Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy)  Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów,

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy)  Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów,"— Zapis prezentacji:

1

2 Matematyczne techniki zarządzania Wymiana urządzeń (teoria odnowy)  Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów, agregatów itp.), tak aby zminimalizować koszty ich użytko- wania p t — cena nowej maszyny w roku t v t — wartość maszyny używanej przez t lat r t — koszt eksploatacji maszyny w roku t Koszt użytkowania maszyny od roku i do roku j Wzór rekurencyjny Jest to problem szukania najkrótszej drogi w sieci Przykład 52. Znaleźć optymalny moment wymiany maszyny dla następujących danych (n = 6) Obliczamy wartości c ij, na przykład:

3 Matematyczne techniki zarządzania Tablica wartości c ij Rozwiązanie ogólne Trzy interpretacje f i stan systemu po i-tym etapie najkrótsza droga w sieci z węzła i-tego do węzła końcowego minimalne koszty utrzymania maszyny od okresu i-tego do ostatniego Rozwiązanie szczegółowe optymalny moment wymiany Maszynę należy wymienić w trzecim roku eksploatacji

4 Matematyczne techniki zarządzania Analiza otrzymanego rozwiązania rozwiązanie optymalne: koszt 365 Koszt lata wymiana co roku: koszt =450 bez wymiany: koszt c 16 = 383  Zagadnienie plecaka (optymalnego załadunku) Alpinista chce tak załadować plecak, aby jego użyteczność była jak naj- większa. Jest to model załadunku kontenerów, ładowni statków itd. W — pojemność plecaka N — liczba różnych przedmiotów wyposażenia w i — objętość zajmowana przez i-ty przedmiot i=1, 2,..., N R i — użyteczność i-tego przedmiotu x i — liczba przedmiotów i-tego rodzaju włożonych do plecaka x i = 1, 2,..., n Funkcja celu Warunek ograniczający Równanie rekurencyjne

5 Matematyczne techniki zarządzania PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE  PROGRAMOWANIE CAŁKOWITOLICZBOWE Zmienna decyzyjna x i musi być liczbą całkowitą — programowanie dyskretne, w tym programowanie dychotomiczne czyli binarne (0-1) Zastosowanie: optymalizacja wykorzystania maszyn, środków transportu, optymalizacja produkcji itd. Różnica pomiędzy programowaniem całko- witoliczbowym (ZPCL) a zwykłym progra- mowaniem liniowym (ZZPL) Warunki ograniczające dla obu problemów są takie same ZZPL zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZZPL ZPCL zbiór rozwiązań dopuszczalnych dla ZPCL  Dla ZZPL rozwiązanie opty- malne znajduje się na jed- nym z wierzchołków, a dla ZPC nie wiadomo gdzie! Nie da się go uzyskać przez „zaokrąglenie” tego pierw- szego! W rzeczywistości mamy znacznie więcej wymiarów!

6 Matematyczne techniki zarządzania Przykład 53. Znaleźć rozwiązanie zwykłe i całkowitoliczbowe dla następującego modelu ZZPL: x 1 = 13/7 x 2 = 0 Z(X) = 39 Szukając rozwiązania ZPCL nie możemy przyjąć x 1 = 2 i x 2 = 0; zaś dla x 1 = 1 i x 2 = 0 otrzyma- my niemaksymalną wartość Z(X) = 21 ZPCL: x 1 = 0 x 3 = 3 Z(X) = 33 Rozwiązania te nie mają nic wspólnego Metody rozwiązywania ZPCL Punktów w hiperprzestrzeni tworzących zbiór rozwiązań dopuszczalnych jest bardzo dużo. Jedynym wyjściem jest ich przeszukiwanie według ja- kiegoś schematu: metoda Gomory’ego (odcięć) metoda podziału i ograniczeń programy profesjonalne Metoda podziału i ograniczeń Kroimy „placek” (zbiór rozwiązań dopusz- czalnych) według linii liczb całkowitych aż do znalezienia „rodzynka” (rozwiązania) W usuniętej części na pewno nie ma rozwią- zania optymalnego

