Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."— Zapis prezentacji:

1 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie

2 DANE INFORMACYJNE Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH NR 1 I Liceum Ogólnokształcące im. ppor. Emilii Gierczak w Nowogardzie ZESPÓŁ SZKÓŁ NR 2 im. Stanisława Staszica w Szamotułach ID grupy: 97/6_MF_G1 oraz 97/74_MF_G1 Kompetencja: Matematyczno – fizyczna Temat projektowy: PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI Semestr/rok szkolny: TRZECI/2010/2011

3 PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI Nieskończoność – jak pisał Hilbert – jak żaden inny problem – zawsze głęboko porusza ludzkie dusze. Nieskończoność, jak żaden inny problem, wywierała płodny wpływ na umysł. Ale nieskończoność, również jak żadne inne pojęcie, domaga się rozjaśnienia.

4 WIELCY O NIESKOŃCZONOŚCI

5 Na przełomie VII i VI wieku p.n.e. w Grecji zdobyto się na odwagę, by podjąć próbę samodzielnego zrozumienia świata ARYSTOTELES Jako pierwszy jasno sformułował problem nieskończoności Arystoteles (384 – 322 p.n.e.), rozróżniając dwa jej rodzaje w matematyce: nieskończoność potencjalną i nieskończoność aktualną. Pierwszą rozumiał on jako coś, co w danym momencie zawiera zawsze skończenie wiele elementów, ale może być dowolnie powiększane poprzez kolejne podziały. Drugą pojmował jako wielość składającą się aktualnie z nieskończenie wielu elementów, która nie ulega zmianie, powiększaniu poza każdą skończona granicę. Grecki filozof zauważył, że całkowite odrzucenie nieskończoności spowodowałoby różne, niemożliwe do przyjęcia, konsekwencje jak np. początek i koniec czasu czy niemożność podziału wielkości na części. Stwierdził zatem, że nieskończoność istnieje potencjalnie.

6 EUKLIDES Problem nieskończoności poruszał Euklides (365 – 300 p.n.e.) w Elementach, podając podstawowe aksjomaty, na bazie których powstał pierwszy system geometrii. Ze względu na zagadnienia nieskończoności ciekawe są dwie pierwsze definicje: 1.Punkt jest tym, co nie ma części lub nie ma żadnej wielkości. 2.Linia to długość bez szerokości. Euklides zdefiniował punkt, jako coś, co nie ma żadnego wymiaru. Według jednej z koncepcji, odcinek był zbudowany z punktów – części niepodzielnych. Takich elementów miało być nieskończenie wiele. Pojawił się problem długości takiego odcinka. Jeżeli składałby się on z elementów o zerowej mierze, to odcinek też miałby zerowa miarę. Jeżeli odcinek byłby zbiorem nieskończonym elementów o mierze różnej od zera, to byłby on odcinkiem o nieskończonej mierze.

7 MIKOŁJ Z KUZY Nieskończoność u Mikołaja z Kuzy ( ) pojawiała się w rozważaniach matematycznych oraz teologiczno-filozoficznych. Filozof ten zajmował się nieskończonością w matematyce, aby poznać nieskończoność Boga. Wyrażał on pogląd, iż nie jest możliwe poznanie nieskończoności za pomocą zmysłów, ponieważ rzeczy poznawalne zmysłowo nie mogą być powiększone do nieskończoności. Twierdził, że nieskończoność w matematyce można uchwycić przez umysł za pomocą pojęć. Jako przykład podał wielokąt foremny wpisany w okrąg. Jeżeli liczba boków wielokąta rośnie do nieskończoności, to uzyskiwane jest coraz lepsze przybliżenie okręgu. Okrąg, który nie jest poznawalny zmysłami, istnieje tylko w ludzkim umyśle. Oba te kształty – okrąg i wielokąt pokrywają się dopiero w nieskończoności. Mikołaj z Kuzy odwrócił dotychczas przyjmowany porządek myślenia. Opowiadał się za tym, że to, co nieskończone jest pierwsze i tylko za pomocą nieskończoności można pojąc skończoność. Pisał, że wszystko, co skończone, ma swe źródło w zasadzie nieskończoności.

