Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 10) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesó w AGH.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 10) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesó w AGH."— Zapis prezentacji:

1 AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 10) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesó w AGH

2 Układy nieliniowe Układy nieliniowe wykazują cztery właściwości znacznie różniące je od układów liniowych: 1)nie spełniają zasady superpozycji, 2)charakter odpowiedzi w stanie ustalonym w sposób istotny zależy od amplitudy sygnału sterującego lub am- plitudy zakłócenia, 3)odpowiedź w stanie ustalonym oprócz częstotliwości pochodzącej od wymuszenia lub zakłócenia może dodat- kowo zawierać inne harmoniczne,

3 Układy nieliniowe 4)stabilność układów w istotny sposób zależy od wartości warunków początkowych, przykładowo: a)dla małych wartości warunków początkowych układ może być stabilny, b)dla dużych wartości warunków początkowych układ może być niestabilny.

4 Zasada superpozycji - przypomnienie Zasada superpozycji stosowana jest w analizie i syntezie liniowych układów regulacji. Brzmi ona następująco: Reakcja układu liniowego na sumę sygnałów jest równa sumie reakcji na każdy sygnał osobno.

5 Układy nieliniowe - przykład Mamy trzy układy regulacji z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym: 1) układ liniowy opisany funkcją przejścia toru głównego 2) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaźnika dwupołożeniowego

6 Układy nieliniowe - przyklad 3) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaźnika dwupołożeniowego

7 Układy nieliniowe Schematy blokowe układów regulacji

8 Układy nieliniowe - przykład Wszystkie układy poddano jednocześnie działaniu poniższych sygnałów skokowych: - sygnału w(t) = A w ·1(t), gdzie A w = 1 i otrzymano wyniki jak na rysunku 1. - sygnału w(t) = A w ·1(t), gdzie A w = 4 i otrzymano wyniki jak na rysunku 2.

9 Układy nieliniowe przykład Rys. 1. Charakterystyki skokowe układów dla A w = 1

10 Układy nieliniowe - przykład Rys. 2. Charakterystyki skokowe układów dla A w = 4

11 Układy nieliniowe - przykład Wnioski : - układ 1 zachowuje się tak, że na podstawie charakte- rystyki dla A w = 1 można wyznaczyć charakterystykę dla A w = 4, - w przypadku układu 2 i 3 na podstawie charakterystyk dla A w = 1 nie można wyznaczyć charakterystyk dla A w = 4.

12 Układy nieliniowe – symbole graficzne Symbole graficzne członów nieliniowych: a) symbol ogólny; b) charakterystyka dana wzorem; c) charakterystyka dana graficznie

13 Układy nieliniowe Ogólnie odpowiedź y(t) członu nieliniowego jest związana z wymuszeniem u(t) tego członu nieliniowym równaniem różniczkowym n-tego rzędu gdzie:

14 Układy nieliniowe W przypadku szczególnym powyższe równanie może przyjąć postać algebraiczną przedstawiającą model nieautonomiczny F(y,u,t) = 0 Gdy czas nie występuje w postaci jawnej, to człon opisujemy równaniem autonomicznym, nazywanym charakterystyką statyczną F(y,u) = 0 którą zwykle staramy się przedstawić w postaci y = f(u)

15 Układy nieliniowe Ze względu na opis matematyczny charakterystyki statyczne członów nieliniowych dzielimy na dwie grupy: 1)nieliniowości analityczne, czyli opisane w postaci jednoznacznej krzywej gładkiej lub rodziny krzywych. 2)nieliniowości nieanalityczne, czyli opisane za pomocą krzywych nieciągłych lub niejednoznacznych. Ponadto wszystkie nieliniowości ze względu na sposób występowania w układzie dzielimy na: 1)nieliniowości strukturalne, czyli wynikające z właściwości fizycznych członów, 2)nieliniowości celowe, czyli specjalnie wprowadzone do układu dla zapewnienia pożądanych właściwości statycznych i dynamicznych.

16 Układy nieliniowe – wybrane charakterystyki statyczne Do bardzo często spotykanych członów nieliniowych zaliczamy: a) człon ze strefą nieczułości, b) człon z nasyceniem, c) człon ze strefą nieczułości i nasyceniem, d) człon ze skokiem początkowym i nasyceniem, e) przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy, f) przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą, g) przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy, h) przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą.