7 Matematyczne techniki zarządzania Algorytm metody podziału i ograniczeń 1. Tworzymy ZZPL z posiadanego ZPCL 2. Rozwiązujemy ZZPL 3. Wokół tego rozwiązania wycinamy — na jednej osi (x 2 ) — pas jednostkowy wokół rozwiązania dla ZZPL 4. Otrzymujemy dwa nowe ZZPL:  oraz   5. Kroki te powtarzamy po poszczególnych osiach (wymiarach), dzieląc „placek” i patrząc czy otrzymane rozwiązanie jest całkowitoliczbowe DRZEWO ROZWIĄZAŃ ZZPL, które nie mają rozwiązania dopuszczalnego rozwiązanie ZPCL ZZPL, dla kórych znaleziono rozwiązanie całkowitoliczbowe; zapisujemy je w celu porównania z innymi (1, 2, 3 i 4) i przez porównanie wartości funkcji celu znajdujemy rozwiązanie ZPCL (na przykład nr 4) a,b - sąsiednie liczby całkowite

8 Matematyczne techniki zarządzania Jak długo się dzieli? Ile gałęzi ma drzewo? Prowadzi się wykaz ZZPL, dopi- sując nowe i skreślając zbadane. Algorytm się kończy po skreśle- niu wszystkich ZZPL z wykazu. Nazwy etapów algorytmu rozgałęzienie osłabienie badanie podział PROGRAMOWANIE NIELINIOWE funkcjąnieliniową polega na tym, że funkcja celu lub/i ograniczenie jest funkcją nieliniową może wystąpić w każdym zagadnieniu optymalizacyjnym skąd się bierze nieliniowość: — f. ekonomiczne są zwykle nieliniowe — nieliniowość wynika z techniki lub prawa ŻYCIE JEST NIELINIOWE Funkcja jednostkowych kosztów produkcji Koszty, ceny, stawki celne, taryfy itd. TARYFA I TARYFA II

9 Matematyczne techniki zarządzania Różnica pomiędzy programowaniem liniowym a nieliniowym PROGRAMOWANIE LINIOWEPROGRAMOWANIE NIELINIOWE stały kierunek wzrostu Z(X) zmienny kierunek wzrostu Z(X) maksimum na wierzchołku maksimum w różnym miejscu WARSTWICE DLA OSOBY, KTÓRA LUBI GÓRY I ZNA SIĘ NA MAPACH, TE IZOLINIE TO WARSTWICE A ROZWIĄZANIA DOPUSZCZALNE TO POLE GAZDY, NA KTÓRYM SZUKAMY...PUNKTU W programowaniu nieliniowym mamy dwa rodzaje optimum: optimum bezwarunkowe optimum bezwarunkowe optimum warunkowe optimum warunkowe; trzy możliwości względem zbioru rozwiązań dopuszczalnych wewnątrz na krawędzi na wierzchołku

10 Matematyczne techniki zarządzania METODY ROZWIĄZYWANIA PROGRAMOWANIA NIELINIOWEGO 1. Szukanie optimum bezwarunkowego przy wielu zmiennych W ogólności oblicza się pochodne cząstkowe, przyrównuje je do zera i roz- wiązuje otrzymany układ równań Metoda najszybszego wzrostu (metoda Cauchy’ego) Kierujemy się tylko pochodnymi 1. rzędu wyznaczonymi w punkcie podejmowania decyzji co do dalszego „marszu” Decyzja dotyczy: d kierunku marszu d t długości marszu t w danym kierunku k — numer etapu marszu j — wymiar (zmienna) Modyfikacje metody uwzględniają pochodne 2. rzędu (krótsze kroki) 2. Inne metody (łącznie z szukaniem optimum warunkowego)  zmiennych rozdzielonych  dużych kroków  kombinacji wypukłych  simpleks kwadratowy  płaszczyzny tnącej  rzutu gradientu  funkcji barierowych  Lagrange’a  Kuhna-Tuckera

11 Matematyczne techniki zarządzania PROGRAMOWANIE STOCHASTYCZNE  PROGRAMOWANIE STOCHASTYCZNE PODEJMOWANIE DECYZJI W WARUNKACH RYZYKA RYZYKO ma trzy znaczenia: prawdopodobieństwo (szansa) czegoś — np. 0,6 możliwość poniesienia strat możliwość wystąpienia różnych wyników podjętej działalności (decyzji) Przykład 54. Oblicz, którą decyzję powinno podjąć przedsiębiorstwo w następu- jących warunkach ryzyka. ZYSK JEST BRA- TEM STRATY (przysłowie tureckie)