8 BLAISE PASCAL Pascal (1623 – 1662) zdefiniował dwie nieskończoności – nieskończoność wielkości i nieskończoność małości. Twierdził on, iż wszystko (przestrzeń, czas, liczby, prędkość, itp.) można zwiększać bądź zmniejszać w nieskończoność: Jakkolwiek bowiem prędki byłby jakiś ruch, możemy sobie wyobrazić ruch jeszcze prędszy, ten z kolei przyspieszyć jeszcze bardziej i tak dalej w nieskończoność. Nie dojdziemy przy tym nigdy do takiego ruchu, którego nie można by już dalej przyspieszyć. Także i w przeciwnym razie, jakkolwiek powolny byłby jakiś ruch, można go jeszcze zwolnić, potem znowu – i tak dalej w nieskończoność i nigdy nie osiągniemy tak znikomej prędkości, by nie można było przejść nieskończenie wielu jeszcze mniejszych, nie dochodząc jednak do stanu spoczynku. Pascal zauważył, że żadnej z tych prawd nie da się dowieść, lecz nie z uwagi na ich niejasność, lecz przeciwnie – ze względu na ich niezwykłą oczywistość. Jednocześnie obiecywał wszystkim tym, którzy uwierzą w prawdę dwóch nieskończoności, zdolność poznania samych siebie.

9 GOTTFRIED LEIBNIZ Gottfried Leibniz (1646 – 1716) jako jeden z twórców rachunku różniczkowego i całkowego aprobował wprowadzenie wielkości nieskończenie małych. Nie uważał ich jednak za realnie istniejące liczby, a jedynie za wzór czegoś idealnego, niemającego odpowiednika w rzeczywistości. Leibniz był przekonany o istnieniu nieskończoności aktualnej w różnych dziedzinach filozofii: Wierzę tak bardzo w aktualną nieskończoność, iż zamiast utrzymywać, jak to się pospolicie mówi, że natura się jej boi, przyjmuję, iż ona wszędzie ku niej się skłania, aby tym lepiej zaznaczyć doskonałość swego Stwórcy, jednak nie przyjmował jej istnienia w matematyce, opowiadał się jedynie za istnieniem nieskończoności potencjalnej zakładając, że dla rachunku nieskończonościowego wystarczające są zawsze dowolnie małe, ale skończone wielkości rzeczywiste: Nie posiadamy idei nieskończonej przestrzeni i nic nie daje się bardziej odczuć, jak absurdalność aktualnej idei liczby nieskończonej.

10 IMMANUEL KANT Immanuel Kant (1724 – 1804) podał następującą definicję nieskończoności: To, co nieskończone, jest tą wielkością spośród innych, która nie zmniejsza się poprzez odcięcie części skończonej. Oznacza to, że wielkość, od której odejmowano, pozostaje po odjęciu części skończonej taka sama. Definicja ta w intuicyjny sposób określa definicję zbioru nieskończonego, podaną ponad sto lat później przez R. Dedekinda. Kant nie był przekonany o nieistnieniu nieskończoności aktualnej. Mówił, że jest ona pojęciem wewnętrznie niesprzecznym, ale nieuchwytnym w świecie zmysłowym, ponieważ nie może ona zostać skonstruowana ani spostrzeżona. Kant tłumaczył, że można skonstruować na przykład liczbę 5 i dostrzec pięć rzeczy materialnych. Można też skonstruować liczbę , mimo iż nikt nie będzie w stanie dostrzec tak wielu rzeczy materialnych. Nie można natomiast skonstruować ani spostrzec zbioru aktualnie nieskończonego.