17 Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członuCharakterystyka członu y = f(u) Człon ze strefą nieczułości Człon z nasyceniem

18 Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członuCharakterystyka członu y = f(u) Człon ze strefą nieczułości i nasyceniem Człon ze skokiem początkowym i nasyceniem

19 Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członuCharakterystyka członu y = f(u) Przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy (idealny) Przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą (rzeczywisty)

20 Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członuCharakterystyka członu y = f(u) Przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy (idealny) Przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą (rzeczywisty)

21 Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Dla charakterystyki przekaźnika dwupołożeniowego z histerezą konstruujemy schemat zastępczy zawierający charakterystykę przekaźnika idealnego i obwód sprzężenia zwrotnego jak na rysunku poniżej.

22 Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Dana jest charakterystyka przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą oraz charakterystyka przekaźnika idealnego przechodząca przez środek pola histerezy.

23 Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Schemat zastępczy przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą.

24 Przekształcanie schematów blokowych Schematy blokowe układów z członami nieliniowymi można przekształcać podobnie jak schematy układów liniowych. Obowiązuje przy tym warunek konieczny i dostateczny prze- kształcenia: Zastąpienie części schematu układem równoważnym nie może powodować zmian w pozostałych częściach schematu nie podlegającym przekształceniu. Kolejność występowania członów nieliniowych ma istotne znaczenie dla właściwości układu i nie wolno jej zmieniać. Stąd wynika podstawowa zasada przekształcania:

25 Przekształcanie schematów blokowych Dopuszczalne przekształcenia schematów blokowych: 1) szeregowe połączenie członów, 2) równoległe połączenie członów, 3)przenoszenie węzła zaczepowego.

26 Przekształcanie schematów blokowych Rozważamy fragment układu złożony z dwóch członów nieliniowych o znanych charakterystykach statycznych połączonych szeregowo: Dwa człony nieliniowe połączone szeregowo. Człon zastępczy równoważny układowi z rysunku obok. Po podstawieniu charakterystyki pierwszego członu do charakterystyki drugiego członu otrzymujemy y = f 2 (u 1 ) = f 2 [f 1 (u)] = f(u)

27 Przekształcanie schematów blokowych Człon zastępczy równoważny układowi ze schematu obok Dwa człony nieliniowe połączone równolegle Równoległe połączenie członów Z istoty połączenia równoległego wynika, że charakterystyka członu zastępczego jest równa sumie charakterystyk członów składowych y = y 1 + y 2 = f 1 (u) + f 2 (u) = f(u)

28 Przekształcanie schematów blokowych Graficzne wyznaczanie charakterystyki członu zastępczego dla członów nieliniowych połączonych równolegle

29 Przekształcanie schematów blokowych – przykład1 Wyznaczyć charakterystykę członu zastępczego dla podanego niżej równoległego połączenia członów o znanych charakterystykach statycznych. Dwa człony nieliniowe połączone równolegle

30 Przekształcanie schematów blokowych – przykład1 Rozwiązaniem jest charakterystyka pokazana na rysunku. Charakterystyka wypadkowa jest liniowa lub zbliżona do liniowej. Charakterystyki dla podanych układów

31 Przekształcanie schematów blokowych – przykład2 Wyznaczyć charakterystykę członu o zmiennym wzmocnieniu, utwo- rzonego z: 1) członu liniowego opisanego wzmocnieniem K 1 = 0.5, 2) członu nieliniowego ze strefą nieczułości o szerokości 2a = 1, poza tą strefą opisanego wzmocnieniem K 2 = 2. Schemat członu o zmiennym wzmocnieniu

32 Przekształcanie schematów blokowych – przykład2 Charakterystyka statyczna członu

33 Przenoszenie węzła zaczepowego przed blok Przeniesienie węzła zaczepowego przed blok nieliniowy zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego takiego, jak człon dany. Otrzymamy wtedy schemat pokazany poniżej na rysunku. Przekształcony schemat z rysunku obok Schemat blokowy z węzłem zaczepowym za blokiem

34 Przenoszenie węzła zaczepowego za blok Przeniesienie węzła zaczepowego za blok nieliniowy zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego o cha- rakterystyce odwrotnej do charakterystyki danej. Przekształcony schemat z rysunku obok Schemat blokowy z węzłem zaczepowym przed blokiem

35 Układy regulacji dwupołożeniowej e u max -h h r y(t) u(t) + - Uwagi wstępne: Typowy przykład zastosowań to regulacja temperatury,Typowy przykład zastosowań to regulacja temperatury, Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu.Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu. Jako regulator można stosować przekaźnik o charakterystyce asymetrycznej.Jako regulator można stosować przekaźnik o charakterystyce asymetrycznej. h Ze statycznym obiektem regulacji

