Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."— Zapis prezentacji:

1 Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt Z FIZYKĄ, MATEMATYKĄ I PRZEDSIĘBIORCZOŚCIĄ ZDOBYWAMY ŚWIAT !!! jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 41 w Poznaniu, Gimnazjum nr 1 w Szczecinie ID grupy: 98/14 G2, 98/91 G1 Opiekun: Elżbieta Fietz, Halina Opala Kompetencja: matematyczno -fizyczna Temat projektowy: Tajemnice tabliczki mnożenia Semestr/rok szkolny: drugi semestr 2010/2011

3 I. TABLICE MATEMATYCZNE Tablice matematyczne to zbiory wartości różnych funkcji matematycznych dla różnych wartości ich argumentów. Najprostszym przykładem tablicy matematycznej jest tabliczka mnożenia. Tablice matematyczne służyły ułatwianiu obliczeń matematycznych, astronomicznych, fizycznych, statystycznych itp. Obecnie, na skutek upowszechnienia się elektronicznych technik obliczeniowych, tablice matematyczne wychodzą z użytku.

4 II.TABLICZKA MNOŻENIA Tabliczka mnożenia - tabelaryczny sposób zestawienia wyników mnożenia przez siebie liczb naturalnych. Najczęściej w formie kwadratowej tablicy (macierzy), w której kolejne wiersze i kolejne kolumny odpowiadają kolejnym liczbom mnożonym przez siebie, a gdzie na skrzyżowaniu wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia. Najczęściej spotykana jest tabliczka "do stu", o dziesięciu kolumnach i dziesięciu wierszach, w której na skrzyżowaniu dziesiątego wiersza i dziesiątej kolumny znajduje się wynik mnożenia 10×10=100.

5 TABLICZKI MNOŻENIA O RÓŻNYCH ZAKRESACH

6 Tabliczka mnożenia 10×

7 Spotykane są także tabliczki o wymiarach większych (np. 12×12 lub 20×20), a także zestawienia wyników mnożeń liczb całkowitych w formie innej, niż kwadratowa macierz, ale na przykład w formie zestawienia. Za pomocą tabliczki mnożenia można przedstawiać wyniki działań w dowolnych skończonych strukturach algebraicznych, np. tabliczka mnożenia w pierścieniu (patrz Z modulo n): Tabliczka mnożenia w pierścieniu Z

8 TABLICZKA MNOŻENIA 20 X 20 ×

9 * Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego *

10 * Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego *

11 * * Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego

12 * Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego *

13 * Tabliczki mnożenia liczb otrzymane za pomocą arkusza kalkulacyjnego *

14 WŁASNOŚCI TABLICZKI NNOŻENIA

15 III. WŁASNOŚCI TABLICZKI MNOŻENIA W ZAKRESIE OD 1 DO Tabelaryczny układ tabliczki mnożenia w zakresie od 1 do

16 1.1. UKŁAD KOLEJNYCH LICZB W DANYM WIERSZU JEST TAKI SAM JAK UKŁAD KOLEJNYCH LICZB W ODPOWIEDNIEJ KOLUMNIE

17 UKŁAD KOLEJNYCH LICZB W DANYM WIERSZU JEST TAKI SAM JAK UKŁAD KOLEJNYCH LICZB W ODPOWIEDNIEJ KOLUMNIE

18 1.2. SUMA LICZB DANEGO WIERSZA JEST RÓWNA SUMIE LICZB ODPOWIEDNIEJ KOLUMNY

19 SUMA LICZB DANEGO WIERSZA JEST RÓWNA SUMIE LICZB ODPOWIEDNIEJ KOLUMNY

20 1.3 Sumy liczb kolejnych wierszy są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszego wiersza ( liczby 55 ). Przykłady: 1 wiersz: = 55 (1 x 55 = 55 ) 2 wiersz: = 110 ( 2 x 55 = 110 ) 3 wiersz: = 165 ( 3 x 55 = 165 ) 8 wiersz: = 440 ( 8 x 55 = 440 ) 9 wiersz: = 495 ( 9 x 55 = 495 )

21 1.4 Suma liczb kolejnych 10 wierszy równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszego wiersza. Przykład: 1 wiersz = 55 2 wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = wiersz = 55 Razem 10 wierszy = 3025 = ( 55 ) 2

22 1.5 Sumy liczb kolejnych kolumn są kolejnymi wielokrotnościami sumy liczb pierwszej kolumny ( liczby 55 ). Przykłady: 1 kolumna: = 55 ( 1 x 55 = 55 ) 2 kolumna: = 110 ( 2 x 55 = 110 ) 3 kolumna: = 165 ( 3 x 55 = 165 ) 8 kolumna: = 440 ( 8 x 55 = 440 ) 9 kolumna: = 495 ( 9 x 55 = 495 )

