Analiza Matematyczna i Probabilistyka

Prezentacja na temat: "Analiza Matematyczna i Probabilistyka"— Zapis prezentacji:

1 Analiza Matematyczna i Probabilistyka
Plan: Różniczkowanie Błądzenie losowe Funkcje harmoniczne Ruch Browna

2 Iloraz różnicowy funkcji
t y f(t0+h) przyrost wartości t0+h f(t) f(t0) t0 przyrost argumentu

3 Zenon z Elei (ok p.n.e) Paradoks strzały: „Strzała wypuszczona z łuku w każdej chwili zajmuje pewne miejsce w przestrzeni, a wiec spoczywa.” „Suma zerowych przemieszczeń daje zero.” (??)

4 Pochodna funkcji f w punkcie t0
y f(t0+h) y y t0+h y f(t) y h f(t0) h h h t0

5 Twórcy rachunku różniczkowego
Gottfried Wilhelm von Leibniz ( ) Sir Isaac Newton ( )

6 Odkrycie liczb niewymiernych przez Pitagorejczyków, ok. 500p. n. e
Odkrycie liczb niewymiernych przez Pitagorejczyków, ok. 500p.n.e. Euklides ok. 300p.n.e (arytmetyka odcinków). Stevin 1585 (ułamki dziesiętne), Cauchy 1821 (badanie liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów wymiernych), Liouville 1844 (liczby przestępne). Definicja liczb rzeczywistych: Bolzano 1817 (1976r), Dedekind (1858) 1872, Weierstrass (1865), Méray 1869, Heine 1872, Cantor 1872. Pojęcie granicy: Wallis 1655, Mengoli 1659, Newton 1687, Euler 1796, Cauchy 1821, Weierstrass 1868. Teoria całki: Newton, Leibniz 1675, Cauchy 1823, Riemann 1854, Lebesgue 1902.

7 Spór o konstruktywność matematyki
Georg Ferdinand Cantor (1845 – 1918) Leopold Kronecker ( ) „Bóg stworzył liczby naturalne; resztę wymyślił człowiek”

8 Interpretacja: Wyjaśnienie paradoksu strzały: wartości funkcji pochodnej na małych zbiorach nie wpływają na wartość funkcji pierwotnej.

9 Dynamika drugiej pochodnej

10 Błądzenie losowe na kracie

11 Błądzenie losowe wymiarze d=2

12 Błądzenie losowe w wymiarze d=3

13 Harmoniczność w x0: Tw. Funkcja ograniczona i harmoniczna na Zd jest stała. Dla zainteresowanych: Dynkin, Juszkiewicz, Twierdzenia i problemy procesów Markowa

14 Ruch Browna (cząstki o średnicy 2μm)
Jan Ingenhousz 1785 Robert Brown 1828 Wyjaśnienie przez kinetyczną teorię gazów: Albert Einstein 1905, Marian Smoluchowski 1906. Ilustracja

15 Konstrukcja procesu Wienera (ruchu Browna): Wt
Louis Bachelier ( ); 1900 Paul Lévy ( ) Norbert Wiener ( ); 1923 Dalszy rozwój teorii: Andriej Kołmogorow ( ), 1931 Kiyosi Itô ( ) Shizuo Kakutani (1911- ), 1944 Joseph Doob (1910 – 2004)

16 Problem Dirichleta Tutaj D jest kwadratem na płaszczyźnie.

17 Twierdzenie Kakutaniego: gdzie τ(D) jest czasem wyjścia ruchu Browna W z D, a Ex oznacza, że startuje on z x.

18 Trajektoria procesu Wienera (d=2)

19 Podziękowania dla/Źródła/Linki:
MacTutor bibliographic database (Adam Masiukiewicz)

20 http://www. syllogismos. it/history/CJSMTE-03
(in both cases the particles are 2 microns in diameter. The left picture shows particles moving in pure water; the right picture shows particles moving in a concentrated solution of DNA, a viscoelastic solution in other words) K.B. 10/03/2009