Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH NR 1 I Liceum Ogólnokształcące im. ppor. Emilii Gierczak w Nowogardzie ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 2 im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 97/6_MF_G1 oraz 97/74_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH Semestr/rok szkolny: Drugi/2010/2011

3 TROCHĘ PODSTAWOWYCH WIADOMOŚCI O LICZBACH Co jest najmądrzejsze? - Liczba. Co jest najpiękniejsze? - Harmonia. Czym jest cały świat? - Liczbą i harmonią. To słynna sentencja wypowiedziana przez Pitagorasa. Tak pouczał katechizm tajemniczego, na wpół naukowego bractwa pitagorejczyków. Ten poetycki werset pokazuje jak wielkie znaczenie przypisywano liczbie już w starożytności. Niektóre liczby, z którymi spotykamy się w różnych sytuacjach, mają zaskakujące właściwości i wprawiają nas w zadziwienie a nawet zachwyt.

4 POJĘCIE LICZB I ICH ZASTOSOWANIE Zastosowania liczby - najprostsze rodzaje liczb, jak liczby naturalne czy rzeczywiste, są w powszechnym użyciu jako oznaczenia ilości przedmiotów (np. pięć jabłek) lub mnożnika pewnej jednostki miary (np. dwa i pół metra). Zapisy liczb naturalnych są używane także jako identyfikatory, np. numery telefonów, dróg, PESEL, ISBN. Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Pierwotnie liczby służyły do porównywania wielkości zbiorów przedmiotów (liczby naturalne), później także wielkości ciągłych (miary i wagi), obecnie w matematyce są rozważane jako twory abstrakcyjne, w oderwaniu od ewentualnych fizycznych zastosowań.

5 LICZBY I ICH PODSTAWOWA KLASYFIKACJA KILKA PODSTAWOWYCH ZBIORÓW LICZBOWYCH 1. Naturalne 2. Całkowite 3. Wymierne 4. Niewymierne 5. Rzeczywiste 6. Zespolone ARYTMETYKA Arytmetyka to nauka o liczbach oraz o posługiwaniu się nimi (czyli liczeniu), a pierwsze teoretyczne problemy w tej dziedzinie podejmowali starożytni Grecy. W XIX wieku arytmetyka została zaksjomatyzowana, a nowoczesną postacią arytmetyki jest teoria liczb, która wciąż przyciąga setki badaczy, chcących zaznać przyjemności poruszania się po gruncie dziedziny, którą Gauss nazwał Królową Matematyki.

6 LICZBY NATURALNE Jedni uważają, że zero powinno zaliczać się do liczb naturalnych (a więc liczby naturalne to 0,1,2,3…). Takie podejście jest związane z najbardziej naturalnym zastosowaniem liczb naturalnych – zliczaniem elementów skończonych zbiorów. W życiu codziennym używa się liczb naturalnych głównie w tym właśnie celu, aby określić liczbę przedmiotów w jakiejś grupie. Zero odpowiada wtedy liczności zbioru pustego. Inni uznają, że liczby naturalne zaczynają się od jedynki. Liczba zero weszła do matematyki stosunkowo późno, być może więc wydaje się mniej naturalna od pozostałych liczb naturalnych. Z punktu widzenia aksjomatyki kwestia zaliczenia zera do liczb naturalnych jest czysto umowna i nie sprawia żadnych problemów pod warunkiem konsekwentnego trzymania się tej umowy podczas rozumowania. Najczęściej używanymi liczbami są liczby naturalne. Wśród matematyków istnieją dwie szkoły: JESTEM NATURALNE CZY NIENATURALNE?

7 HISTORIA LICZB NATURALNYCH Liczby naturalne (bez zera) początkowo były stosowane wyłącznie do określania liczebności obiektów. Pierwszy krok dla wyabstrahowania liczb naturalnych to stworzenie cyfr na określenie danych wartości liczb. Przykładowo w Babilonii stosowano cyfry o wartościach od 1 do 10, zaś o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10 aż do miliona. Znacznie później pojawiło się zero jako oddzielna wartość. Już w siódmym wieku p.n.e. Babilończycy stosowali zero w zapisie pozycyjnym, ale nigdy nie występowało ono samodzielnie. W Cywilizacji Majów zero istniało jako liczba już w I w. p.n.e., ale Majowie nie rozprzestrzenili tej idei poza Amerykę Środkową. Współczesne pojęcie zera przypisuje się Hindusowi Brahmagupcie, który stworzył je w 628. Zero stosowano w średniowieczu, ale nie miało ono swojej reprezentacji w cyfrach rzymskich - stosowano łacińskie słowo nullae. Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się Greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła, teoriomnogościowa definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. Wielu matematyków, szczególnie w teorii liczb jednak wyłącza tę liczbę ze zbioru liczb naturalnych. Stworzono rozmaite rozszerzenia pojęcia liczb naturalnych. Najbardziej oczywistymi są liczby całkowite, liczby wymierne i liczby rzeczywiste.