23 1.6 Suma liczb kolejnych 10 kolumn równa jest liczbie 3025, która jest kwadratem liczby 55, będącej sumą kolejnych liczb pierwszej kolumny. Przykład: 1 kolumna = 55 2 kolumna = kolumna = 1654 kolumna = kolumna = 2756 kolumna = kolumna = 3858 kolumna = kolumna = kolumna = Razem 10 kolumn = 3025 = ( 55 ) 2

24 2. WŁASNOŚCI PRZEKĄTNYCH TABLICZKI MNOŻENIA. A. Własności przekątnej będącej osią symetrii tabliczki mnożenia i równoległych do niej zielona przekątna tabliczki mnożenia

25 2.1 ZIELONA PRZEKĄTNA TABLICZKI MNOŻENIA ( POPROWADZONA OD LICZBY 1 DO 100 – OD GÓRNEGO LEWEGO ROGU TABLICZKI DO JEJ DOLNEGO PRAWEGO ROGU ) JEST JEJ OSIĄ SYMETRII 2.2 Zieloną przekątną tabliczki mnożenia tworzą kolejne liczby będące kwadratami odpowiednich liczb ( n-tego wiersza lub n-tej kolumny ). Kolejne liczby tej przekątnej tworzą ciąg liczb o wzorze a n = n 2, dla n 1 Przykłady:a 1 = 1 2 = 1a 6 = 6 2 = 36 a 2 = 2 2 = 4a 7 = 7 2 = 49 a 3 = 3 2 = 9a 8 = 8 2 = 64 a 4 = 4 2 = 16 a 9 = 9 2 = 81 a 5 = 5 2 = 25 a 10 = 10 2 = 100

26 2.3 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 1 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = n dla n 2 Przykłady: 4 – 1 =3, 9 –1 = 8, 16 –1 = 15, 49 – 1 = 48, 2 2 – 1= 3, 3 2 – 1= 8, 4 2 – 1= 15, 7 2 – 1 = 48,

27 żółta przekątna – pierwsza równoległa do osii symetrii zielona przekątna - oś symetrii

28 2.4 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami I – szych równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi I-szą równoległą do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 4 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = n dla n 3 a n = n dla n 3 Przykłady: 9 – 4 =5, 16 – 4 = 12, 25 – 4 = 21, 3 2 – 4= 5, 4 2 – 4 = 12, 5 2 – 4 = 21,,

29 pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

30 2.5 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami II – gich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( III - cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi II-gie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 9 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = n dla n 4 a n = n dla n 4 Przykłady: 16 – 9 =7, 25 – 9 = 16, 36 – 9 = 27, 4 2 – 9= 7, 5 2 – 9 = 16, 6 2 – 9 = 27,

31 brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

32 2.6 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się z liczbami III – cich równoległych do osi symetrii: dolnymi lewymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz górnymi prawymi narożnikami ( IV - ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się ( narożnikami ) bezpośrednio z liczbami tworzącymi III-cie równoległe do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są o 16 mniejsze od odpowiednich liczb osi symetrii tabliczki mnożenia. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = n dla n 5 a n = n dla n 5 Przykłady: 25 – 16 = 9, 36 – 16 = 20, 5 2 – 16 = 9, 6 2 – 16 = 20,

33 niebieska przekątna-czwarta równoległa do osi symetrii brązowa przekątna – trzecia równoległa do osi symetrii pomarańczowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii żółta przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

34 2.7 Własności I-szych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się bokami z liczbami osi symetrii - przylegających do dwóch kolejnych liczb osi symetrii - (I-sza oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (I-sza oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – przylegające bezpośrednio do liczb tworzących oś symetrii – tworzą równoległe do niej i są równe połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1. Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = ( n 2 +( n+1) 2 )-1/)2 dla n 1 dla n 1 Przykłady: a 1 = ( 1 2 +( 1+1) 2 )-1/)2 =(( 1+4)-1)/2=2 a 2 = ( 2 2 +( 2+1) 2 )-1/)2 = ((4+9)-1)/2=6 a 3 = ( 3 2 +( 3+1) 2 )-1/)2=((9+16)-1)/2=12

35 szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

36 2.8 Własności II-gich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami I- szych osi równoległych do osi symetrii - (II-ga oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (II-ga oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami I-szych osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o dwa połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o 2 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb I-szych osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = ( n 2 +( n+1) 2 )-1/)2 -2 dla n 2 Przykłady: a 1 = ( 2 2 +( 2+1) 2 )-1/)2 -2 = ((4+9)-1)/2-2=4 a 2 = ( 3 2 +( 3+1) 2 )-1/)2-2=((9+16)-1)/2-2=10