12 Matematyczne techniki zarządzania Decyzja: Decyzja: należy wybudować nowy zakład produkcyjny (x 1 =0, x 2 =1) Zalety Zalety teorii gier i metody drzewka (dendrytu) decyzyjnego: bardzo proste obliczenia jasno widać wszystkie sploty okoliczności (6 możliwości) można przeprowadzić analizę wrażliwości (plansza 197) Wady Wady metody: model zbyt uproszczony w stosunku do rzeczywistości niezrozumiały dla laików, bo odwołuje się do prawa wielkich liczb trudno zdobyć dane, szczególnie prawdopodobieństwa posługuje się wartością oczekiwaną, występuje miraż średniej nie da się sprawdzić na pojedynczym przykładzie DECYZJ Ę PODJĘTO NA PODSTAWIE LICZBY 112,5 MLN ZŁ, A BĘDZIE ALBO 50 MLN ALBO 100 MLN ALBO 150 MLN Jak wytłumaczyć laikom działanie prawa wielkich liczb? Zakładamy, że decyzja z przykładu 54 zostaje podjęta 80 razy; wtedy: w 10 przypadkach (80x0,125) firma zarobi po 50 mln zł; razem 500 mln zł w 40 przypadkach (80x0,500) firma zarobi po 100 mln zł; razem4000 mln zł w 30 przypadkach (80x0,375) firma zarobi po 150 mln zł; razem4500 mln zł OGÓŁEM9000 mln zł średnią 112,5 mln zł Dzieląc 9000 mln zł przez 80 przedsięwzięć otrzymamy średnią 112,5 mln zł

13 Matematyczne techniki zarządzania  DECYZJA ZRANDOMIZOWANA (ROZWIĄZANIE ZRANDOMIZOWANE) W wielu sytuacjach rozwiązanie zrandomizowane daje lepsze wyniki niż decyzja zdeterminowana Przykład 55. Znamy popyt na luksusowy tort pieczony w Wadowicach. Przedstawić skutki finansowe produkcji zdeterminowanej i zrandomi- zowanej. Koszt pieczenia 1 tortu: 1c Decyzja zdeterminowana Pieczemy codziennie 1 tort: koszt dzienny: 1c zaspokojenie popytu: 1/6+1/6=1/3 Decyzja zrandomizowana Pieczemy co piąty dzień 2 torty, w po- zostałe dni nie pieczemy tortu: koszt dzienny: (2/5)c = 0,4c zaspokojenie popytu: (1/5)(1)+(4/5)(1/6) = 10/30=1/3 WNIOSEK: decyzja zrandomizowana jest o wiele bardziej opłacalna! Przykład 56. Rozpatrujemy zagadnienie planowania przedsięwzięć nieprodukcyj- nych w wersji stochastycz- nej (PERT), a następnie de- cyzję — czy wynająć konsul- tanta, który obiecuje skrócić czas realizacji o 1 tydzień za kwotę 20 tys. zł ŚREDNIA JEST MIRAŻEM! NIE NALEŻY JEJ UŻYWAĆ DO PODEJMOWANIA DECYZJI!

14  Matematyczne techniki zarządzania Będziemy szukać najdłuższej drogi w następującej sieci: Czas realizacji niektórych czynności jest zmienną losową: Również czas realizacji całego przedsięwzięcia jest zmienną losową: czas minimalny: 4 tygodnie czas maksymalny: 7 tygodni czas średni: 5 tygodni (patrz rysunek sieci) Czas realizacji przedsięwzięcia wpływa na zysk Czy opłaca się wynająć za 20 tys. zł konsultanta, który skróci ten czas o jeden tydzień? A. Decyzja oparta na wartości średniej Bez konsultanta: czas 5 tygodni, zysk 100 tys. zł Z konsultantem: czas 4 tygodnie, zysk 110 tys. zł KONSULTANT NIE OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE WIĘCEJ NIŻ KORZYŚĆ Z NIEGO! 