8 LICZBY CAŁKOWITE Liczby ujemne to liczby mniejsze od zera. Dla każdej dodatniej liczby (czyli większej od zera) można wskazać liczbę do niej przeciwną, czyli liczbę ujemną leżącą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera. Ich suma zawsze daje zero: jeśli na konto wpłynie 100 zł, to w rachunkach można ten fakt zaznaczyć jako 100, wypłatę 100 zł można wtedy oznaczać liczbą ujemną Liczby naturalne, zero oraz liczby przeciwne do naturalnych znane są właśnie jako liczby całkowite. C = { … - 4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 … } JAKIE ONO DUŻE !

9 LICZBY WYMIERNE Liczby wymierne to intuicyjnie ułamki powstające przez podzielenie liczby całkowitej (zwanej licznikiem) przez liczbę całkowitą różną od zera (zwaną mianownikiem), np.. Dzielenie przez zero jest operacją niewykonalną. Ułamek dla reprezentuje wielkość otrzymaną po podzieleniu całości na m równych części, a następnie wybraniu n spośród nich. Dwa różne ułamki mogą reprezentować tę samą liczbę wymierną. Każdy ułamek można jednak skrócić, tzn. podzielić licznik i mianownik przez tę samą liczbę całkowitą (ich największy wspólny dzielnik), tak aby dalsze dzielenie tych wielkości w zbiorze liczb całkowitych było już niemożliwe. Jeśli licznik i mianownik są jednocześnie dodatnie lub jednocześnie ujemne, to reprezentowana przez ułamek liczba wymierna również jest dodatnia. Jeśli licznik jest zerem, to liczba wymierna jest zerem. Jeśli licznik ma znak przeciwny do znaku mianownika, to liczba wymierna nim wyrażona jest ujemna. Jeśli n, m > 0 oraz n > m, to ułamek reprezentuje liczbę większą od 1. Jeśli n = km (gdzie k jest liczbą całkowitą), to ułamek reprezentuje liczbę całkowitą k. Liczby wymierne są uporządkowane liniowo (każde dwie liczby wymierne są porównywalne). Jest to porządek gęsty: pomiędzy dwiema różnymi liczbami można zawsze znaleźć trzecią (a nawet nieskończoną ich liczbę).

10 LICZBY RZECZYWISTE Już starożytni Pitagorejczycy odkryli, że istnieją liczby, których nie da się przedstawić w postaci ułamka (takie jak np., czyli długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), a więc nie są liczbami wymiernymi. Pitagorejczycy czcili liczby jako doskonałość i to odkrycie było dla nich szokiem. Fakt istnienia liczb niewymiernych był ich najgłębiej skrywaną tajemnicą. JAK TU GĘSTO! Liczby rzeczywiste to liczby wymierne oraz liczby niewymierne znajdujące się pomiędzy liczbami wymiernymi, lecz nie dające wyrazić się w postaci ułamka, takie jak czy π. Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada punkt na prostej (tzw. oś liczbowa). Każda liczba rzeczywista jest punktem skupienia zbioru liczb wymiernych i liczby wymierne są gęstym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych.

11 LICZBY ZESPOLONE To liczby powstające przez zsumowanie liczby rzeczywistej i liczby urojonej, np i. W szczególności liczby rzeczywiste oraz liczby urojone także są liczbami zespolonymi (np. 5 = 5 + 0i). Każdej liczbie zespolonej odpowiada punkt na płaszczyźnie (tzw. płaszczyzna zespolona), a dodawanie i mnożenie są interpretowane geometrycznie. Zastosowania: Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny. Analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona. Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w: wyznaczaniu pierwiastków równań kwadratowych, których wyróżnik jest mniejszy od zera, teorii fraktali, analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego. Liczby zespolone można rozumieć m.in. jako szczególny przypadek kwaternionów, oktaw Cayleya, sedenionów [cokolwiek by to nie oznaczało – brzmi bardzo mądrze! – przyjrzymy się temu z bliska już niedługo.]

12 LICZBY ALGEBRAICZNE Liczba algebraiczna, to taka liczba zespolona, która podstawiona do jakiegoś wielomianu o wymiernych współczynnikach (np. ) da w wyniku zero. W szczególności, każda liczba wymierna jest algebraiczna, bo jest pierwiastkiem wielomianu qx p. LICZBY PRZESTĘPNE Liczba przestępna to taka liczba rzeczywista lub ogólniej zespolona, która nie jest pierwiastkiem żadnego niezerowego wielomianu jednej zmiennej o współczynnikach wymiernych. Inaczej: liczba przestępna, to liczba nie będąca liczbą algebraiczną. Uogólnieniem pojęcia liczby przestępnej jest element przestępny. Przykłady liczb przestępnych: - π – udowodnił to Ferdinand Lindemann w 1882 roku, - e – udowodnił to Charles Hermite w 1873 roku. DŁUGO JUŻ SIEDZISZ?