37 stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

38 2.9 Własności III-cich równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami II-gich osi równoległych do osi symetrii - (III-cia oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (III-cia oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami II –gich osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o sześć połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o 4 mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb II-gich osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = ( n 2 +( n+1) 2 )-1/)2 -6 dla n 3 Przykłady: a 1 = ( 3 2 +( 3+1) 2 )-1/)2 -6= ((9+16)-1)/2-6=6 a 2 = ( 4 2 +( 4+1) 2 )-1/)2-6=((16+25)-1)/2-6=14

39 fioletowa przekątna- trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

40 2.10 Własności IV-tych równoległych do osi symetrii tabliczki mnożenia, powstałych z kolejnych liczb stykających się wierzchołkami z liczbami III- cich osi równoległych do osi symetrii - (IV-ta oś równoległa - położona nad osią symetrii ) oraz (IV-ta oś równoległa - położona pod osią symetrii ). Kolejne liczby – stykające się wierzchołkami z liczbami III-cich osi równoległych do osi symetrii – tworzą równoległe do niej i są: równe pomniejszonej o dwanaście połowie z sumy kolejnych dwóch liczb osi symetrii ( do których przylegają ) pomniejszonej o 1; o sześć mniejsze od odpowiednich ( stykających się wierzchołkami ) liczb III-cich osi równoległych do osi symetrii Tworzą one szereg liczbowy o wzorze a n = (( n 2 +( n+1) 2 )-1))/2 -12 dla n 4 Przykłady: a 1 = ( 4 2 +( 4+1) 2 )-1/)2 -12= ((16+25)-1)/2-12=8 a 2 = ( 5 2 +( 5+1) 2 )-1/)2-12=((25+36)-1)/2-12=18

41 fioletowa przekątna- trzecia równoległa do osi symetrii stalowa przekątna – druga równoległa do osi symetrii szara przekątna – pierwsza równoległa do osi symetrii niebieska przekątna – czwarta równoległa do osi symetrii zielona przekątna - oś symetrii

42 B. WŁASNOŚCI PRZEKĄTNEJ TABLICZKI MNOŻENIA ( OD 1 DO 100 ) POPROWADZONEJ Z DOLNEGO LEWEGO NAROŻNIKA W KIERUNKU GÓRNEGO PRAWEGO NAROŻNIKA ( OD LICZBY 10 DO LICZBY 10 ) - CZERWONEJ PRZEKĄTNEJ czerwona przekątna tabliczki mnożenia zielona przekątna tabliczki mnożenia

43 2.11 Kolejne liczby czerwonej przekątnej rozłożone są symetrycznie względem osi symetrii tabliczki mnożenia – zielonej przekątnej. Przykład: - 10, , 28, 30, \, 30, 28, 24, 18, Suma kolejnych liczb tej przekątnej tabliczki mnożenia równa jest 4-krotności sumy I-szego wiersza lub I-szej kolumny i wynosi 220. Przykład: = x 55 ( suma liczb I-szego wiersza lub I-szej kolumny ) = 220

44 3. ZALEŻNOŚCI WYSTĘPUJĄCE MIĘDZY 4 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA – W UTWORZONYCH Z TYCH LICZB KWADRATACH ( Z DWÓCH KOLEJNYCH WIERSZY I ODPOWIEDNIO DWÓCH KOLEJNYCH KOLUMN ). 3.1 Iloczyny liczb ułożonych po przekątnych są sobie równe równe. 4*9=6*6=36 24*35=28*30 =840 40*54=48*45=

45 3. 2. ODPOWIEDNIE ILORAZY LICZB SĄ SOBIE RÓWNE. a) w kolumnach 4/6=6/90,67 6/4=9/6=1,5 24/30=28/35=0,8 30/24=35/28=1,25 40*54=48*45= /40=54/48=1,

46 3. 2. ODPOWIEDNIE ILORAZY LICZB SĄ SOBIE RÓWNE. b) W wierszach 4/6=6/90,67 6/4=9/6=1,5 24/28=30/350,8628/24=35/301,17 40*48=45*540,8348/40=54/45=1,

47 4. ZALEŻNOŚCI WYSTĘPUJĄCE MIĘDZY 9 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA – W UTWORZONYCH Z TYCH LICZB KWADRATACH ( Z TRZECH KOLEJNYCH WIERSZY I ODPOWIEDNIO TRZECH KOLEJNYCH KOLUMN ). 4.1 Iloczyny trzech kolejnych liczb wziętych po przekątnych są sobie równe. 4*9*16=8*9*8=576 24*36*50=30*36*40=

48 4.2 LICZBA ŚRODKOWA JEST ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ LICZB PRZYLEGŁYCH DO NIEJ ( LICZBY O JEDEN OD NIEJ MNIEJSZEJ I O JEDEN OD NIEJ WIĘKSZEJ ) a) W kolumnie (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+30)/2=54/2=27 (32+40)/2=72/2=36 (40+50)/2=90/2=

