Treść dzisiejszego wykładu l Metoda kar. l Podsumowanie przekształcania zadań programowania liniowego do postaci tabelarycznej. l Specjalne przypadki –sprzeczność, –nieograniczoność, –alternatywne rozwiązania optymalne, –degeneracja.

HighTech jeszcze raz x 1 - liczba wyprodukowanych sztuk Deskpro, x 2 - liczba wyprodukowanych sztuk Portable 50x x 2  max p.w. 3x 1 + 5x 2  150czas montażu 1x 2  20monitory komputera Portable 8x 1 + 5x 2  300przestrzeń magazynowa x 1 + x 2  25minimalna produkcja x 1, x 2  0

Postać standardowa 50x x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4  max p.w. 3x 1 + 5x 2 + s 1 =  150 x 2 + s 2 =  20 8x 1 + 5x 2 + s 3 =  300 x 1 + x 2 - s 4 = 25 x 1, x 2, s 1, s 2, s 3, s 4  0

RB dla x 1 = 0 i x 2 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 s 1 = 150 s 2 = 20 s 3 = 300 s 4 = -25  niedopuszczalne!!!

Układ równań - postać tabelaryczna 3x 1 + 5x 2 + s 1 =  150 x 2 + s 2 =  20 8x 1 + 5x 2 + s 3 =  300 x 1 + x 2 - s 4 + a 4 = 25

Bazowe rozwiązanie dopuszczalne l x 1 = x 2 = s 4 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 s 1 = 150 s 2 = 20 s 3 = 300 s 4 = 0 a 4 = 25

Metoda kar l PROBLEM: Jak zagwarantować, aby zmienne sztuczne zostały wyeliminowane przed osiągnięciem rozwiązania optymalnego? l ROZWIĄZANIE: Przypisać im bardzo duży koszt, np $, ale lepiej -M. Wtedy, jeżeli będą w bazie to bardzo zmniejszą zysk. l EFEKT: Zmienne sztuczne zostaną usunięte tak szybko jak tylko można. l NOWA FUNKCJA CELU: 50x x 2 + 0s 1 + 0s 2 + 0s 3 + 0s 4 -Ma 4  max

Pierwsza tablica simpleksowa l Bazowe rozwiązanie dopuszczalne: –x 1 = 0, x 2 = 0, s 1 = 150, s 2 = 20, s 3 = 300, s 4 = 0, a 4 = 25. –Rozwiązanie niedopuszczalne w problemie rzeczywistym!!!

Rozwiązanie optymalne l Rozwiązanie optymalne: –x 1 = 30, x 2 = 12, s 1 = 0, s 2 = 8, s 3 = 0, s 4 = 17. –Rozwiązanie dopuszczalne w problemie rzeczywistym!!!

Sprzeczność zadania PL l Zadanie PL jest sprzeczne wtedy, gdy nie ma ani jednego rozwiązania, spełniającego wszystkie ograniczenia, włączając warunki nieujemności. l HighTech: łączna produkcja nie może spaść poniżej 50 sztuk: 50x x 2  max p.w. 3x 1 + 5x 2  150czas montażu x 2  20monitory komputera Portable 8x 1 + 5x 2  300przestrzeń magazynowa x 1 + x 2  50minimalna produkcja x 1, x 2  0

Pierwsza tablica simpleksowa

Ostatnia tablica simpleskowa zadnie sprzeczne

Tworzenie formy tabelarycznej l Krok 1: Jeśli oryginalne zadanie PL zawiera jedno lub więcej ograniczeń z ujemną prawą stroną, pomnóż każde z tych ograniczeń przez -1. Pamiętaj o zmianie kierunków nierówności. Zadanie PL będzie teraz miało nieujemne prawe strony. Krok 2: Do warunków  dodaj zmienne niedoboru, aby otrzymać równości. Zmienne niedoboru wprowadź do funkcji celu ze współczynnikami zero. Ograniczenia te są już w postaci tabelarycznej, a wprowadzone zmienne niedoboru będą zmiennymi bazowymi w pierwszym BRD.