13 PODZBIORY ZBIORU LICZB NATURALNYCH I ICH RÓŻNE WŁASNOŚCI

14 LICZBY PIERWSZE, ZŁOŻONE I WZGLĘDNIE PIERWSZE Zagadnienie odróżniania liczb pierwszych od złożonych i rozkładanie tych ostatnich na czynniki pierwsze uchodzi za najważniejsze i o dużym praktycznym znaczeniu w arytmetyce - Carl Friedrich Gauss Iloczyn liczb naturalnych jest zawsze liczbą naturalną, są więc liczby naturalne, będące iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Są także liczby naturalne większe od jedności, które nie są iloczynami dwóch liczb naturalnych większych od jedności. Takie właśnie liczby nazywamy pierwszymi. Liczby pierwsze to swego rodzaju cegiełki służące do budowania kolejnych liczb naturalnych. Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, Jeśli liczba naturalna większa od 1 nie jest pierwszą, to jest iloczynem dwóch liczb naturalnych od niej mniejszych. Liczby takie nazywamy liczbami złożonymi. Liczby złożone to liczby naturalne, które posiadają więcej niż dwa dzielniki. Przykłady liczb złożonych: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,... Liczby 0 i 1 nie należą ani do liczb pierwszych ani do złożonych. Kiedyś uznawano liczbę 1 za pierwszą, jest ona jednak tak różna od właściwych liczb pierwszych, że dziś lokuje się ją w odrębnej klasie, nosi nazwę jedności. Liczby względnie pierwsze, to te, które nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Na przykład: 6 i 13, 25 i 12, 100 i 51

15 LICZBY PARZYSTE I NIEPARZYSTE Dzieci już w przedszkolu spotykają się z parzystością i nieparzystością, gdy udając się na wycieczkę ustawiają się w pary. Przy tym ustawieniu są dwie możliwości: wszystkie dzieci ustawione są w pary lub jedno dziecko pozostaje bez pary. W matematyce zagadnienie parzystości lub nieparzystości definiuje się przez podzielność. Liczby parzyste to liczby naturalne, które są podzielne przez 2. Każdą liczbę parzystą można zapisać w postaci 2 · n, gdzie n jest pewną liczbą naturalną, np. 4, 6, 10, 18,... Liczby nieparzyste to liczby naturalne, które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1. Każdą liczbę nieparzystą można zapisać w postaci: 2 · n + 1, gdzie n jest pewną liczbą naturalną, np. 1, 5, 9, 11, 17,... Parzysta, nieparzysta - była to pierwsza klasyfikacja liczb naturalnych. Pitagorejczycy jako pierwsi ustalili ten podział i wprowadzili go w obliczeniach, co przyniosło doskonałe wyniki. Liczby parzyste i nieparzyste posiadają takie oto własności: Suma parzystej ilości liczb parzystych jest liczbą parzystą. Suma nieparzystej ilości liczb parzystych jest liczbą parzystą. Suma parzystej ilości liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. Suma nieparzystej ilości liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą.

16 LICZBY PSEUDOPIERWSZE Liczba pseudopierwsza to liczba naturalna, która spełnia niektóre własności charakteryzujące liczby pierwsze, ale sama nie jest liczbą pierwszą. Najbardziej istotną kategorią są liczby pseudopierwsze Fermata, które spełniają warunki małego twierdzenia Fermata: a p jest podzielne przez p dla pewnego a. Jeśli p nie jest pierwsza, to jest nazywana wtedy pseudopierwszą przy podstawie a. Liczba x, która jest pseudopierwsza przy każdej podstawie względnie pierwszej z x jest nazywana liczbą Carmichaela. Najmniejszą liczbą pseudopierwszą przy podstawie 2 jest 341. Nie jest to liczba pierwsza, bo 341 = 11 31, ale spełnia warunki powyższego twierdzenia. Rzadkość występowania takich liczb ma znaczenie praktyczne. Przykładowo algorytmy kryptografii asymetrycznej takie jak RSA, wymagają szybkiego znajdywania kilkusetcyfrowych liczb pierwszych. Standardowo generuje się w nich losową liczbę nieparzystą i testuje, czy jest pierwsza. Ponieważ deterministyczne sprawdzanie tego trwałoby długo, korzysta się zwykle z probabilistycznych testów takich jak test pierwszości Fermata. Istnieje nieskończenie wiele liczb pseudopierwszych przy danej podstawie (istnieje nawet nieskończenie wiele liczb Carmichaela), ale są one dosyć rzadkie. Przykładowo istnieją tylko 3 pseudopierwsze liczby przy podstawie 2 mniejsze od 1000, i tylko 245 takich liczb mniejszych od miliona. Liczby pseudopierwsze przy podstawie 2 nazywane są czasem liczbami Pouleta. Dziesięć kolejnych liczb pseudopierwszych przy podstawie 2: = = = = = = = = = = 37 73