15 Matematyczne techniki zarządzania B. Decyzja oparta na rozkładzie prawdopodobieństwa Tworzymy rozkład czasu realizacji przedsięwzięcia, rozpatrując 27 kombi- nacji wartości t i i znajdując dla nich ścieżkę krytyczną (najdłuższą drogę) Zysk bez konsultanta Zysk z konsultantem KONSULTANT OPŁACA SIĘ, BO KOSZTUJE , A FIRMA ZAROBI NA PRZY- SPIESZENIIU PRAC DECYZJA OPARTA NA ROZKŁADZIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA JEST CAŁKIEM INNA NIŻ DECYZJA OPARTA NA ŚREDNIEJ Wartość idealnej informacji (W ii ) Jest to maksymalna kwota, jaką opłaca się zapłacić instytucji lub osobie („wróżce”) za prawdziwą, idealną (nie obarczoną żadnym błędem) infor- mację o stanie natury w każdorazowym przypadku spośród wielu rozpa- trywanych w ramach prawa wielkich liczb. Wartość W ii służy do negocjowania umów za informacje rzeczywiste, obar- czone pewnym błędem, dostarczane przez różnego rodzaju firmy konsulta- cyjne, doradcze, przez niezależnych ekspertów itd.

16 Matematyczne techniki zarządzania Przykład 56 cd. Ile opłaca się zapłacić za informację — ile wynie- sie czas realizacji przedsięwzięcia w konkretnym przypadku? EMV bi możemy wyznaczyć na podstawie wcześniejszych obliczeń jako równe 99 — 20 = 79 tys. zł EMV ii obliczamy zakładając, że w każdym przypadku z góry wiemy jaki bę-dzie czas realizacji projektu i na tej podstawie potrafimy podjąć właściwą decyzję o wynajęciu konsultanta W ii =4.000 zł  BAYESOWSKA TEORIA DECYZJI DRZEWKO DECYZYJNE Z ZAKUPEM NIE- DOSKONAŁEJ INFORMACJI Przykład 57. Polski Koncern Naftowy (PKN) analizuje w której miejscowości w pobliżu Krakowa zlokalizować skład paliw. Kryterium decyzyjnym jest maksymaliza- cja zysku. Ryzyko wynika z nieznanego popytu w róż- nych częściach aglomeracji.

17 Matematyczne techniki zarządzania Rozważane są dwie lokalizacje: miejscowość A (decyzja A1) miejscowość B (decyzja A2) W zależności od zachowania się rynku, możliwe są trzy stany natury: S1: większość klientów na lewym brzegu Wisły S2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo S3: większość klientów na prawym brzegu Wisły ANALIZA EKONOMICZNA MACIERZ ZYSKÓW (UŻYTECZNOŚCI) Ponieważ koszt inwestycji jest duży, PKN jest os- trożny i postanawia zlecić WZ AGH przeprowadze- nie badań rynkowych (decyzja A3) — koszt 4 Badania mogą dać następujące wyniki: Z1: większość klientów na lewym brzegu Wisły Z2: klienci rozłożeni mniej więcej po równo Z3: większość klientów na prawym brzegu Wisły niedoskonałą informację Badania są przeprowadzane na próbach statystycz- nych i z tego tytułu są obarczone błędem; dostar- czają niedoskonałą informację — patrz macierz wiarygodności badań rynkowych MACIERZ WIARYGODNOŚCI KTÓRĄ DECYZJĘ PODJĄĆ I CZY SŁUCHAĆ BADAŃ RYNKOWYCH? Wisła

18 Matematyczne techniki zarządzania OGÓŁEM MAMY 13 WĘZŁÓW I 24 GAŁĄZKI Przyjmujemy następujące prawdopodo- bienstwa: S1 — 0,5 S2 — 0,3 S2 — 0,2 JEŚLI KTOŚ JE KWESTIONUJE, MOŻE ZROBIĆ POTEM ANALIZĘ WRAŻLIWOŚCI! Dla węzła A łatwo można obliczyć EMV(A)=62 oraz dla węzła B EMV(B)=39 Jak policzyć EMV(C)? EMV(C)=?