49 4.2 LICZBA ŚRODKOWA JEST ŚREDNIĄ ARYTMETYCZNĄ LICZB PRZYLEGŁYCH DO NIEJ ( LICZBY O JEDEN OD NIEJ MNIEJSZEJ I O JEDEN OD NIEJ WIĘKSZEJ ) b) W wierszu (4+8)/2=12/2=6 (6+12)/2=18/2=9 (8+16)/2=24/2=12 (24+40)/2=64/2=32 (27+45)/2=72/2=36 (30+50)/2=80/2=

50 4.3 SUMA KOLEJNYCH 3 LICZB ŚRODKOWEJ KOLUMNY RÓWNA JEST SUMIE KOLEJNYCH 3 LICZB ŚRODKOWEGO WIERSZA =6+9+12= = =

51 4.4. Suma 4 kolejnych liczb skrajnych równa jest sumie 4 kolejnych liczb środkowych. skrajne : =36 środkowe: =36 skrajne: =144 środkowe: =

52 4.5 Iloczyn trzech kolejnych liczb leżących na przekątnej ( danego układu 9 liczb ) podzielony przez liczbę skrajną położoną naprzeciw danej przekątnej równy jest iloczynowi dwóch kolejnych liczb środkowych – leżących po przeciwnej stronie w stosunku do danej liczby skrajnej, przez którą dzielimy. 4*9*16/8=6*12+=72 30*36*40/50=27*32=864 =

53 4.6 Liczba środkowa leżąca na przecięciu się przekątnych jest średnią arytmetyczną liczoną jako: a)sumę liczb środkowych podzieloną przez ich ilość czyli liczbę 4 ( )/4=36/4=9 ( )/4=144/4=

54 b) sumę liczb skrajnych podzieloną przez ich ilość czyli liczbę 4 ( )/4=36/4=9 ( )/4=144/4=

55 5.ZALEŻNOŚCI WYSTĘPUJĄCE MIĘDZY 16 LICZBAMI W TABLICZCE MNOŻENIA – W UTWORZONYCH Z TYCH LICZB KWADRATACH ( Z CZTERECH KOLEJNYCH WIERSZY I ODPOWIEDNIO Z CZTERECH KOLEJNYCH KOLUMN ). 5.1 W wierszu suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych 10+16=12+14= =18+21= =24+28= =30+35= =42+49= =48+56= =54+63= =60+70=

56 INNE WŁASNOŚCI 5.2 Własność z punktu 5.1 występuje również w przypadku kolumn – w kolumnie suma liczb skrajnych równa jest sumie liczb środkowych. 5.3 Suma liczb dwóch kolumn środkowych równa jest sumie liczb dwóch wierszy środkowych. 5.4 Suma liczb dwóch kolumn skrajnych równa jest sumie liczb dwóch wierszy skrajnych. 5.5 Sumy liczb wskazane w punkcie 5.3 i 5.4 są sobie równe.

57 WŁASNOŚCI TABLICZKI MNOŻENIA-CD

58 IV.TRÓJKĄTNA TABLICZKA MNOŻENIA

59 V. TABLICA LICZB ( N N ) ZWANA TABLICĄ PITAGORASA Suma wszystkich liczb tej tablicy jest kwadratem liczby naturalnej

60 VI. KWADRAT MAGICZNY Kwadrat magiczny – tablica składająca się z n wierszy i n kolumn (n>2), w którą wpisano n 2 różnych dodatnich liczb naturalnych w ten sposób, że suma liczb w każdym wierszu, w każdej kolumnie i w każdej przekątnej jest taka sama (tzw. suma magiczna). Kwadrat, w którym suma liczb w każdym wierszu i każdej kolumnie jest taka sama, ale sumy liczb w przekątnych są różne, nazywa się półmagicznym. Kwadraty magiczne nie mają żadnego zastosowania naukowego, ich układanie jest rodzajem rozrywki matematycznej. Kwadratów magicznych jest nieskończenie wiele. Najpopularniejsze są kwadraty zbudowane z kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: 1, 2,... n 2. Suma magiczna takiego kwadratu wynosi S=n(n 2 +1)/2