17 LICZBY MERSENNEA Liczby postaci M n = 2 n - 1, gdzie n jest liczbą naturalną nazywamy liczbami Mersenne'a. W XVII wieku francuski mnich Marin Mersenne rozpatrywał możliwość istnienia liczb pierwszych postaci 2 n - 1. Stwierdził, że 2 n - 1 jest liczbą pierwszą dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 i nie jest nią dla żadnej inne wartości n mniejszej od 257. Przez następne dwa wieki nikt nie był wstanie tego potwierdzić ani zaprzeczyć. W 1876 r. E. Lucasowi udało się udowodnić, że jest liczbą pierwszą i przez następnych siedem dekad była to największa liczba pierwsza. W tym czasie odkryto błędy w stwierdzeniu Mersenne'a, pomylił się w przypadku liczb 67 i 257, a pominął liczby 61, 89 i 107, które podstawione w miejsce n dają liczby pierwsze. Jeżeli dana liczba Mersenne'a nie jest pierwsza, należy znaleźć jej dzielniki. Wynik dotyczący dzielników sformułował Leonhard Euler w 1750 r. Pierwszą próbę szukania liczb pierwszych Mersenne'a przy użyciu komputera podjął w 1951 r. A. Turing, ale nie odniósł sukcesu. Obecnie znane są metody umożliwiające sprawdzenie czy liczba 2 p - 1, jest pierwsza czy też złożona, jedną z metod polega na obliczaniu wyrazów pewnego ciągu rekurencyjnego podanego przez E. Lucasa i D.H. Lehmera. Metody tej w 1952 roku użył R. M. Robinson i znalazł liczby pierwsze Mersenne'a M 521 i M 607. Były to pierwsze tego rodzaju odkrycia dokonane za pomocą komputera. Obecnie największą liczbą Mersenne'a jest znaleziona w 2006 roku i licząca cyfr. W każdej chwili możemy jednak spodziewać się odkrycia nowej liczby pierwszej Mersenne'a. Prawdopodobnie nie dla wszystkich liczb pierwszych p mniejszych od rekordowej zbadano czy liczba M p jest pierwsza, może się więc zdarzyć, że kolejna znaleziona liczba pierwsza Mersenne'a będzie mniejsza. Liczby Mersenne'a są związane z odnajdywaniem kolejnych liczb doskonałych, ponieważ występują we wzorze, który generuje liczby doskonałe. Odkryciu nowej liczby pierwszej Mersenne'a towarzyszy więc odkrycie nowej liczby doskonałej.

18 CIEKAWOSTKI Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, , , W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, i Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. Liczba nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: , , 73939, 7393, 739, 73, 7. Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 43 liczba Mersenne'a: i liczy sobie cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 15 grudnia 2005 roku przez Curtisa Coopera i Stevena Boone'a - uczestników projektu GIMPS. Liczba złożona z 23 jedynek jest pierwsza. JESTEM PIERWSZA! ALE GŁUPIA!

19 LICZBY AUTOMORFICZNE Jako liczby automorficzne określa się liczby, które podniesione do kwadratu zawierają w końcówce samą siebie. Liczby automorficzne w zapisie dziesiętnym kończą się na 5 lub 6. A oto kilka pierwszych liczb automorficznych: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, , , , , , , , , , , , , , , , ,... Liczby te zawierają same siebie tworząc dwie nieokresowe niecykliczne liczby nieskończone: Automorfizm – izomorfizm struktury matematycznej na siebie, czyli jej wzajemnie jednoznaczny endomorfizm. W pewnym sensie jest to symetria obiektu – sposób odwzorowania obiektu na siebie przy zachowaniu całej jego struktury. Oto dwa przykłady: 76 x 76 = x 625 = Znana jest metoda generowania liczby automorficznej n- elementowej na podstawie liczby n-1 elementowej o złożoności O(n) [1]. Algorytm korzysta z faktu, że liczby automorficzne zawierają same siebie na końcu oraz tego, że nie jest konieczne rozpoczynanie mnożenia od początku (dostawiane są liczby z przodu i wykonywane tylko niezbędne mnożenia)[1]

20 LICZBY BLIŹNIACZE Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. Przykłady to: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73. Liczba 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Największe znane dziś liczby bliźniacze to · ± 1; Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele, jak sugeruje hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych. W 1919 norweski matematyk Viggo Brun udowodnił, że szereg odwrotności liczb bliźniaczych jest zbieżny Może być to spowodowane tym, że liczb bliźniaczych jest skończenie wiele – jeśli tak nie jest, znaczyłoby to, że są "rzadko" rozłożone w zbiorze liczb naturalnych. Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 10 9 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca sie na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza. To moja bliźniaczka? Taka jakaś niepodobna!

21 LICZBY DOSKONAŁE Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych). Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6, ponieważ 6 = Następną jest 28 (28 = ), a kolejne to 496, 8128, , i W IX księdze Elementów, Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2 p -1)·2 p-1, gdzie 2 p -1 jest liczbą pierwszą. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest ·( ) – liczy ona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. Jak dotąd, nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci p 4k+1 l 2, gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od (wynik z roku 1991). Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą. NIE JESTEM DOSKONAŁE?

22 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = (dzielniki 284) 284 = (dzielniki 220) Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości. Przykłady par liczb zaprzyjaźnionych: 220 i i i i i i i i i i i i i i i i Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został wynaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurrae ok. roku 850 n. e. Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat oraz Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". Dzisiaj znamy prawie 8000 zaprzyjaźnionych par, których składniki potrafią być rzędu 109.

23 LICZBY LUSTRZANE I PALINDROMICZNE Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, tzn. takie których jedna powstaje przez zapisanie drugiej w odwrotnej kolejności. Przykłady liczb lustrzanych: 13 i 31, 125 i 521, 3245 i Ciekawostka: Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np. 1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez : 11 = 192 PALINDROM - Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Palindromami mogą być również liczby. Ciekawostka: Każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11. (Taki palindrom to połączenie liczby i jej liczby lustrzanej – patrz wyżej). Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współcześnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa.

