Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej Wektory w układzie współrzędnych

Wektor w geometrii analitycznej na płaszczyźnie Współrzędne wektora obliczmy odejmując od współrzędnych końca wektora odpowiednie współrzędne początku. Na płaszczyźnie na przykład 𝑨=( 𝒙 𝑨 , 𝒚 𝑨 ) i 𝑩=( 𝒙 𝑩 , 𝒚 𝑩 ) Współrzędne wektora 𝐴𝐵 : 𝐴𝐵 = 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 , 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴

Współrzędne wektora 𝑣 : 𝑣 = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , gdzie 𝑥 𝑣 = 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 , 𝑦 𝑣 = 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 Przykład y •B=(4,2) x • A=(-5,-3) 𝑨𝑩 = 𝟗,𝟓

Długość wektora Długość wektora to pierwiastek z sumy kwadratów jego współrzędnych Długość wektora 𝐴𝐵 to długość odcinka o końcach 𝐴=( 𝑥 𝐴 , 𝑦 𝐴 ), 𝐵=( 𝑥 𝐵 , 𝑦 𝐵 ) . Zatem 𝐴𝐵 = 𝐴𝐵

Długość wektora Długość wektora 𝑨𝑩 : 𝐴𝐵 = 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 2 + 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 2 𝐴𝐵 = 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐴 2 + 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐴 2 Długość wektora 𝒗 = 𝒙 𝒗 , 𝒚 𝒗 : 𝑣 = 𝑥 𝑣 2 + 𝑦 𝑣 2

Równość wektorów Dwa wektory są równe, gdy mają odpowiednie współrzędne równe. A B 𝑢 C D 𝑣 y x O

Równość wektorów Niech dane będą wektory: 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦 𝑣 = 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 Wówczas 𝑢 = 𝑣 ⇔ 𝑢 𝑥 = 𝑣 𝑥 𝑢 𝑦 = 𝑣 𝑦

Wektory przeciwne Dwa wektory są przeciwne, gdy ich odpowiednie współrzędne są liczbami przeciwnymi. A B 𝑢 C D 𝑣 y x O

Wektory przeciwne Niech dane będą wektory: 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦 𝑣 = 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦 𝑣 = 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 Wówczas 𝑢 =− 𝑣 ⇔ 𝑢 𝑥 =− 𝑣 𝑥 𝑢 𝑦 =− 𝑣 𝑦

Działania na wektorach Suma wektorów Jeżeli 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 𝑖 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 to 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 , 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦 Różnica wektorów Jeżeli 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 𝑖 𝑏 = 𝑏 𝑥 , 𝑏 𝑦 to 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 𝑥 − 𝑏 𝑥 , 𝑎 𝑦 − 𝑏 𝑦

Iloczyn wektora przez liczbę Jeżeli 𝑎 = 𝑎 𝑥 , 𝑎 𝑦 i 𝑘∈𝑅, to k∙ 𝑎 = 𝑘∙𝑎 𝑥 , 𝑘∙𝑎 𝑦

Iloczyn skalarny wektorów Jeżeli 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦 𝑖 𝑣 = 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 to 𝑢 ∘ 𝑣 = 𝑢 𝑥 ∙ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑦 ∙ 𝑣 𝑦

Wektory prostopadłe Dwa wektory są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn skalarny jest równy zero. 𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ∘ 𝑣 =0⇔ 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑦 𝑣 𝑦 =0

Wektory równoległe Wyznacznikiem wektorów 𝑢 = 𝑢 𝑥 , 𝑢 𝑦 𝑖 𝑣 = 𝑣 𝑥 , 𝑣 𝑦 nazywamy liczbę 𝑑 𝑢, 𝑣 = 𝑢 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 = 𝑢 𝑥 ∙ 𝑣 𝑦 − 𝑢 𝑦 ∙ 𝑣 𝑥 Dwa wektory są równoległe, gdy ich wyznacznik jest równy zero. 𝑢 ∥ 𝑣 ⇔𝑑 𝑢, 𝑣 =0

Kąt między wektorami 𝑐𝑜𝑠 ∢ 𝑢 , 𝑣 = 𝑢 ∘ 𝑣 𝑢 ∙ 𝑣 Kątem między dwoma niezerowymi wektorami 𝑢 𝑖 𝑣 nazywamy kąt wypukły, którego jedno ramię ma kierunek i zwrot wektora 𝑢 , a drugie ramię, kierunek i zwrot wektora 𝑣 . 𝑐𝑜𝑠 ∢ 𝑢 , 𝑣 = 𝑢 ∘ 𝑣 𝑢 ∙ 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