11 BERNARD BOLZANO Rozwiązywaniem problemów związanych z nieskończonością zajmował się Bernard Bolzano (1781 – 1848) w swoim najważniejszym dziele Paradoksy nieskończoności. Bolzano twierdził, że większość paradoksów spotykanych w matematyce albo bezpośrednio zawiera pojęcie nieskończoności, albo bazuje na próbach jej dowodzenia. Bolzano nieskończoność wywodził ze skończoności: O tym, że to, co nieskończone, przeciwstawiało się wszystkiemu, co jest skończone, mówi już sam termin. Okoliczność, że nazwę pierwszego – nieskończony – wywodzimy z nazwy drugiego, wskazuje nadto, że również pojęcie nieskończoności przedstawiamy sobie jako takie, które wyłania się z pojęcia skończoności dopiero przez dodanie nowego składnika (takim jest zresztą samo pojęcie zaprzeczenia) Bolzano zdefiniował pojęcie wielości: …taką wielość, która jest większa od każdej wielości skończonej, tzn. jest tego rodzaju, iż każda skończona mnogość przedstawia tylko jej część, będę nazywał wielością nieskończoną

12 GEORG CANTOR Georg Cantor (1845 – 1918) w ramach teorii mnogości prowadził rozważania na temat zbiorów nieskończonych. Podobnie jak Arystoteles, Cantor rozróżniał nieskończoność aktualną i potencjalną. Jednakże uważał, że nieskończoność potencjalna w ogóle nie zasługuje na miano nieskończoności. Wyróżniał on trzy rodzaje nieskończoności aktualnej: nieskończoność absolutną (Absolut) – realizowana tylko w Bogu, nieskończoność w świecie stworzonym, nieskończoność in abstracto – będącą wielkością matematyczną. Dwie ostatnie nieskończoności określał jedną nazwą pozaskończoność ściśle przeciwstawiając je Absolutowi. Był przekonany o istnieniu nieskończoności aktualnej. Przyjmując istnienie nieskończoności aktualnej, Cantor przeciwstawiał się wprowadzaniu do matematyki wielkości aktualnie nieskończenie małych nazywając je wielkościami papierowymi.

13 PARADOKSY NIESKOŃCZONOŚCI Paradoks – w uproszczeniu, jest to coś (np. stwierdzenie), co ma pozory fałszu, choć (po stosownej analizie) okazuje się prawdą (w odpowiednio zmodykowanym języku).

14 PARADOKS ZENONA Z ELEI ACHILLES I ŻÓŁW Achilles potra biegać dwukrotnie szybciej od żółwia, na starcie pozwala mu oddalić się o ½ dystansu. Startują w tym samym momencie. Kiedy Achilles dobiega ½ dystansu żółw jest już w ¾ = ½ + ½ · ½ dystansu. Gdy Achilles dobiegnie do ½ + ¼ = ¾ dystansu, żółw znowu mu ucieknie pokonując ¾ + ½ · ¼ = 7/8 dystansu. Gdy Achilles dotrze w to miejsce, żółw ponownie oddali się o 1/16 dystansu, i tak w nieskończoność. Wniosek – Achilles nigdy nie przegoni żółwia, mimo że biegnie od niego dwa razy szybciej.

15 STRZAŁA Załóżmy, że wystrzelona z łuku strzała pokonała określony dowolny odcinek drogi. Można więc powiedzieć, że w momencie wystrzelenia znajdowała się ona na początku tej trasy, a po dotarciu do celu – na końcu. Pytanie jednak, gdzie przebywała w trakcie pokonywania tej drogi. Można odpowiedzieć, że w 1/4 czasu pokonywania tego odcinka musiała być niewątpliwie w 1/4 odcinka. Gdy zadamy pytanie, gdzie była po 1/2 czasu lotu, znowu można odpowiedzieć, że w 1/2 odcinka. Po 3/4 czasu – w 3/4 odcinka, i tak dalej w nieskończoność. Możemy sobie wyobrażać dowolną chwilę lotu, w którym strzała znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, w konkretnej odległości od łucznika. Czyli możemy powiedzieć, że skoro w każdej chwili znajdowała się w jakimś konkretnym punkcie, więc w każdej chwili była w spoczynku. Niemożliwe jest zatem aby w każdej chwili czasu strzała pozostawała w spoczynku i poruszała się jednocześnie.

16 PARADOKS PROKLOSA Średnica dzieli koło na dwie równe części. Jeżeli jednak za pomocą jednej średnicy powstają dwa półkola i jeżeli przeprowadzić przez środek nieskończenie wiele średnic, to okaże się, że półkoli będzie dwa razy więcej niż nieskończenie wiele. Tak Proklos w komentarzu do I księgi Elementów Euklidesa, zauważył że zbiór nieskończony może mieć tyle samo elementów co jego część. Czy dwa razy nieskończoność równa się nieskończoność?

