Postać analityczna wygląda następująco: Y=α 0 +α 1 logX, przy założeniu, że α 0 >0, α 1 >0. Sprowadzenie funkcji do postaci liniowej odbywa się poprzez podstawienia. Zastosowania w tym przypadku są następujące: 1) dla α 1 >0 dobrze aproksymuje krzywe Engla dla dóbr wyższego rzędu (dóbr względnie luksusowych lub inaczej półluksusowych), gdy popyt na te dobra rośnie, ale w tempie malejącym; 2) opisuje udział procentowy pracowników np. inżynieryjno – technicznych w stosunku do ogółu zatrudnionych w przemyśle; 3) dla α 0 =0, α 1 >0 jest funkcją kosztów całkowitych – jest to konsekwencją hipotezy, że funkcja kosztów całkowitych jest funkcją odwrotną do funkcji produkcji. 18

FUNKCJE LOGISTYCZNE Zmienną objaśniającą w modelu logistycznym jest często czas, jest to więc model tendencji rozwojowej: 19

20 ESTYMACJA NIELINIOWA - PRZYKŁAD Na podstawie danych zawartych w tabeli dotyczących dochodu na jednego mieszkańca oraz odsetka pracujących w transporcie dla wybranych państw europejskich oszacować -parametry modelu liniowego, -model potęgowy, -model wykładniczy. Dokonać interpretacji i wybrać model najlepiej opisujący badaną zależność. YX AUSTRIA ISLANDIA NORWEGIA SZWAJCARIA SZWECJA FINLANDIA BUŁGARIA CZECHY POLSKA RUMUNIA WĘGRY Y- dochód na jednego mieszkańca X – odsetek pracujących w transporcie

21 Model liniowy Y=ax+b Model potęgowy Y=ax b Model wykładniczy Y=ab x ESTYMACJA NIELINIOWA - PRZYKŁAD Y- dochód na jednego mieszkańca X – odsetek pracujących w transporcie

22 ESTYMACJA NIELINIOWA - PRZYKŁAD Szacowanie parametrów modelu liniowego Y=ax+b ab Ocena parametrów-1311, ,08 Udział wariancji wyjaśnionej0,73 R0,86 Y=-1311,01x+33352,08 INTERPRETACJA

23 ESTYMACJA NIELINIOWA - PRZYKŁAD Szacowanie parametrów modelu potęgowego Y=ax b ab Ocena parametrów120670,8-0,88146 Udział wariancji wyjaśnionej0,63 R0,79 Y=120670,8x -0,88146 Jeżeli zmienna x i wzrośnie o 1%, a pozostałe zmienne objaśniające nie ulegną zmianie to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o b i %. INTERPRETACJA

24 ESTYMACJA NIELINIOWA - PRZYKŁAD Szacowanie parametrów modelu wykładniczego Y=ab x ab Ocena52665,370,8965 Udział wariancji wyjaśnionej0,76 R0,87 Y=52665,37*0,8965 x Jeżeli zmienna x i wzrośnie o jednostkę, a pozostałe zmienne nie ulegną zmianie, to zmienna endogeniczna zmieni się średnio o (e bi – 1) * 100% czyli w przybliżeniu o b i * 100%. INTERPRETACJA

25 ESTYMACJA NIELINIOWA - PODSUMOWANIE Rodzaj modelu model liniowymodel potęgowymodel wykładniczy Udział wariancji wyjaśnionej0,730,630,76 R0,860,790,87