61 KWADRAT MAGICZNY Przykład kwadratu magicznego o sumie 15

62 INNE KWADRATY MAGICZNE n = 3, S = 15 n = 4, S = 74 n = 9, S = 369

63 VII. TABLICA LICZB LOSOWYCH Tablica liczb losowych – tablica wypełniona liczbami losowymi. Obecnie wychodzą z użycia na rzecz komputerowych generatorów liczb losowych. Pierwszą tablicę liczb losowych wydał w roku 1927 L. H. Tippett pod tytułem Random Sampling Numbers". Zawierała ona cyfr (od 0 do 9) pobranych z danych ze spisu powszechnego w Wielkiej Brytanii. Cyfry te uzyskano z liczb wyrażających powierzchnie parafii, po odrzuceniu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich cyfr z każdej liczby. W 1939 R. A. Fisher i F. Yates podali tablicę cyfr losowych, uzyskaną przez wypisanie cyfr od 15. do 19. z pewnych 20-cyfrowych tablic logarytmicznych. W tym samym roku Kendall, Babington i Smith przedstawili tablicę cyfr losowo uzyskanych za pomocą elektrycznej ruletki", czyli wirującego dysku z oznaczeniami cyfr, obserwując w przypadkowych chwilach wybrany sektor ruletki. Tablice liczb losowych miały ograniczoną długość i zawierały tylko jeden ciąg takich liczb. W celu przedłużenia ich żywotności (nie można było stale wykorzystywać tych samych liczb, bo to przeczyłoby idei losowości) opracowywano algorytmy wytwarzania ciągów losowych na podstawie tablic.

64 VIII. TABLICA LICZB PIERWSZYCH Sito Eratostenesa - metoda znajdowania liczb pierwszych

65 TABLICA LICZB PIERWSZYCH I ROZKŁADÓW NA CZYNNIKI PIERWSZE LiczbaCzynniki pierwsze 2Liczba pierwsza nr 1 3Liczba pierwsza nr 2 4=2×2 5Liczba pierwsza nr 3 6=2×3 7Liczba pierwsza nr 4 8=2×2×2 9=3×3 10=2×5 11Liczba pierwsza nr 5 12=2×2×3 13Liczba pierwsza nr 6 14=2×7 15=3×5 16=2×2×2×2 17Liczba pierwsza nr 7 18=2×3×3 19Liczba pierwsza nr 8 20=2×2×5 21=3×7 22=2×11 23Liczba pierwsza nr 9 24=2×2×2×3 25=5×5 26=2×13 27=3×3×3 28=2×2×7 29Liczba pierwsza nr 10 30=2×3×5 31Liczba pierwsza nr 11 32=2×2×2×2×2 33=3×11 34=2×17 35=5×7 36=2×2×3×3 37Liczba pierwsza nr 12 38=2×19 39=3×13 40=2×2×2×5 41Liczba pierwsza nr 13 42=2×3×7 43Liczba pierwsza nr 14 44=2×2×11 45=3×3×5 46=2×23 47Liczba pierwsza nr 15 48=2×2×2×2×3 49=7×7 50=2×5×5 51=3×17 52=2×2×13 53Liczba pierwsza nr 16 54=2×3×3×3 55=5×11 56=2×2×2×7 57=3×19 58=2×29 59Liczba pierwsza nr 17 60=2×2×3×5 61Liczba pierwsza nr 18 62=2×31 63=3×3×7 64=2×2×2×2×2×2 65=5×13 66=2×3×11 67Liczba pierwsza nr 19 68=2×2×17 69=3×23 70=2×5×7 71Liczba pierwsza nr 20 72=2×2×2×3×3 73Liczba pierwsza nr 21 74=2×37 75=3×5×5 76=2×2×19 77=7×11 78=2×3×13 79 Liczba pierwsza nr 22 80=2×2×2×2×5 81=3×3×3×3 82=2×41 83 Liczba pierwsza nr 23 84=2×2×3×7 85=5×17 86=2×43 87=3×29 88=2×2×2×11 89 Liczba pierwsza nr 24 90=2×3×3×5 91=7×13 92=2×2×23 93=3×31 94=2×47 95=5×19 96=2×2×2×2×2×3 97 Liczba pierwsza nr 25 98=2×7×7 99=3×3×11 100=2×2×5×5

66 DZIEWIĄTKA I TABLICZKA MNOŻENIA Dziewiątka jest bardzo miłą cyfrą, zwłaszcza dla tych, którym z trudnością przychodzi zdobycie tej najważniejszej ze wszystkich zdobyczy" matematycznych - tabliczki mnożenia. Otóż można zupełnie nie uczyć się mnożenia przez 9. Po co sobie obciążać pamięć? Wystarczy mieć 10 palców u rąk, obie ręce położyć na stole i unosić odpowiedni palec, a mnożenie samo się dopełni i trzeba będzie tylko odczytać rezultat. Jeśli np. chcemy pomnożyć 9 przez 3, podnosimy trzeci palec od lewej strony i czytamy: liczba palców w lewo od podniesionego będzie oznaczała dziesiątki iloczynu (2), a liczba palców w prawo - jedności (7). Jeśli chcemy 7 pomnożyć przez 9, unosimy siódmy palec od lewej strony i czytamy: 63. IX.RÓŻNE SPOSOBY MNOŻENIA LICZB

67 INNE SPOSOBY NA MNOŻENIE Pewien autor syryjski z XVII w., nazwiskiem B e h a-E d d i n ( ), w dziełku swym bardzo rozpowszechnionym w Persji i Indiach pod tytułem Khelasat as hissab (O istocie rachunków) podaje odmienny nieco, ale równie pomysłowy sposób palcowego mnożenia przez inne liczby, niezbędny dla tych, co nie chcą lub nie mogą sięgać w nauce tabliczki mnożenia powyżej 5. Kto zdobył tajemnicę, ile jest 2*2, 2*3 i tak dalej aż do 5*5, ten wyżej iść już w tej trudnej nauce nie potrzebuje, wystarczą mu bowiem do bardziej skomplikowanych mnożeń palce.