17 PARADOKS GALILEUSZA W dziele Discori Galileusz zauważa, że liczb kwadratowych postaci 1, 4, 9, 16,... Jest tyle samo co liczb naturalnych 1, 2, 3, 4,..., co przeczyło intuicji, która mówiła, że część musi być mniejsza od całości.

18 PARADOKSY RÓWNOLICZNOŚCI Wyobraźmy sobie salę, pełną ludzi siedzących na krzesłach. Jeżeli na każdym krześle siedzi jedna osoba, każde krzesło jest zajęte i nikt nie stoi, to oznacza to, że krzeseł i ludzi jest tyle samo. Porównanie liczebności ludzi i krzeseł odbyło się tu bez pomocy liczb. Ta prosta zasada pozwala porównywać liczebność zbiorów nieskończonych. Rozważmy dwie skale temperatur: Celsjusza od 0 do 100 stopni, Fahrenheita od 32 stopni do 212 stopni. Pomiędzy punktami obu skal istnieje idealna odpowiedniość: temperaturze Celsjusza odpowiada temperatura Fahrenheita i na odwrót. Wzór F = 9/5 C +32 pozwala przeliczać stopnie Celsjusza C na stopnie Fahrenheita F. Oznacza to, że odcinki [0, 100] oraz [32, 212] mają tyle samo punktów. A przecież wydawałoby się, że dłuższy odcinek ma ich więcej!

19 Oto kolejny przykład: Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Niech n oznacza liczbę naturalną 0, 1, 2,..., a c całkowitą 0, ± 1, ± 2,... c =(1) n [(n + 1)/2], gdzie [x] oznacza część całkowitą liczby x. Łatwo sprawdzić, że kolejnym liczbom naturalnym 0, 1, 2, 3, 4, 5,... Odpowiadają liczby całkowite 0, 1, 1, 2, 2,... Zbiory równoliczne z N nazywamy przeliczalnymi. Intuicyjnie zbiór przeliczalny to taki, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi. Czyli zbiór liczb całkowitych jest zbiorem przeliczalnym. Zbiorem przeliczalnym jest także zbiór punktów kratowych o obu współrzędnych naturalnych. Poruszając się po nieskończonej łamanej, możemy kolejno wypisać wszystkie takie punkty.

20 PARADOKS HILBERTA Hotel Hilberta. Wyobraźmy sobie portiera w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Hotel jest pełny, nie ma wolnych miejsc. Przychodzi do hotelu kolejny klient chcący wynająć pokój. Okazuje się, że sytuacja portiera nie jest bez wyjścia i nie musi odprawić klienta z kwitkiem. Portier wykonuje sprytny trik. Klienta z pokoju numer 1 przenosi do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3, ogólnie klienta z pokoju o numerze n portier przekwaterowuje do pokoju n +1. W ten sposób każdy z dotychczasowych gości zostanie przekierowany, a kolejny klient otrzyma wolny już pokój o numerze 1.

21 Będąc portierem w naszym nieskończonym hotelu mamy nawet jeszcze więcej możliwości. Nawet jeśli przyjedzie do nas nieskończona liczba autobusów z nieskończoną liczbą klientów w każdym z nich, to nadal możemy ich wszystkich zakwaterować dokonując kolejnego, nieco bardziej złożonego triku z zamianami pokojów: Najpierw trzeba opróżnić pokoje hotelowe z nieparzystym numerem poprzez chwilowe umieszczenie ich gości w np. autobusie nr 1. Klientów z autobusu nr 1 umieszczamy w międzyczasie w pokojach z numerami 3n, gdzie n to np. numery miejsc w autobusie (wszystkie te pokoje będą oczywiście nieparzyste, czyli już wcześniej opróżnione).