24 LICZBY TRÓJKĄTNE I KWADRATOWE Zależność na n-tą liczbę trójkątną można wyrazić za pomocą wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą n kolejnych liczb naturalnych. Zależność tę wyraża wzór: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc oczywiście kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego. Stąd też wynika twierdzenie, że suma kolejnych liczb nieparzystych równa się kwadratowi ich liczby. Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Sposób odnajdywania kolejnych liczb trójkątnych przedstawia poniższy rysunek. Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Sposób odnajdywania kolejnych liczb kwadratowych przedstawia rysunek obok.

25 CIĄG FIBONACCIEGO Ciąg Fibonacciego – ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie w sposób następujący: Pierwsze dwa wyrazy ciągu równe są 1, każdy następny jest sumą dwóch poprzednich. Formalnie: Kolejne wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego. Kwestia, czy zaliczać zero do ciągu Fibonacciego jest dyskusyjna. Część autorów rozpoczyna ciąg od 0 a część o 1. Wyrazy ciągu Fibonacciego to: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,... Ciąg został podany w 1202 roku przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim w swoim dziele Liber abaci jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików. Nazywanie tego ciągu jako ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX w. Edward Lucas.

26 WŁASNOŚCI CIĄGU FIBONACCIEGO 1. Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym. Ciąg liczbowy Fibonacciego jest pierwszym ze znanych ciągów tego rodzaju. 2. W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół w miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. 3. Liczba znana jest jako współczynnik złotych proporcji i zapisywana jest za pomocą 21- szej litery greckiego alfabetu phi ( ). 4. Jeśli kolejne wyrazy ciągu zapisać w systemie dwójkowym, jeden pod drugim, z wyrównaniem do prawej strony to otrzymamy wydłużający się w dół trójkąt, którego elementy powtarzają sie ("czubek" pojawia się poniżej, przy prawej krawędzi, w coraz dłuższym rozwinięciu - pojawia się nad nim "biały trójkąt"), co czyni go podobnym do fraktala. 5. Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Jednocześnie można stwierdzić, iż zjawiska, których struktura oparta jest na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność zmysłom wzroku i słuchu istot ludzkich. Dowodem na to może być to, że złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci, podobnie jak Botticelli. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

27 PRZYKŁADY CIĄGU FIBONACCIEGO W PRZYRODZIE 1.Rozmnażanie królików - Przy założeniu, że początkowo mamy jedną parę – samca i samicę, którzy po miesiącu wydadzą na świat potomstwo, po kolejnym miesiącu ich progenitura jest zdolna do reprodukcji, rodzice zaś nadal się rozmnażają, łatwo policzyć roczny przyrost królików w sposób charakterystyczny dla naszego ciągu. – rysunek obok. 2.Na rysunku po lewej jest pokazane drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. Biolodzy potrafią wskazać drzewa, które tak właśnie się rozrastają. 3.Najbardziej efektownym przejawem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt są zapewne muszle, których kształt układa się zgodnie z przebiegiem tzw. Spirali Fibonacciego. Złota spirala występuje w większości kształtów muszli ślimaków czy ostryg. Wszystko dlatego, że im są one większe tym szybciej rosną.

28 LICZBY OLBRZYMY jeden tysiąc milion miliard bilion biliard trylion tryliard kwadrylion kwadryliard kwintylion kwintyliard sekstylion sekstyliard septylion septyliard oktylion oktyliard nonilion noniliard decylion centylion centezylion

29 CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH Cecha podzielności przez 2 Liczba jest podzielna przez 2 jeżeli jej ostatnia cyfra jest parzysta lub jest nią zero. Przykłady: 12, 48, 100, 124 Cecha podzielności przez 3 Liczba jest podzielna przez 3 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 3. Przykłady: 27 bo 2+7=9 123 bo 1+2+3=6 Cecha podzielności przez 4 Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4. Przykłady: bo 84/4= bo 36/4=9 Cecha podzielności przez 5 Liczba jest podzielna przez 5 jeżeli jej ostatnia cyfra jest 0 lub 5. Przykłady: 10, 125, 34240, Cecha podzielności przez 6 Liczba jest podzielna przez 6 jeżeli spełnia jednocześnie warunek podzielności dla 2 i 3. Przykłady: 18, 54, 96

30 CECHY PODZIELNOŚCI LICZB NATURALNYCH - CD Cecha podzielności przez 8 Liczba jest podzielna przez 8 jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8. Przykłady: bo 320/8= bo 448/8=56 Cecha podzielności przez 9 Liczba jest podzielna przez 9 jeżeli suma jej cyfr tworzy liczbę podzielną przez 9. Przykłady: bo = bo =9 Cecha podzielności przez 10 Liczba jest podzielna przez 10 jeżeli jej ostatnią cyfra jest zero. Przykłady: 50, 1230, Cecha podzielności przez 11 Liczba jest podzielna przez 11, jeśli różnica sumy jej cyfr stojących na miejscach parzystych i sumy cyfr stojących na miejscach nieparzystych (lub odwrotnie) dzieli się przez 11. Przykład: Liczba nie jest podzielna przez 11, ponieważ różnica ( ) - ( ) = 5 nie jest podzielna przez 11. Cecha podzielności przez 25 Liczba jest podzielna przez 25 jeżeli jej dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę: 25, 50, 75 lub są zerami. Przykłady: 100, 12350,