36 Układy regulacji dwupołożeniowej Przebiegi odpowiedzi skokowej obiektu na sterowanie u min oraz u max : y(t) y max y min UWAGA! W przypadku obiektów cieplnych stała czasowa i czas martwy mają różne wartości dla grzania i chłodzenia! ( zob. wykres powyżej)

37 Układy regulacji dwupołożeniowej Przebiegi czasowe wielkości regulowanej i sygnału sterowania w układzie: h r

38 Układy regulacji dwupołożeniowej Uwagi do wykresów:Uwagi do wykresów: W układzie występują oscylacje wielkości regulowanej i nie da się ich uniknąć.W układzie występują oscylacje wielkości regulowanej i nie da się ich uniknąć. Zwiększenie amplitudy oscylacji powoduje zmniejszenie częstotliwości przełączeń,Zwiększenie amplitudy oscylacji powoduje zmniejszenie częstotliwości przełączeń, Rozszerzenie szerokości histerezy h powoduje zwiększenie amplitudy oscylacji,Rozszerzenie szerokości histerezy h powoduje zwiększenie amplitudy oscylacji, Im większy wartość czasu martwego obiektu, tym większa amplituda oscylacji w układzie,Im większy wartość czasu martwego obiektu, tym większa amplituda oscylacji w układzie, im większa wartość stałęj czasowej obiektu, tym mniejsza częstotliwość przełączeń.im większa wartość stałęj czasowej obiektu, tym mniejsza częstotliwość przełączeń.

39 Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 1. Wysoki poziom wartości zadanej: r bliska wartości y max : y śr y śr < r

40 Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 2. Wartość zadana na poziomie ok. 50% zakresu y śr y śr r

41 Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 3. Niski poziom wartości zadanej: r bliska wartości y min : y śr y śr > r

42 Układ regulacji II położeniowej z astatycznym obiektem regulacji: Uwagi wstępne: Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu.Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu. Jako regulator należy zastosować przekaźnik o charakterystyce symetrycznej.Jako regulator należy zastosować przekaźnik o charakterystyce symetrycznej. Wartość średnia wielkości regulowanej nie zależy od poziomu wartości zadanej.Wartość średnia wielkości regulowanej nie zależy od poziomu wartości zadanej. e u max -h h r y(t) u(t) + - h

43 Układ regulacji II położeniowej z astatycznym obiektem regulacji:

44 Metoda funkcji opisującej. Uwagi wstępne: Metoda funkcji opisującej stanowi rozszerzenie metod opisu systemów liniowych w dziedzinie częstotliwości,Metoda funkcji opisującej stanowi rozszerzenie metod opisu systemów liniowych w dziedzinie częstotliwości, Po podaniu sygnału sinusoidalnego na wejście elementu nieliniowego na wyjściu elementu pojawia się sygnał okresowy, ale nie sinusoidalny.Po podaniu sygnału sinusoidalnego na wejście elementu nieliniowego na wyjściu elementu pojawia się sygnał okresowy, ale nie sinusoidalny. Kształt sygnału wyjściowego zależy od rodzaju nieliniowości oraz od amplitudy sygnału wejściowego.Kształt sygnału wyjściowego zależy od rodzaju nieliniowości oraz od amplitudy sygnału wejściowego. Idea metody funkcji opisującej polega na założeniu, że kształt przebiegu wyjściowego można w przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej.

45 Przejście sygnału sinusoidalnego przez element III położeniowy - przykład: Φ(u) u -n n ymym -y m Charakterystyka symetryczna,Charakterystyka symetryczna, Bez histerezy,Bez histerezy,

46 Na element podajemy sygnał sinusoidalny o amplitudzie A 1 większej od strefy nieczułości elementu 2n: u(t) y(t)= Φ(u(t)) A1A1 A 1 > 2n u(t)=A 1 sin t n -n ymym -y m Metoda funkcji opisującej.

47 y(t) u(t) ymym -y m n -n Metoda funkcji opisującej.

48 Definicja Funkcją opisującą elementu nieliniowego nazywamy stosunek wartości zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego A(Y 1h ) do amplitudy sinusoidalnego sygnału wejściowego A 1 Dla elementów nieliniowych bezinercyjnych o symetrycznych charakterystykach statycznych: Metoda funkcji opisującej.