19 Matematyczne techniki zarządzania Jak policzyć EMV(C)? Należy posłużyć się rachunkiem bayesowskim p 1 — prawdopodobieństwo wystąpienia stanu S1 pod warunkiem, że wynik badania był Z1, itd. P(Z1) — prawdopodobieństwo całkowite P(S1|Z1) — prawdopodobieństwo bayesowskie P(S1) = 0,5 P(Z1|S1) = 0,6 P(S2) = 0,3 P(Z1|S2) = 0,3 P(S2) = 0,2 P(Z1|S3) = 0,2 P(Z1) = 0,6*0,5+0,3*0,3+0,2*0,2 = 0,43 p 1 = P(S1|Z1) = (0,6*0,5)/0,43 = 30/43 = 0,70 p 2 = P(S2|Z1) = (0,3*0,3)/0,43 = 9/43 = 0,21 p 3 = P(S3|Z1) = (0,2*0,2)/0,43 = 4/43 = 0,09 Razem = 1,0 ?

20 Matematyczne techniki zarządzania EMV(D) = 96*0,70+36*0,21-4*0,09 = 74,1 EMV(E) = 6*0,70+56*0,21+76*0,09 = 23,0 EMV(K) = 74,1 W węźle K należy podjąć decyzję A1 PODOBNIE MOŻNA POLICZYĆ, ŻE... W węźle L należy podjąć decyzję A1 W węźle M należy podjąć decyzję A2 W węźle N należy podjąć decyzję A3 INTERPRETACJA INTERPRETACJA — rozwiązanie przykładu 57 PKN powinien zlecić WZ AGH przeprowadze- nie badań rynkowych, a po otrzymaniu ich wyników powinien: jeśli badania wykażą, że większy popyt bę- dzie na lewym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A jeżeli badania wykażą, że popyt jest mniej więcej jednakowy po obu stronach Wisły — zlokalizować skład w miejscowości A jeśli badania wykażą, że większy popyt bę- dzie na prawym brzegu Wisły — zlokalizować skład w miejscowości B Kryteria decyzyjne uproszczone  I. Minimax użyteczności I. Minimax użyteczności (kryterium pesymisty) decyzję A2 min dla A1 = 0; min dla A2 = 10; wybieramy mniejsze zło: decyzję A2 Przykład 57

21 Matematyczne techniki zarządzania II. Minimax zawodu (ryzyka) II. Minimax zawodu (ryzyka) (kryterium ostrożnego) Zawód (ryzyko) to strata finansowa z danej decyzji w stosunku do decyzji najlepszej przy danym stanie natury decyzję A1 max dla A1 = 80; max dla A2 = 90; wybieramy mniejsze zło: decyzję A1 III. Kryterium Hurwicza III. Kryterium Hurwicza (średnia ważona) k — wskaźnik optymizmu (0—1) k = 0,7:H(A1) = (0,7)(100) + (0,3)(0) = 70 decyzję A1 H(A2) = (0,7)(80) + (0,3)(10) = 59; wybieramy decyzję A1 IV. Kryterium Bernoulliego IV. Kryterium Bernoulliego (średnia arytmetyczna) H(A1) = ( )/3 = 46,7 decyzję A2 H(A2) = ( )/3 = 50,0; wybieramy decyzję A2 Przykład 57 cd. Obliczyć wartość idealnej informacji dla PKN o zachowa- niu się rynku paliw w Krakowie EMV bi = 62 (decyzja A1, plansza 257) EMV ii = (100)(0,5) + (60)(0,3) + (80)(0,2) = 84 (przy każdym stanie natury wybierzemy lepszą decyzję) W ii = 22

22 Matematyczne techniki zarządzania  Teoria gier Przykład 58. Producent aparatury elektronicznej ma kłopoty w pewnym wyrobem (straty z powodu reklamacji). Aby wyprzedzić konkurentów, projektuje się wprowadzić do tego wyrobu podzespół najnowszej gene- racji, będący jeszcze w stadium prób laboratoryjnych u jego dostawcy. Jest to przedsięwzięcie ryzykowne, producent rozważa więc trzy strategie: A1 A1 — wprowadzenie podzespołu do wyrobu bez żadnych prób; strategia ta jest ryzykowna, gdyż dostawca podzespołu nie daje pełnej gwarancji A2 A2 — wyprodukowanie próbnej partii wyrobów z nowym podzespołem, i wprowadzenie go do produkcji seryjnej wyrobów w razie udanej próby; strategia ryzykowna, gdyż udana próba nie musi oznaczać sukcesu przy produkcji seryjnej A3 A3 — niedokonywanie żadnych zmian w wyrobie Drugim „graczem” (Naturą) jest podzespół wmontowany do wyrobu; moż- na wyróżnić cztery jego strategie: B1 B1 — próba pozytywna, produkcja seryjna negatywna B2 B2 — próba pozytywna, produkcja seryjna pozytywna B3 B3 — próba negatywna, produkcja seryjna pozytywna B4 B4 — próba negatywna, produkcja seryjna negatywna DANE FINANSOWE POTRZEBNE DO ZBUDOWANIA MECIERZY WYPŁAT 