31 TROCHĘ O LICZBACH – CZASEM NA WESOŁO Liczba 3 to liczba nieparzysta, przynosząca szczęście. Chętnie posługiwali się nią bajarze, pisarze i wróżki. Zauważ tylko: trzej muszkieterowie, trzy wróżki, do trzech razy sztuka, raz, dwa, trzy - start! Znane jest łacińskie przysłowie: "Wszystko, co złożone z trzech, jest doskonałe", a mówić "trzy po trzy" znaczy pleść bez sensu. Liczbę 1 uważano dawno, dawno temu za liczbę najdoskonalszą. Jest to pierwsza liczba nieparzysta. Wszystkie inne liczby pochodzą od jedynki, np.2, to Jeden - ile to jest: dużo czy mało? Zastanów się! Wszyscy chcą być pierwsi: w nauce, w sporcie, w zabawie, ale nikt nie chce dostać jedynki z klasówki! Liczba 2 jest pierwszą liczbą parzystą. Uważana była przed wiekami za liczbę złowieszczą. Często oznaczano nią szpiegów, policjantów albo wysłanników. Jednocześnie jest bardzo ważna: człowiek ma dwoje oczu, uszu, dwie ręce, dwie nogi. Wszyscy na pewno znają przysłowie: " Gdzie dwaj się kłócą, tam trzeci się cieszy". Liczba 4 uchodziła za liczbę świętą, zwłaszcza w starożytnej Grecji. Są cztery strony świata, cztery pory roku, a my często szukamy czterolistnej koniczyny, która przynosi szczęście. O człowieku przebiegłym mówi się: "kuty na cztery nogi", a "spadać na cztery łapy" - to bezpiecznie wychodzić z każdej sytuacji.

32 TROCHĘ O LICZBACH - CD Liczba 5 uważana była za liczbę szczęśliwą. Była między innymi symbolem potęgi Boga i człowieka (rozstawione nogi i ręce oraz głowa). Mamy pięć palców u ręki, pięć palców u stopy, pięć zmysłów: wzrok, słuch, dotyk, węch i smak. Mówi się: " ni w pięć ni w dziewięć"- bez sensu, "piąte koło u wozu" - rzecz zbędna, "znać coś jak swoje pięć palców" - znać coś bardzo dobrze. Liczba 6 uznawana była za liczbę szczęśliwą i stała się symbolem pokoju i szczęścia. W religii chrześcijańskiej oznacza liczbę dni, w ciągu których Bóg stworzył świat. Kiedyś w Polsce bito monetę srebrną, która miała wartość 6 groszy. Dziś szóstka to najwyższa ocena w szkole - celujący!. Liczba 7 to liczba szczęśliwa i magiczna. Nawet dziś niektórzy wierzą w szczęśliwą siódemkę. Siódmy dzień tygodnia to dzień świąteczny, a siódmego dnia miesiąca na pewno spotka nas coś przyjemnego. Na siódme pytanie konkursowe na pewno odpowiemy! Ale mówi się także "ocet siedmiu złodziei" o kimś niezadowolonym lub "od siedmiu boleści" o czymś bez wartości. W bajkach przetrwało siedmiu krasnoludków i siedmiu braci zaklętych w czarne kruki. Podziwiamy siedem cudów świata.

33 TROCHĘ O LICZBACH – CD Liczba 8 była uznawana za symbol doskonałości i nieskończoności. Ma duże znaczenie w religii chrześcijańskiej. Osiem osób liczyła załoga Arki Noego ( Noe, jego żona i trzej synowie Noego z żonami. Cyfra 8 również ma określone znaczenie. Są dwa splecione węże kaduceusza. Kaduceusz to laska herolda uważana za czarodziejską, na której wiją się dwa węże i patrzą sobie w oczy. W matematyce posługujemy się znakiem nieskończoności, a jest to cyfra 8 w pozycji leżącej. Cyfra 8 znajdowała się na dawnych monetach hiszpańskich peso wartości 8 reali, równym wówczas 1 dolarowi. Znak $, oznaczający dolara amerykańskiego, kojarzy się niektórym z cyfrą 8. " Ósmy cud świata" to rzecz budząca powszechny podziw. Liczbą 9 chętnie posługiwano się w magii i bajkach. Liczba 9 uchodziła za liczbę szczęśliwą, która pomnożona stale się odtwarza. Zobaczmy jak: 9 * 2 = 18 i = 9 5 * 9 = 45 i = 9 9 * 3 = 27 i = 9 4 * 9 = 36 i = 9 6 * 9 = 54 i = 9