68 Przypuśćmy, że trzeba wykonać mnożenie 9*8. Ale 9 = 5 + 4, a 8 = 5 + 3, to znaczy 9*8=(5+4)*(5+3). Należy tedy podnieść 4 palce u jednej ręki i 3 palce u drugiej ręki. Suma palców podniesionych (4 + 3) wskaże liczbę dziesiątek iloczynu (7), a jedności iloczynu osiągniemy mnożąc liczbę zgiętych palców jednej ręki przez liczbę takich że palców drugiej ręki: 1* 2 = 2. A więc ostatecznie 9*8 = 72. A jednak,... jednak chyba lepiej wyuczyć się po prostu tabliczki mnożenia. MNOŻYMY NA PALCACH 9 RAZY 8

69 MNOŻYMY NA PALCACH 8 RAZY 7 Przy mnożeniu 8*7, co daje (5 + 3)*(5 + 2), należy zgiąć u jednej ręki 3 palce, a u drugiej 2 i pozostałe palce wyprostować. Suma zgiętych palców = 5 będzie to liczba dziesiątek, a iloczyn wyprostowanych palców 2*3=6 będzie to liczba jedności poszukiwanego wyniku. Razem będzie 56. Taki to jest trudny przypadek mnożenia. A jednak,... jednak chyba lepiej wyuczyć się po prostu tabliczki mnożenia.

70 Na lewej dłoni wyprostowany jest jeden palec, a cztery pozostałe są zgięte. Na prawej dłoni trzy palce są wyprostowane, a dwa zgięte. 6 = (1 palec - dłoń lewa) 8 = (3 palce - dłoń prawa). Aby odczytać wynik mnożenia z dłoni, dodajemy do sumy palców wyprostowanych, pomnożonej przez 10, iloczyn palców zgiętych, tzn.: (1 + 3)×10 + 4×2 = = 48. MNOŻYMY NA PALCACH 6 RAZY 8

71 5×6 = (0+1)×10 + 5×4 = = 30 MNOŻYMY NA PALCACH 6 RAZY 5

72 X. GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA Spójrzmy teraz na pewną geometryczną ciekawostkę. Nazwijmy ją geometryczną tabliczką mnożenia. Dlaczego geometryczną? Sam(a) odpowiedz sobie na to pytanie przyglądając się poniższym rysunkom. Powiem tylko, że przedstawiona poniżej geometria figur w kole redukuje się de facto do czterech cyfr: 1,2,3,4 ponieważ pozostałe cyfry: 5,6,7,8 tworzą identyczną geometrię jak 1,2,3,4. Można powiedzieć, że 0 i 9 symbolizują w tym przykładzie "nieskończoność", w której pojawiają się różne kształty

73 GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA

74 GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA CD

75 TETRAKTYS I GEOMETRYCZNA TABLICZKA MNOŻENIA Grecy uważali liczbę dziesięć za równą jedności i jednocześnie za związaną z liczbą cztery, gdyż =10. Suma pierwszych czterech liczb tworzyła wspomniany TETRAKTYS zapisywany graficznie w formie piramidy na płaszczyźnie z podstawą składającą się z czterech kul, na której ułożone były trzy kule, następnie dwie i na czubku jedna.

76 SNY I TABLICZKA MNOŻENIA A jeśli przyśni ci się tabliczka mnożenia? U dzieci są to dobre stopnie z arytmetyki. U dorosłych symbolizuje nabytą wiedze, że zawsze właściwie zastosowaną na co dzień, przez co mają opinię mędrków.

77 XI. TRÓJKĄT PASCALA Trójkąt Pascala nie jest figurą geometryczną. Został on tak nazwany, ponieważ liczby, które w nim występują układają się w trójkąt. W wierzchołku trójkąta oraz wzdłuż boków wychodzących z tego wierzchołka są jedynki. Reszta liczb powstaje w ten sposób, że liczba będąca w kolejnym rzędzie jest sumą dwóch liczb, które są bezpośrednio nad nią. W poniższej tabeli zostały przedstawione początkowe liczby występujące w trójkącie Pascala.