49 Definicja Wykres krytyczny elementu nieliniowego: Wykres krytyczny wyznacza się przy A 1 zmieniającej się w zakresie od 0 do.

50 Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych Przekaźnik II położeniowy bez histerezy: u y ymym -y m Wykres krytyczny: Q P A 1 =0 A 1 -> A 1 ->

51 Przekaźnik II położeniowy z histerezą: u y ymym -y m -h h A 1 h: Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

52 Wykres krytyczny: Q P A 1 -> A 1 -> A 1 =h Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

53 Przekaźnik III położeniowy bez histerezy: y u -n n ymym -ym-ym A 1 >n: A 1

54 Wykres krytyczny: Q P A 1 -> A 1 -> A 1 =0 Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

55 Przekaźnik III położeniowy z histerezą: y u -n n ymym -ym-ym -an an A 1 >n: A 1

56 Wykres krytyczny: Q P n A 1 -> A 1 -> A 1 =a Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

57 Element z nasyceniem: u y ymym -y m n -n Arc tg = k A 1

58 Wykres krytyczny: Q P -1/k A 1 -> A 1 -> Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

59 Element ze strefą nieczułości: A 1

60 Wykres krytyczny: Q P -1/k A 1 -> A 1 -> A 1 =0 Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych

61 Stabilność układu regulacji z regulatorem nieliniowym i liniowym obiektem regulacji. Uogólniona transmitancja widmowa układu otwartego jest równa: J(A 1 ) r y(t) u(t) + - G(jω) G o (A 1, jω)=J(A 1 )G(jω) Kryterium Nyquista dla systemów nieliniowych.

62 Granica stabilności wg kryterium Nyquista: Uwaga Wykres krytyczny w przypadku układu nieliniowego jest odpowiednikiem punktu (-1,j0) w przypadku układu liniowego.

63 Przybliżony warunek stabilności (Kryterium Nyquista dla systemu nieliniowego ) Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka amplitudowo – fazowa liniowej części układu nie okrąża wykresu krytycznego elementu nieliniowego ani nie ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest globalnie stabilny. Uwagi. Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez charakterystykę G(jω), to punkt przecięcia obu wykresów określa amplitudę i pulsację drgań ustalonych występujących w układzie ( cyklu granicznego ) Część wykresu krytycznego okrążana przez G(j ) opisuje niestabilną część systemu, a część nie okrążana opisuje część stabilną.

64 Przykład 1 J(A 1 ) r y(t) u(t) + - G(jω) Liniowy obiekt regulacji opisany jest następująco:

65 Obiekt jest sterowany nieliniowym regulatorem P o następującej charakterystyce: u y 5 -5 n -n Arc tg = k Problem: Dla jakiej wartości k układ będzie stabilny globalnie?

66 Real Axis -1/8 P Q G(jω) -1/k K(A 1 ) Układ będzie stabilny globalnie dla k < 8 P m () Q m () 010 1/3 0 -3/8 3-1/80 00 Przykład 1 cd.

67 Przykład 2 J(A 1 ) r y(t) u(t) + - G(jω) Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:

68 u y 5 -5 Jako regulator stosujemy przekaźnik II położeniowy bez histerezy:

69 Uwagi: Układ nie będzie stabilny, gdyż dla każdej wartości y m charakterystyka G(jω) będzie przecinała wykres krytyczny regulatora. Układ będzie na granicy stabilności i punkt przecięcia wykresu krytycznego z wykresem G(jω) określa amplitudę i pulsację drgań ustalonych. W rozważanym przypadku: Przykład 2 cd.

70 P m () Q m () 010 1/3 0 -3/8 3-1/ Real Axis -1/8 P Q G(jω) K(A 1 ) - 3/8 Przykład 2 cd.

71 Przykład 3 J(A 1 ) r y(t) u(t) + - G(jω) Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:

72 Jako regulator stosujemy przekaźnik II położeniowy z histerezą o szerokości h: e u h h Dla jakiej szerokości strefy histerezy h zamknięty układ regulacji będzie globalnie stabilny?

73 P m () Q m () 010 1/3 0 -3/8 3-1/ Real Axis -1/8 P Q G(jω) K(A 1 ) - 3/8 - h/4y m Na podstawie poniższego wykresu widać, ch-ka obiektu nie przetnie wykresu krytycznego jeżeli: Jeżeli y m = 5, to ostatecznie:


Pobierz ppt "AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 10) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMiR Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesó w AGH."

Podobne prezentacje


Reklamy Google