Tworzenie formy tabelarycznej Krok 3: W warunkach  odejmij zmienne nadmiaru, aby otrzymać równości, a następnie dodaj zmienne sztuczne, aby otrzymać postać tabelaryczną tych ograniczeń. Zmienne nadmiaru wprowadź do funkcji celu ze współczynnikami zero. Zmienne sztuczne wprowadź do funkcji celu ze współczynnikami -M (MAX) lub M (MIN). Zmienne sztuczne będą jednymi ze zmiennych bazowych w pierwszym BRD. l Krok 4: Do warunków = dodaj zmienną sztuczną, aby otrzymać formę tabelaryczną tych ograniczeń. Zmienne sztuczne wprowadź do funkcji celu ze współczynnikami -M (MAX) lub M (MIN). Zmienne sztuczne będą jednymi ze zmiennych bazowych w pierwszym BRD.

Przykład 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 1x 4  max p.w. -2x 1 -1/2x 2 + 1x 3 - 6x 4 = -60 1x 1 + 1x 3 + 2/3x 4  20 -1x 2 - 5x 3  -50 x 1, x 2, x 3, x 4  0

Przykład l W celu wyeliminowania ujemnych prawych stron, odpowiednie ograniczenie mnożymy przez -1 (krok 1) 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 + 1x 4  max p.w. 2x 1 + 1/2x 2 - 1x 3 + 6x 4 = 60 1x 1 + 1x 3 + 2/3x 4  20 1x 2 + 5x 3  50 x 1, x 2, x 3, x 4  0

Przykład l Stosujemy: krok 4 do ograniczenia 1, krok 2 do ograniczenia 2 i krok 3 do ograniczenia 3. 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 + x 4 + 0s 2 + 0s 3 - Ma 1 - Ma 3  max p.w. 2x 1 + 1/2x 2 - x 3 + 6x 4 + a 1 = 60 x 1 + x 3 + 2/3x 4 + s 2 = 20 x 2 + 5x 3 - s 3 + a 3 = 50 x 1, x 2, x 3, x 4, s 2, s 3, a 1, a 3  0

Przykład

Nieograniczoność w zadaniu PL l Zadanie PL jest nieograniczone wtedy, gdy wartość funkcji celu może przyjmować dowolnie duże (MAX) lub małe (MIN) wartości bez pogwałcenia żadnego warunku ograniczającego. l Zadanie PL jest nieograniczone, gdy w iteracji nie można ustalić zmiennej wychodzącej. Wszystkie elementy kolumny tablicy simpleksowej są mniejsze lub równe zero, a metoda simpleks wskazuję, że zmienna odpowiadająca tej kolumnie powinna wejść do bazy.

Nieograniczoność w zadaniu PL 20x x 2  max p.w. x 1  2 x 2  5 x 1, x 2  0

Alternatywne rozwiązania optymalne l Jeśli zadanie PL ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne, to rozwiązania te nazywamy alternatywnymi. l Jeśli w tablicy simpleksowej rozwiązania optymalnego, współczynnik optymalności będzie się równał zeru dla jednej lub więcej zmiennych niebazowych, to znaczy, że istnieją rozwiązania alternatywne.

HighTech - zmiana funkcji celu 30x x 2  max p.w. 3x 1 + 5x 2  150czas montażu x 2  20monitory komputera Portable 8x 1 + 5x 2  300przestrzeń magazynowa x 1, x 2  0 Rozwiązanie optymalne: x 1 = 50/3, x 2 = 20, s 1 = 0, s 2 = 0, s 3 = 200/3

Zmienna s 2 w bazie Rozwiązanie optymalne: x 1 = 30, x 2 = 12, s 1 = 0, s 2 = 8, s 3 = 0

Nieograniczony zbiór rozwiązań optymalnych

Rozwiązanie zdegenerowane

Degeneracja zadania PL l Zadanie PL jest zdegenerowane, gdy jedna ze zmiennych bazowych ma wartość zero. Potencjalne trudności dla metody simpleks  może się zapętlić.