23 Matematyczne techniki zarządzania koszt przestawienia produkcji na zmodernizowany wyrób zysk w razie udanej konstrukcji zmodernizowanego wyrobu koszt próby dla stwierdzenia jakości podzespołu (nowej konstrukcji) straty z powodu reklamacji wadliwych wyrobów 2 2 rekompensata od dostawcy podzespołu za wykonanie próby w razie jej negatywnego wyniku Ponadto uwzględnimy następujące prawdopodobieństwa:  10%  10%szansa udanej modernizacji wyrobu  70%  70%szansa, że próba wskaże prawidłowo złą jakość podzespołu  80%  80%szansa, że próba wskaże prawidłowo dobrą jakość podzespołu MACIERZ WYPŁAT  Co ma zrobić firma? Jeśli nic nie zrobi, na pewno straci 5; jeśli zaryzykuje modernizację wyrobu — może zarobić 7, ale również może stracić 9; szansa sukcesu może być mała, może być duża... Gra nie ma punktu siodłowego, trzeba więc zbudować model programowania liniowego

24 Matematyczne techniki zarządzania Strategia zrandomizowana Natury: x 1, x 2, x 3, x 4 Rozwiązanie modelu optymalna strategia Natury 0,17 - 0,08 - 0,02 - 0,73 optymalna strategia firmy V = -4,55 wartość gry V = -4,55 Firma powinna uruchomić próbną produkcję nowych wyrobów; w razie sukcesu uruchomić produkcję seryjną, w razie niepowodzenia odebrać rekompensatę. Nie jest to strategia gwarantująca zyski, ale lepsza nic NIC NIE ROBIĆ! PROGRAMOWANIE WIELOKRYTERIALNE dotychczas mieliśmy tylko jedno kryterium: maksymalizacja zysku — maksymalizacja zysku minimalizacja kosztów — minimalizacja kosztów wielu kryteriów jednocześnie teraz rozważymy sposób uwzględniania wielu kryteriów jednocześnie

25 Matematyczne techniki zarządzania Na przykład przy wyborze lokalizacji nowego zakładu produkcyjnego: minimalizacja kosztów zakupu terenu i kosztów budowy minimalizacja kosztów transportu wyrobów z fabryki do ośrodków dystrybucji minimalizacja kosztów rekrutacji i utrzymania pracowników minimalizacja kosztów energii i paliw minimalizacja podatków WZAJEMNY STOSUNEK CELÓW Mogą być zależne, zgodne, sprzeczne, niezgodne, konfliktowe itd. Niezgodność celów Podwyższenie stopnia osiągnięcia jednego zmniejsza stopień osiągnięcia drugiego Co się robi przy sprzecznych celach? hierarchię celów Ustala się hierarchię celów Szuka się strategii, która jest najbliżej osiągnięcia wszystkich celów (z uwzględnieniem priorytetów) Metoda: Goal Programming (GP) Utrzymanie decyzji wielokryterialnych w ramach programowania liniowego

26 Matematyczne techniki zarządzania Przykład 59. Klient biura maklerskiego chce zainwestować na giełdzie zł przy następujących kryteriach: kryterium 1: kryterium 1: ograniczenie rocznego ryzyka maksymalnie do 700 zł kryterium 2: kryterium 2: zapewnienie rocznego zysku co najmniej zł Ograniczamy rozważania do dwu firm STRATEGIE DOPUSZCZALNE 1. Kupić akcji tańszej firmy F1 (3.200*25 = ) wynik: ryzyko zł (3.200*0,50), zysk 9600 zł (3.200*3) 2. Nic nie kupować wynik: ryzyko 0, zysk 0 3. Kupić akcji F1 i 600 akcji F2 (2.000* *50 = ) wynik: ryzyko zł (2.000*0,50+600*0,25) zysk 900 zł (2.000* *5) CELE SĄ KONFLIKTOWE Ustalamy: Cel główny (priorytet nr 1) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI O RYZYKU 700 ZŁ LUB NIŻSZYM

