Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012."— Zapis prezentacji:

1 W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock

2 Naturalna analogia? ZBIÓRPRZESTRZEŃ LINIOWA MOCWYMIAR PODZBIÓRPODPRZESTRZEŃ

3 Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q

4 Ile tego jest? Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało rzędu q - niezależne Na ile sposobów?...

5 Ile tego jest? Ile mają baz? F – skończone ciało rzędu q - niezależne Na ile sposobów?

6 Ile tego jest? Podzbiorów k-elementowych zbioru n-elementowego Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej F – skończone ciało q elementowe

7 Ile tego jest? - Współczynnik dwumianowy Gaussa Carl Friedrich Gauss Do znalezienia formuły na sumy Gaussa - Współczynnik dwumianowy Newtona Isaac Newton

8 Ile tego jest? Jako funkcja zmiennej q

9 Ile tego jest? Donald Knuth niezależne elementarne operacje na wierszach pierwszy niezerowy element od lewej w każdym wierszu to 1 wszystkie pozostałe elementy w kolumnie, w której jest jedynka wiodąca to zera w każdym wierszu jedynka wiodąca pojawia się na prawo od jedynki wiodącej w poprzednim wierszu JEŻELI DWIE MACIERZE W TEJ POSTACI GENERUJĄ WIERSZOWO TĘ SAMĄ PRZESTRZEŃ, TO SĄ RÓWNE ZREDUKOWANA POSTAĆ SCHODKOWA

10 Ile tego jest? Donald Knuth 1938

11 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

12 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej

13 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

14 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki

15 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 w każdym wierszu usuń wszystkie elementy na lewo od jedynki wiodącej usuń kolumny, zawierające pierwsze jedynki zamień wszystkie pozostałe elementy na * k n-k Podprzestrzeni k-wymiarowych przestrzeni n-wymiarowej jest tyle samo, co takich obrazków

16 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! ,,

17 0 0 1 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY!

18 0 0 1 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie

19 3 0 1 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie nasposobów liczba *

20 3 0 1 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 WRACAMY! dowolnie nasposobów

21 Ile tego jest? Donald Knuth 1938

22 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 * ** *** * Diagram Ferrersa a1a1 n=a 1 +a 2 +…+a k a2a2 a3a3 a i – nierozróżnialne

23 Ile tego jest? Donald Knuth 1938 * ** *** * a1a1 a2a2 a3a3 k n-k n - kresek k – kresek poziomych – ścieżek

24 Twierdzenie Ramseya Kolorując dowolnie dwoma kolorami krawędzie grafu pełnego K 6 znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę K 3.

25 Twierdzenie Ramseya

26 Ponadto ? Twierdzenie Ramseya

27 Frank Ramsey (1903 – 1930) Dla każego k istnieje taka liczba n, że przy dowolnym dwukolorowaniu krawędzi grafu pełnego K n znajdziemy jednokolorową indukowaną klikę K k. Najmniejsze takie n oznaczamy przez R(k) (k-ta liczba Ramseya )

28 Liczby Ramseya R(2) = 2 R(3) = 6R(4) = 18 Graf Paleya

29 Twierdzenie Ramseya Frank Ramsey (1903 – 1930) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze

30 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze {1,2} {1,2,3,4} {1,2,3}{1,2,4}{1,3,4}{2,3,4} {1,3} {1,4} {2,3}{2,4} {3,4} {1} {2} {3}{4} { }

31 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze {1,2,3,4} {1,2,3}{1,2,4}{1,3,4}{2,3,4} {1,2}{1,3} {1,4} {2,3}{2,4} {3,4} {1} {2} {3}{4} { }

32 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze {1,2,3,4} {1,2,3}{1,2,4}{1,3,4}{2,3,4} {1,2}{1,3} {1,4} {2,3}{2,4} {3,4} {1} {2} {3}{4} { }

33 Twierdzenie Ramseya Gian-Carlo Rota ( ) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej

34 Gian-Carlo Rota ( ) Dla każdej liczby naturalnej s istnieje taka liczba naturalna n=R(s), że dla dowolnego dwukolorowania dwuelementowych podzbiorów zbioru [n] istnieje s-elementowy podzbiór [n], którego wszystkie dwuelementowe podzbiory są w tym samym kolorze krata podzbirów zbioru n-elementowego dowolna krata geometryczna krata podprzestrzeni przestrzeni wektorowej Twierdzenie Ramseya

35

36 Kostki kombinatoryczne jeden wymiar 10 dwa wymiary trzy wymiary cztery wymiary? itd… Twierdzenie Ramseya 1 – kostki (różnią się na jednej współrzędnej)

37 Dla dowolnych liczb naturalnych k,s,t istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego dwukolorowania k-kostek w przestrzeni n-wymiarowej zawsze znajdziemy czerwoną s-kostkę, lub niebieską t-kostkę. Twierdzenie Ramseya

38 Nagroda Pólyi 1971 Twierdzenie Ramseya

39 Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne. Twierdzenie Ramseya

40 Dla dowolnych liczb naturalnych s,t,k istnieje taka liczba naturalna n, że dla dowolnego k-kolorowania t-wymiarowych podprzestrzeni przestezeni n-wymiarowej znajdziemy s-wymiarową przestrzeń, której wszystkie t-wymiarowe podprzestrzenie są jednobarwne. Liczby Ramseya Jak to szacować?