34 TROCHĘ O LICZBACH - CD Liczba 11 jest między innymi symbolem nadmiaru i przesady, nieporządku i grzechu. Ma duże znaczenie w religii chrześcijańskiej. Oznacza niekiedy grzech, gdyż przekracza 10 (liczbę Dziesięciorga Przykazań). Liczbę 11 znają przedszkolaki w wierszyku Marii Konopnickiej pt. "Pranie" ("Pucu! pucu! chlastu! chlastu! Nie mam rączek jedenastu..."). Liczba 12 była uważana za liczbę szczęśliwą i świętą. Rok ma dwanaście miesięcy, jest dwanaście znaków zodiaku, było dwunastu apostołów, ale i zbójców, tuzin i dwanaście sztuk. Rzymianie na 12 tablicach z brązu spisali kodeks praw. Prawo dwunastu tablic było pierwszym dokumentem pisanym, świadectwem kultury Rzymu. Młodzież rzymska uczyła się z nich czytać. Liczba 10 jest sumą pierwszych czterech liczb: =10. Zawsze była uważana za liczbę świętą. Dziesięć to suma palców obu rąk i suma palców obu nóg. Gdy chcemy się uspokoić, liczymy do dziesięciu, gdy chcemy dodać sobie odwagi lub mocy, także liczymy do dziesięciu. Wszyscy znają dziesięcioro przykazań, a często ludzie sami wymyślają dziesięć zasad i zalecają ich przestrzeganie.

35 LICZBY W BIBLII I ICH ZNACZENIE JEDEN- oznacza absolutną jedyność i niepodzielność. Jako taka ta cyfra przysługuje wyłącznie Bogu oraz wszystkiemu, co z Boga wychodzi, co jest Jego wyjątkowym darem dla człowieka. Bardzo skondensowanym przykładem takiego hebrajskiego, biblijnego myślenia jest List do Efezjan, w którym autor dobitnie pisze, że Jedno jest Ciało i jeden Duch, bo też zostaliście wezwani do jednej nadziei, jaką daje wasze powołanie. Jeden jest Bóg i Ojciec wszystkich, który jest i działa ponad wszystkimi, przez wszystkich i we wszystkich. eden jest Pan, jedna wiara, jeden chrzest (Ef 4,4-6). DWA - najprostszy sposób wyrażenia wielości, obfitości, czasem kontrastu bądź alternatywy. Wskazuje na świadectwo lub też pomoc, wsparcie. Dziesięć przykazań było umieszczone na dwóch kamiennych tablicach. Jezus wysyłał uczniów po dwóch, by byli dla siebie wzajemnie pomocą. TRZY - liczba najczęściej wspominana w Piśmie Świętym. Wskazuje na pełnię, komplementarność, jedność. Kiedy się pojawia, znaczy to, że coś dzieje się w całej rozciągłości i nie ma już miejsca na suplementy, dodatki, poprawki, na żadne ale. Szczególnego znaczenia liczba nabiera w odniesieniu do sacrum. Bóg jest w trzech Osobach, jest po trzykroć święty. Jezus według tradycji nauczał przez trzy lata; zmartwychwstanie dokonało się po trzech dniach od śmierci Zbawiciela. CZTERY - jest najbardziej ziemską liczbą. Wynika to z naszej naturalnej obserwacji (cztery kierunki świata, cztery pory roku) i w Biblii również odnosi się często do tego, co doczesne. W ogrodzie Eden mają swoje źródło cztery najważniejsze rzeki świata (Rdz 2,10). W wizjach prorockich sygnalizuje pochodzenie doczesne (Dn 7). Łazarz leżał w grobie również cztery dni (J 11,39).

36 LICZBY W BIBLII I ICH ZNACZENIE PIĘĆ - sygnalizuje, że chodzi tu o coś dodatkowego, właśnie to jest objawem łaski, daru, jeśli wypełni się owo pięć. W Księdze Rodzaju często patriarchowie doczekiwali się potomstwa, gdy osiągali określony wiek plus pięć lat. Umierali również z dodatkowymi pięcioma latami. Wyraźnym znakiem czegoś, co jest dodane, darowane staje się pięć chlebów do cudownego nakarmienia pięciu tysięcy ludzi (Łk 9,12-16). SZEŚĆ - tak jak cztery było po boskiej liczbie trzy i odnosiło się do ziemskich spraw, tak sześć jest niepełną siódemką, zatem oznacza pewien brak, niewystarczalność. Coś musi się wypełnić, aby dzieło stało się doskonalsze. Świat był stwarzany przez sześć dni; tyle samo czasu Izraelici musieli okrążać Jerycho (Joz 6,14). Daniel przebywał sześć dni w jaskini (Dn 14,31). Sześć stągwi kamiennych wypełnionych wodą i przemienionych w wino sugeruje, że to jeszcze nie jest ta uczta weselna w Królestwie Niebieskim (J 2,6). SIEDEM - to liczba absolutu, pełni, doskonałości, świętości, nieskończoności. Przysługuje Bogu i wszystkiemu, co nie jest doczesne. W Biblii pojawia się często jako określenie czegoś, co nie należy do porządku ziemskiego. Wiele praw Izraela jest opartych na tej liczbie, co sugeruje, że są to prawa o proweniencji boskiej, a nie ludzkiej (Kpł). Jest znakiem Jahwe. Często pojawia się w wizjach prorockich (Dn, Ap). Pojawia się też stopień najwyższy siódemki - siedemdziesiąt siedem. Oznacza bezwzględność i pełnię doskonałości. Panie, ile razy mam przebaczyć, jeśli mój brat wykroczy przeciwko mnie? Czy aż siedem razy? Jezus mu odrzekł: Nie mówię ci, że aż siedem razy, lecz aż siedemdziesiąt siedem razy (Mt 18,22).

