Wstęp do Teorii Gier.

Prezentacja na temat: "Wstęp do Teorii Gier."— Zapis prezentacji:

1 Wstęp do Teorii Gier

2 Dzielenie ciastka

3 Handlowanie z sekwencyjnymi ofertami (alternating offers bargaining)
Dwóch graczy, Adam i Bartek negocjują ile kto dostanie ciastka wielkości 1 W czasie 0, Adaś składa Bartkowi ofertę Jeśli Bartek zaakceptuje, Adaś dostanie , a Bartek Jeśli Bartek odrzuci, wtedy: W czasie 1, Bartek składa Adasiowi ofertę Jeśli Adaś zaakceptuje, Bartek otrzymuje , a Adaś Jeśli Adaś odrzuci, musi złożyć następną ofertę w czasie 2 Proces trwa dopóki któryś z nich nie zaakceptuje Ponieważ chłopcy są niecierpliwi, okresowe dyskonto wynosi

4 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Bez opóźnień – wszystkie oferty równowagi są zaakceptowane Stacjonarne – Oferty równowagi nie zależą od czasu Niech będzie ofertami równowagi Co Bartek oczekuje dostać jeśli odrzuci ofertę Adasia? A zatem w równowadze: I podobnie dla Adama:

5 Niecierpliwość czy naturalne prawa natury?

6 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Istnieje góra jedna równowaga stacjonarna bez opóźnień Trzeba jeszcze udowodnić, że w ogóle istnieje taka równowaga Rozważmy następujące strategie: Gracz A: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jeśli Gracz B: Zawsze zaoferuj , zaakceptuj każdą jesli

7 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Jednorazowe odstępstwo - one-shot deviation - od strategii s w podgrze jest strategią, która różni się od s tylko jedną akcją dla początkowego wierzchołka tej podgry Zasada jednorazowego odstępstwa – one-deviation property – profil strategii jest SPNE wtedy i tylko wtedy, gdy żaden z graczy nie posiada zyskownego dla siebie jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze: Zasada ta zachodzi dla gier nieskończonych jeśli spełnione są pewne warunki Na szczęście te warunki spełnione są przez naszą grę

8 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Udowodnimy, że poniższy profil strategii jest SPNE: Trzeba pokazać, że żaden gracz nie ma zyskownego jednorazowego odstępstwa w żadnej podgrze Podgry zaczynające się od oferty Adasia: Jeśli Adaś zaoferuje Bartek zaakceptuje Ale Adasia wypłata będzie niższa niż w równowadze Bartek odrzuci i zaoferuje Adaś zaakceptuje, ale jego wypłata będzie mniejsza

9 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Podgry zaczynające się od Adasia odpowiadającego na oferty Bartka: Jeśli Adaś odrzuci ofertę On zaoferuje i jego wypłata będzie Jeśli Adaś zaakceptuje ofertę Wtedy też nie jest to opłacalne Podobnie strategia Bartka jest optymalna w każdej podgrze Zatem udowodniliśmy, że profil strategii jest SPNE

10 Stacjonarna równowaga bez opóźnień
Ariel Rubinstein (1982) pokazał, że to jest jedyna równowaga doskonała w podgrach (SPNE) jeśli chłopcy są niecierpliwi (choćby minimalnie) Ta równowaga jest również efektywna Siła negocjacyjna (bargaining power) Kawałek dla Adasia Kawałek dla Bartka Kto bardziej cierpliwy, ten więcej dostanie A co jeśli są jednakowo cierpliwi? Korzyść pierwszego, ale ona znika dla

11 Prisoners’ dilemma – how to get cooperation?
Pareto optimum Nash equilibrium A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) Equivalent to: Where T>R>U>S and R≥(S+T)/2 R – reward, S – sucker, T – temptation, U - uncooperative Goal: get cooperation Cooperate Defect (R, R) (S, T) (T, S) (U, U)

12 Get cooperation in prisoners’ dilemma
Three ways: Iterated game Meta-game Experiments

13 1 – Iterated game In most real situations, the game is played many times Suppose we play the game N times: Domino effect: solve by backward induction Two ways to overcome domino effects: Real players rarely conform to strict rationality We don’t know how many games we are gonna play Suppose, p is the probability of next iteration. We play the first game with probability 1, the next with probability p, the second next with probability p2, etc.