22 Potem umieszczamy klientów z autobusu 2 w pokojach o numerach 5n. Następny autobus pójdzie do pokojów 7n. Ogólnie, będziemy umieszczali klientów kolejnych autobusów w pokojach m(n)n gdzie m(n) to kolejne liczby pierwsze. Potęgi liczb pierwszych większych od 2 są nieparzyste, a że zbiory kolejnych potęg liczb pierwszych są parami rozłączne, więc nie ma ryzyka, że poślemy nowych klientów do już zajętych pokojów. Wreszcie klientów, wcześniej wykwaterowanych z pokojów nieparzystych, wysyłamy do pokojów o numerach m(n+1)n i wszyscy są już szczęśliwi... Opisany tu paradoks tak naprawdę nie jest sprzeczny z logiką, lecz tylko z intuicyjnym pojmowaniem liczby elementów w zbiorach nieskończonych.

23 PARADOKSY SUMY NIESKOŃCZONEJ Paradoksów dotyczących sum nieskończonych powstało bardzo wiele. Sytuacja została uporządkowana przez teorię szeregów liczbowych zainicjowaną przez Newtona i uzupełnioną przez Cauchyego denicją sumy szeregu liczbowego. Czy zero równe jest jedności? 0 = = (1 1) + (1 1) + (1 1) (1 1) = = 1 + (1 + 1) + (1 + 1) (1 + 1) +... = 1 0 = 1

24 Kolejny przykład to: s = s = 1 ( ) = 1 s s = ½ Zatem 0 = ½ Lęk przed paradoksami związanymi z nieskończonością trwał aż do drugiej połowy XIX wieku. W latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor rozpoczął prace badawcze nad zbiorami złożonymi z absolutnie dowolnych elementów. Można powiedzieć, że Cantor przełamał strach przed badaniem nieskończoności aktualnej i że jego rezultaty wstrząsnęły ówczesną matematyką.

25 CO MOŻE BÓG? Pewien filozof wymyślił kiedyś pewną zagadkę. Czy wszechmocny bóg jest w stanie stworzyć kamień, którego nie mógłby podnieść? Pytanie to znane jest pod nazwą paradoksu omnipotencji. Dość ciekawej odpowiedzi na nie, można udzielić jeśli uwzględni się matematykę, a konkretnie pojęcie nieskończoności. Jeżeli bóg jest wszechmocny to znaczy, że posiada nieskończoną moc. Przy jej pomocy może stworzyć nieskończenie ciężki kamień. Następnie, używając swojej nieskończonej mocy może ten kamień podnieść. Dlaczego jest to możliwe?

26 Otóż, jedna nieskończoność może być większa od drugiej, nieskończoności wcale nie muszą być sobie równe. Idźmy dalej, bóg może swoją mocą stworzyć kamień jeszcze cięższy ponieważ nieskończoność mu na to pozwala i ten kamień też podniesie. Może nawet ten kamień podrzucić i to na nieskończoną wysokość. Takie kamienie o coraz większej wadze może sobie tworzyć w nieskończoność (jeśli nie ma akurat nic ciekawszego do roboty) i z łatwością każdy z nich podniesie. A zatem wniosek jest następujący: bóg dysponujący nieskończoną mocą może tworzyć nieskończenie ciężkie kamienie i w dowolny sposób je podnosić.

27 PARADOKSY NIESKOŃCZONEGO WSZECHŚWIATA We wszechświecie o nieskończonych rozmiarach wszystkie zdarzenia, które nie mają zerowego prawdopodobieństwa zajścia, muszą zajść nieskończoną ilość razy. Ten niezwykły stan rzeczy jest możliwy pod warunkiem, że wszechświat jest nieskończony w swych przestrzennych rozmiarach (objętości) i prawdopodobieństwo rozwoju życia nie jest równe zero. Dlatego w każdej chwili czasu – na przykład w tym momencie – musi istnieć nieskończenie wiele replik nas samych robiących to samo, co i my w tej chwili. Co więcej, nieskończenie wiele replik każdego z nas robiących cokolwiek, co jest możliwe do zrobienia w danym momencie, z prawdopodobieństwem różnym od zera.