78 TRÓJKĄT PASCALA Trójkąt Pascala jest to trójkątna tablica liczb.

79 WŁASNOŚCI TRÓJKĄTA PASCALA Na bocznych rzędach trójkąta są jedynki. W kolejnym (pierwszym) skrajnym bocznym rzędzie są kolejne liczby naturalne (1, 2, 3, 4,...). W drugim rzędzie różnice między sąsiednimi liczbami są kolejnymi liczbami naturalnymi (są to liczby trójkątne). Liczby trójkątne podają liczbę okręgów ułożonych w kształt trójkąta (1, 3, 6, 10,...). W trzecim liczby piramidalne, podają liczbę kulek ułożonych czworościan foremny (1, 4, 10, 20, 35) W czwartej liczbę kul w "czworościanie" w przestrzeni czterowymiarowej.

80 PRZEKĄTNE Pierwsza przekątna to oczywiście same jedynki, następna przekątna ma liczby naturalne, trzecia przekątna utworzona została z liczb trójkątnych, tj.: kolejność stanowi wzór punktów tworzących trójkąt. Dodając kolejny wiersz z kropkami i sumując wszystkie punkty, można znaleźć następną liczbę w sekwencji

81 Uogólniając, w n tym rzędzie bocznym znajdują się liczby n- komórkowe. Wracając do rzędu zerowego i uogólniając możemy policzyć liczbę elementów trójkącie w przestrzeni jedno- i zerowymiarowej. Sumy liczb w poziomych rzędach to kolejne potęgi liczby 2. Każdy element trójkąta zawiera liczbę różnych dróg, jakimi można do niego dotrzeć z wierzchołka poruszając się do sąsiednich elementów w lewo w dół oraz w prawo w dół. Po usunięciu z trójkąta wszystkich liczb parzystych pozostałe liczby nieparzyste układają się w geometryczny wzór trójkąta Sierpińskiego.

82 I JESZCZE TRÓJKĄT PASCALA Co można zauważyć w sumach poziomych: Czy jest jakiś wzór? Niewiarygodne! Suma podwaja się w kolejnych wierszach!

83 XII NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA I TABLICZKA MNOŻENIA. Czy prawdą jest popularne powiedzenie :,,... to jest oczywiste jak 2 x 2 jest 4. To powiedzenie pokazuje jak bardzo system dziesiętny zakorzenił się w rzeczywistości. Istnieją różne niedziesiątkowe systemy zapisywania liczb. Liczba 7 wyrażona kolejno w tych systemach ma postać : (7) 10 =(111) 2 =(21) 3 =(13) 4 =(12) 5 = (11) 6 =(10) 7 = (7) 8 =(7) 9 =(7) 11 =(7) 12 a liczba 10 w tych systemach : (10) 10 =(1010) 2 =(101) 3 =(22) 4 =(20) 5 =(14) 6 =(13) 7 =(12) 8 =(11) 9 = (D) 11 =(D) 12

84 ZASADY ZAPISYWANIA LICZB W SYSTEMACH NIEDZIESIĄTKOWYCH Zapis liczb w różnych systemach opiera się na tych samych zasadach co w systemie dziesiętnym a różni się ilością używanych cyfr. W systemie dwójkowym używamy dwóch cyfr, w trójkowym trzech itd. W systemach jedenastkowym, dwunastkowym itd. trzeba wprowadzić dodatkowe symbole na oznaczenia liczb : 10, 11 itd., które w tych systemach są cyframi ( ja oznaczyłam : 10 – D, 11 – J ).

85 \ TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE SIÓDEMKOWYM Wyniki mnożenia w systemach np. siódemkowym lub piątkowym można zapisać w tabelkach (5342 ) 7 x ( 6 ) 7 =(45045) 7 Obliczenia cząstkowe : (6x2) 7 =(15) 7 (6x4) 7 +(1) 7 =(33) 7 +(1) 7 =(34) 7 (6x3) 7 +(3) 7 =(24) 7 +(3) 7 =(30) 7 (6x5) 7 +(3) 7 =(45) 7 Można ten wynik sprawdzić : (5342) 7 =1892, (6) 7 =6, (45045) 7 = x 6=

86 TABLICZKA MNOŻENIA W SYSTEMIE PIĄTKOWYM (3214) 5 x ( 3) 5 =(20202) 5 Obliczenia cząstkowe : (3x4) 5 =(22) 5 (3x1) 5 +(2) 5 =(3) 5 +(2) 5 =(10) 5 (3x2) 5 +(1) 5 =(11) 5 +(1) 5 =(12) 5 (3x3) 5 +(1) 5 =(14) 5 +(1) 5 =(20) 5 Sprawdzenie : (3214) 5 = 434 (3) 5 = 3 434x3=1302 (20202) 5 =

87 CZY DWA RAZY DWA ZAWSZE DAJE CZTERY? Mnożąc liczby w systemach niedziesiątkowych otrzymujemy np.: (2) 3 x (2 )3 = (11) 3 (2) 4 x (2) 4 = (10) 4

88 Mnożenie przez 9 Wynik mnożenia przez 9 obliczamy następująco: ilość dziesiątek (wyniku) otrzymujemy odejmując 1 od liczby mnożonej przez 9; zastanawiamy się ile trzeba do otrzymanej liczby dodać aby otrzymać 9 - to nasza liczba jedności Przykłady: zamiast mnożyć liczbę (np.5) przez 9, mnożymy ją przez 10 i odejmujemy od wyniku tą liczbę (5)

89 Przykłady: 6x9=54, bo 6x10=60, a 60-6=54 3x9=27, bo 3x10=30, a 30-3=27 Te wyliczenia początkowo mogą wydawać się skomplikowane, ale gdy się zrozumie zasadę i dobrze dodaje i odejmuje w pamięci, to czasem lepsze jest wyliczanie od zapamiętywania wyników.