14 1 – Iterated game Grim trigger strategy (GTS):
Play C in the first game If your opponent played C always before, play C If your opponnet ever deviated in the past, play D Suppose that my opponent plays GTS. If I play always C, I will get If I play first m times C and then D, I will get

15 1 – Iterated game So I should never play D, if for any m:
Which is equivalent to: Example A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1)

16 2 – Meta-game 1 Level: Mrs Column makes her decision dependent on her expectation of what strategy will Mr Raw choose Choose A independent on her expectation about Mr Raw’s strategy Choose the same strategy as she expects Mr Raw to use Choose the opposite strategy to what she expects about Mr Raw’s strategy Choose B independent on her expectation about Mr Raw’s strategy Pani Kolumna A B Wiersz -2 1 -1 Pani Kolumna AA AB BA BB Wiersz A -2 1 B -1

17 2 – Meta-game A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) Mr Raw
Pani Kolumna AA AB BA BB Pan Wiersz AAAA -2 1 AAAB -1 AABA AABB ABAA ABAB ABBA ABBB BAAA BAAB BABA BABB BBAA BBAB BBBA BBBB A B (0, 0) (-2, 1) (1, -2) (-1, -1) 2 Level: Mr Raw decision dependent on his predictions about Mrs Column’s strategy: 16 strategies e.g. AAAA – always play A; ABAB – play B if your prediction is that Mrs Column uses strategy AB or BB, otherwise play A Mr Raw BABB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate if and only if you will cooperate (this strategy weakly dominates all the others) Mrs Column AB – Cooperate if and only if you are convinced that your opponent will cooperate

18 3 Sposób – praktyka i Wet za wet
Robert Axelrod przeprowadził eksperyment w roku: Specjaliści mieli napisać programy implementujące jakąś strategię – 14 programów Zwycięzca – Anatol Rapoport strategia Tit for Tat czyli wet za wet Axelrod opublikował wyniki i podał programy, które zwalczają Tit for Tat W drugiej rundzie udział wzięło 62 specjalistów .... i znowu wygrał Rapoport z niezmienionym programem

19 Wet za wet – Tit for tat Wet za wet: 4 właściwości dobrej strategii:
W pierwszej partii zagraj NZ W każdej następnej zagraj to, co Twój przeciwnik zagrał poprzednim razem 4 właściwości dobrej strategii: Przyjazna – zaczyna od kooperacji i nie zdradza jako pierwsza Odwetowa – powinna zdecydowanie karać zdradę Przebaczająca – po ukaraniu powinna być skłonna do dalszej kooperacji Przejrzysta – jej decyzje spójne i łatwe do przewidzenia

20 Uproszczony poker Jaś i Małgosia pod nieobecność baby jagi grają w karty w domku na kurzej łapce: Oboje kładą 1 cukierka na stół Z talii złożonej tylko z asów i króli losują po jednej karcie Jasiu może podbić stawkę o 2 cukierki lub spasować Jeśli spasuje Małgosia zabiera cukierki ze stołu Jeśli podbije, wówczas Małgosia może sprawdzić lub spasować Jeśli spasuje, Jasiu zabiera całą stawkę Jeśli sprawdzi, wówczas porównują karty i wyższa wygrywa, w przypadku remisu dzielą stawkę po równo.

21

22 Równoważna postać strategiczna
Jasiu podbija… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Małgosia sprawdza… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy

23 Równoważna postać strategiczna
Jasiu podbija… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Małgosia sprawdza… 11 zawsze 12 tylko gdy ma asa 21 tylko gdy ma króla 22 nigdy Dwie równowagi Nasha, dwa punkty siodłowe