28 Paradoks przestrzennej replikacji ma wszelkiego rodzaju dziwne konsekwencje oprócz niepokoju w naszej psychice. Wierzymy, że istnieje niezerowe prawdopodobieństwo rozwoju życia, ponieważ na Ziemi zdarzyło się ono w sposób naturalny. Stąd w nieskończonym wszechświecie musi istnieć nieskończenie wiele cywilizacji. Wśród nich będą istnieć repliki nas samych w każdym możliwym wieku. Kiedy ktoś z nas umrze, to zawsze gdzieś pozostanie nieskończenie wiele kopii nas samych, które dalej będą żyły w przyszłości posiadając naszą pamięć i doświadczenie wcześniejszych lat naszego życia. Ta sukcesja będzie ciągnąć się bez końca i w jakimś sensie każdy z nas żyje wiecznie. Sposobem uniknięcia wniosku o nieskończonej replikacji w nieskończonym Wszechświecie jest utrzymywanie, że prawdopodobieństwo pojawienie się życia w nim jest równe zero.

29 DAWNE PRÓBY ROZWIĄZANIA PARADOKSÓW Dowodzono, iż w świecie rzeczywistym nie można dzielić odcinków w nieskończoność, a także, że wszystkie zjawiska zachodzące w nim są ciągłe, a nie punktowe, jak w ujęciu Zenona. Giovanni Bendetti twierdził, iż "zatrzymywanie" obiektów w ich ruchu to dostrzeganie jedynie części zjawiska, bowiem między statycznymi obrazami znajdują się nieskończenie krótkie odcinki czasu, w których obiekt przebywa odpowiednie odcinki drogi.

30 DZISIEJSZE ROZWIĄZANIA W matematyczny sposób można łatwo udowodnić, że w tym przypadku suma nieskończonej liczby odcinków daje odcinek o skończonej długości, a więc czas potrzebny do pokonania go również jest skończony. Paradoks dotyczący Achillesa i żółwia można rozwiązać za pomocą wykresu pokazującego stosunek drogi do czasu i punkt, w którym Achilles zrówna się z żółwiem.

31 ZAKOŃCZENIE Nieskończoność zaprząta myśli każdego człowieka. Pojawia się w matematyce, fizyce, kosmologii, ale również w codziennych rozważaniach ludzi niezwiązanych bezpośrednio z nauką. Rozum podpowiada, iż nieskończoność nie istnieje fizycznie, ale serce wyczuwa jej obecność każdego dnia. Poetycki obraz nieskończoności został zawarty w wierszu Czesława Miłosza Przypowieść o maku: Na ziarnku maku stoi mały dom, Pieski szczekają na księżyc makowy I nigdy jeszcze tym makowym psom, Że jest świat większy, nie przyszło do głowy. Ziemia to ziarnko - naprawdę nie więcej, A inne ziarnka - planety i gwiazdy. A choć ich będzie chyba sto tysięcy, Domek z ogrodem może stać na każdej. Wszystko w makówce. Mak rośnie w ogrodzie, Dzieci biegają i mak się kołysze. A wieczorami, o księżyca wschodzie Psy gdzieś szczekają, to głośniej, to ciszej.

32 ZSO NR 1 – NOWOGARD 1. Marlena Glanc 2. Weronika Kaczmarek 3. Nikola Myśliwiec 4. Wiktor Pacer 5. Sandra Putkowska 6. Błażej Siuda 7. Anna Stańczyk 8. Marcin Wolak 9. Łukasz Wysocki 10. Ewa Żywica OPIEKUN - Karina Surma OPIEKUN – Daniel Kuzara ZS NR 2 - SZAMOTUŁY 1. Łukasz Bartkowiak 2. Agata Drewny 3. Joanna Janecka 4. Dawid Jankowiak 5. Marta Machowska 6. Paulina Maciejewska 7. Karol Olszewski 8. Sabina Pietrzak 9. Anna Rzeszuto 10. Jacek Śniegowski OPIEKUN – Daniel Kuzara

33 Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki CZŁOWIEK – NAJLEPSZA INWESTYCJA Publikacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Prezentacja jest dystrybuowana bezpłatnie


Pobierz ppt "Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego Program Operacyjny Kapitał Ludzki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google