37 LICZBY W BIBLII I ICH ZNACZENIE OSIEM - w tradycji hebrajskiej to dziwna liczba rozpoczynająca jakby nowe liczenie, przekraczające cykl siódemkowy. Symbolizuje wejście w nową, odmienną rzeczywistość. Oznacza też porządek, prawo. Jezus wypowiada osiem błogosławieństw w kazaniu na górze (Mt 5, 3-10). Obrzezania dokonuje się ósmego dnia po narodzeniu (Rdz 21,4). DZIEWIĘĆ - trzy pomnożone przez trzy - oznaka pełni boskiej doskonałości i świętości. DZIESIĘĆ - liczba porządkowa przynależna człowiekowi. Suponuje ideę wielkości, komplementarności. Przykład - Dekalog. Wielokrotnie jeśli czytamy w Piśmie Świętym o jakim podziale, lub segregacji to pojawia się ona bądź jej pochodna np. dziesięć tysięcy. DWANAŚCIE - należy również do liczb porządkujących, ale sugeruje porządek Boży, doskonały, obejmujący wszystkich. I tak: mamy dwanaście pokoleń Izraela oraz dwunastu Apostołów. W Apokalipsie św. Jana końcowa liczba, będąca iloczynem mnożenia 12x12x1000, daje 144 tysiące opieczętowanych (Ap 7). Oznacza to, że w zamyśle Bożym zbawieni mają być wszyscy ludzie. Dwanaście jest również liczbą konstruktywną w opisie Nowego Jeruzalem (Ap 21). Wieniec z dwunastu gwiazd zdobi głowę Niewiasty jako Królowej (Ap 12,1).

38 LICZBY W BIBLII I ICH ZNACZENIE CZTERDZIEŚCI - liczba próby, wyjątkowego doświadczenia. To także umowna liczba lat jednego pokolenia. Deszcz rozpoczynający potop padał czterdzieści dni (Rdz 7). Wędrówka Ludu Bożego przez pustynię trwała czterdzieści lat (Lb 14). Jest to również liczba dni postu Mojżesza (Wj 34). Eliasz tyle dni wytrwale wędrował ku Bożej górze Horeb (1Krl 19,8), tyle dni trwał też post Jezusa. SZEŚĆSET SZEŚĆDZIESIĄT SZEŚĆ - pełnia niedoskonałości. Liczba bestii. Ciekawa jest interpretacja kabalistyczna znaczenia tej liczby. W hebrajskiej Biblii istnieje tylko jedno słowo, którego wartość wynosi to ith(e)ron - zysk, pożytek, górowanie, a także jedno imię człowieka s(e)thur - Utajniony. Słowo ith(e)ron jest jednocześnie anagramem greckiego słowa oznaczającego bestia. 666 było też symbolem związanym z targowiskiem, ponieważ podstawowym narzędziem używanym tam był abakus (liczydło), którego kolumny wynosiły co w sumie dawało 666. Św. Jan, który nie był kabalistą, ale światłym człowiekiem, mógł znać te symboliczne powiązania, co skłoniło go do użycia owej liczby jako symbolu przekupstwa i materialistycznego patrzenia na świat, w przeciwieństwie do bezinteresowności: i że nikt nie może kupić ni sprzedać, kto nie ma znamienia - imienia Bestii lub liczby jej imienia. (Ap.13,17). (Na podstawie: Andrzej Wierciński Przez wodę i ogień. Biblia i Kabała). TYSIĄC - wielość, liczba eschatologiczna. MIRIADA (dziesięć tysięcy) - idea wielkości wprost fantastyczna. Ma wartość hiperboliczną.

39 PROGRAMY GENERUJĄCE RÓŻNE LICZBY W ramach współpracy grup powstały również dwa programy generujące różne liczby naturalne: 1.Program generujący liczby doskonałe 2.Program generujący dzielniki liczb naturalnych. Programy można pobrać ze strony:

40 ZSO NR 1 – NOWOGARD 1. Marlena Glanc 2. Weronika Kaczmarek 3. Nikola Myśliwiec 4. Wiktor Pacer 5. Sandra Putkowska 6. Błażej Siuda 7. Anna Stańczyk 8. Marcin Wolak 9. Łukasz Wysocki 10. Ewa Żywica OPIEKUN - Karina Surma OPIEKUN – Daniel Kuzara ZS NR 2 - SZAMOTUŁY 1. Łukasz Bartkowiak 2. Agata Drewny 3. Joanna Janecka 4. Dawid Jankowiak 5. Marta Machowska 6. Paulina Maciejewska 7. Karol Olszewski 8. Sabina Pietrzak 9. Anna Rzeszuto 10. Jacek Śniegowski OPIEKUN – Daniel Kuzara

41 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google