90 XIII SUWAK LOGARYTMICZNY Suwak logarytmiczny (suwak rachunkowy) – prosty przyrząd ułatwiający obliczenia, powszechnie używany przez inżynierów do końca lat 80. XX wieku. Wynaleziony w 1632 roku przez Williama Oughtreda, zainspirowany linijką logarytmiczną Edmunda Guntera. Suwak logarytmiczny umożliwia mnożenie, dzielenie i wiele innych działań np. logarytmowanie, potęgowanie, pierwiastkowanie. Spełnia rolę tablic trygonometrycznych. Niekiedy posiada dodatkowe znaczniki lub skale pozwalające szybko obliczać powierzchnię koła, ciężar i wytrzymałość prętów itp.

91 MNOŻENIE ZA POMOCĄ SUWAKA Przykład: Mnożenie 2x3. Jedynka przesuwki ustawiona nad pierwszym czynnikiem (2). Wynik (6) odczytujemy pod drugim czynnikiem (3). Zauważmy, że w takim ustawieniu możemy odczytać wszystkie inne mnożenia przez 2. Na podziałce (A) znaleźć pierwszy czynnik iloczynu (tu: 2,0) i ustawić nad nim "1" lub "10" podziałki (B). Na podziałce (B) odnaleźć drugi czynnik iloczynu (tu: 3,0) i ustawić na nim kresę okienka. Położenie drugiego czynnika wskazuje na podziałce (A) wynik mnożenia (tu: 6,0). Ustalić położenie miejsca dziesiętnego ustalić rząd wielkości czynników, tu: +1 (dla 2,0) oraz +1 (dla 3,0), ponieważ wynik (liczba 6,0) znajduje się na prawo od pierwszego czynnika (liczba 2,0), zapisać korektę -1 (gdyby wynik znajdował się na lewo od pierwszego czynnika, zapisać korektę zero), zsumować wielkości czynników oraz korektę: ( 1) = 1, wynik posiada jedną cyfrę przed znakiem dziesiętnym więc 6,0 (czyli 2x3 = 6).

92 XIV LICZBY WIELOKĄTNE Liczby wielokątne są liczbami prezentowanymi jako kropki lub kulki ułożone na kształt wielokąta foremnego, np. liczba 6 może zostać przedstawiona jako trójkąt, liczba 9 jako kwadrat. Istnieją także liczby, które mogą zostać ułożone w więcej niż 1 wielokąt foremny, np. liczba 36 jest liczbą trójkątną i kwadratową. Pojęcie liczb wielokątnych zawdzięczamy pitagorejczykom. Następnie zajmowali się nimi m.in. J. L. Lagrange, L. Euler, J. C. F. Gauss i A. Cauchy. Liczba trójkątna to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco:

93 ZALEŻNOŚĆ NA N-TĄ LICZBĘ TRÓJKĄTNĄ MOŻNA PRZEDSTAWIĆ WEDŁUG WZORU: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych. Liczby trójkątne

94 LICZBA KWADRATOWA Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

95 INNE LICZBY WIELOKĄTNE Na podobnej zasadzie jak liczby trójkątne i kwadratowe tworzone są inne liczby wielokątne. Przykłady liczb trójkątnych, kwadratowych i innych wielokątnych przedstawia tabela:

96 WZÓR NA LICZBĘ WIELOKĄTNĄ

97 XV. LICZBY WIELOŚCIENNE Gdy weźmiemy pod uwagę przykłady: liczby pierwszego wiersza tworzą postęp arytmetyczny, drugiego wiersza są sumami liczb pierwszego, liczby trzeciego wiersza są sumami liczb drugiego wiersza. Liczby drugiego wiersza zwą się liczbami w i e l o b o c z n e m i, trzeciego wiersza p i r a m i d o w e m i. Zależnie od różnicy postępu arytmetycznego, liczby wieloboczne zwą się trójkątnemi, czworobocznemi, pięciobocznemi i t. d., podobnie liczby trzeciego wiersza.

98 STRONY, Z KTÓRYCH CZERPALIŚMY INFORMACJE Tabliczka mnożenia inaczej – Grażyna Jabłońska

99


Pobierz ppt "Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie Projekt."

Podobne prezentacje


Reklamy Google