41 Liczby Ramseya Jak to szacować? Największa liczba na świecie

42 Jak być innym Kwadraty łaci ń skie

43 Jak być innym Kwadraty łaci ń skie Ronald Fisher ( ) i tablica-okno ku jego pamięci Caius College w Cambridge Leonard Euler (1707 – 1783)

44 Jak być innym Czasem wi ę cej, znaczy mniej n n

45 Jak być innym Czasem wi ę cej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3, n n

46 Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 W ka ż dym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb mo ż e by ć wi ę cej ni ż n Niespodziewany problem 1,22,3 1,22,3 n n

47 Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Niespodziewany problem 13 1,22,3 n n W ka ż dym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb mo ż e by ć wi ę cej ni ż n

48 Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Niespodziewany problem ,3 ? n n W ka ż dym polu mamy n liczb do wyboru Globalnie liczb mo ż e by ć wi ę cej ni ż n

49 Jak być innym ? ,3 2 ? 1,22,3 1,22, Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? n n

50 Jak być innym Czasem więcej, znaczy mniej 1,2, 3,4 1,2, 5,9 1,2, 3,4 2,4, 5,9 1,2, 3,5 4,5, 6,7 1,2, 3,4 2,4, 5,9 2,4, 5,6 1,2, 3,4 1,2, 5,7 1,3, 5,8 1,2, 4,6 5,6, 7,8 5,6, 7,8 1,2, 3,4 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n ? n n Hipoteza Dinitza (1978) Jeff Dinitz TAK! - Fred Galvin 1994

51 Jak być innym Prostszy przypadek 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 Czy zawsze da się skonstruować kwadrat łaciński mając w każdym polu listę rozmiaru n, przy czym wszystkie listy w tym samym wierszu są jednakowe? n n

52 Jak być innym Prostszy przypadek 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,

53 Jak być innym Prostszy przypadek 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 1,2, 3,4 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 4,5, 6,7 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 2,4, 5,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,6 1,2, 4,

54 Jak być innym Prostszy przypadek R1R1 RnRn R1R1 R2R2 R3R3 R4R Koning:..

55 Jak być innym Prostszy przypadek R1R1 RnRn R1R1 R2R2 R3R3 R4R Koning:..

56 Jak być innym Prostszy przypadek R1R1 RnRn R1R1 R2R2 R3R3 R4R Koning:..

57 Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V B i - bazy przestrzeni V V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa B1B1 BnBn Jak być niezależnym

58 Hipoteza: Da się przepermutować elementy w każdym wierszu w taki sposób, żeby w każdej kolumnie otrzymać bazę V B1B1 BnBn B i - bazy przestrzeni V V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa Gian-Carlo Rota ( ) CnCn C1C1 bazy? Jak być niezależnym

59 L L – parzysty, jeżeli L – nieparzysty, jeżeli nxn[n]

60 L n - nieparzyste [n][n]nxnnxn l e (n)– liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n l o (n)– liczba nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n Kwadrat nieparzysty otrzymujemy z parzystego (i odwrotnie) zamieniając miejscami dwa wiersze, lub dwie kolumny. Jak być niezależnym

61 L Hipoteza: Dla parzystych n liczba parzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n jest różna od liczby nieparzystych kwadratów łacińskich rozmiaru n. Noga AlonMichael Tarsi [n]nxn Jak być niezależnym

62 Hipoteza Alona - Tarsiego Hipoteza Roty Jak być niezależnym

63 Jest prawdziwa: Dla n=2,3,4,6,8 - MariniObecnie dla n<26 Dla n=p+1 (p-liczba pierwsza) – A.A. Drisko Dla n=p-1 (p-liczba pierwsza) – D.G. Glynn Hipoteza Alona-Tarsiego Słabsza wersja: B i - bazy przestrzeni V V – n wymiarowa przestrzeń wektorowa B1B1 BkBk Możemy tak spermutować elementy w wierszach, żeby kolumny były zbiorami niezależnymi, jeżeli: - J. Geelen, K. Webb

64 Dziękuję za uwagę


Pobierz ppt "W przestrzeni Zofia Miechowicz Otwock 27.01.2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google