27 Matematyczne techniki zarządzania Cel drugorzędny (priorytet nr 2) ZNALEŹĆ PORTFEL AKCJI DAJĄCY ROCZNY ZYSK CO NAJMNIEJ ZŁ z uwzględnieniem ograniczenia zł Budowa modelu optymalizacyjnego x 1 x 1 — liczba kupionych akcji firmy F1 x 2 x 2 — liczba kupionych akcji firmy F2 d 1 +, d 1 — d 1 +, d 1 — — zmienne odchylenia od celu 1 d 2 +, d 2 — d 2 +, d 2 — — zmienne odchylenia od celu 2 Warunek ograniczający: Równanie celu 1: Równanie celu 2: Interpretacja zmiennych odchylenia d 1 + = ilość zł, o jaką ryzyko dla wybranego portfela przekroczy 700 zł, i tak dalej Funkcjacelu Funkcja celu w programowaniu wielokryterialnym (GP) polega na mini- malizacji odpowiednich zmiennych odchylenia: kryterium 1: min d 1 + kryterium 1: min d 1 + kryterium 2: min d 2 — kryterium 2: min d 2 —  dlaczego? 1 = 4,1 zł

28 Matematyczne techniki zarządzania Sposób postępowania: wpierw szukamy rozwiązania dającego jak najpełniejsze spełnienie priorytetu 1 (P1) następnie modyfikujemy to rozwiązanie kierując się priorytetem 2 (P2) — ale tak, aby nie spowodować obniżenia stopnia osiągnięcia celu P1 dla każdego priorytetu budujemy jedno zadanie programowania liniowego (PL), roz- poczynając od P1 przy każdym kolejnym PL zmieniamy funkcję celu poprzedniego i dodajemy jedno og- raniczenie zadanie z dwoma zmiennymi możemy rozwiązywać graficznie PRIORYTET P1 funkcja celu ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) cel 2 (zysk), usypiamy go nieujemność Rozwiązanie będzie w I ćwiartce; szukamy punktów przecięcia się dwu warunków (fundusze i cel 1) z osiami x 1 i x 2 : fundusze: x 1 =0 x 2 =80.000/50=1.600 x 2 =0 x 1 =80.000/25=3.200 cel 1: d 1 + =0 d 1 — =0 x 1 =0 x 2 =700/0,25=2.800 x 2 =0 x 1 =700/0,5=1.400

29 Matematyczne techniki zarządzania liczba akcji firmy F liczba akcji firmy F2 Cel 1 przy d 1 + =d 1 — =0 d 1 + >0 Fundusze d 1 + =0 Portfele zapewniające realizację celu nr 1, czyli dające ryzyko nie przekra- czające 700 zł Koniec rozwiązywania P1 PRIORYTET P2 TAK czy wolno przekroczyć zysk zł? TAK NIE, ALE... czy wolno zejść z zyskiem poniżej zł? NIE, ALE... Będziemy minimalizować d 2 — pamięta-jąc, że P2 to cel drugorzędny! Nie wolno więc pogorszyć rozwiązania uzyskanego dla P1! funkcja celu ograniczenie funduszy cel 1 (ryzyko) cel 2 (zysk) stopień osiągnięcia celu 1 nieujemność

30 Matematyczne techniki zarządzania liczba akcji firmy F liczba akcji firmy F2 Cel 1 przy d 1 + =d 1 — =0 d 1 + >0 Fundusze d 1 + =0 Elementy, które uległy zmianie (dwie różnice pomiędzy PL a GP): inna funkcja celu dodatkowe ograniczenie na P1 Wprowadzamy na rysunek równanie celu 2: d 2 + = 0 d 2 — = 0 x 1 =0 x 2 =9.000/5 = x 2 =0 x 1 =9.000/3 = Cel 2 przy d 2 + =d 2 — =0 d 2 + >0 d 2 — >0 Jak widać, nie da się osiągnąć celu 2, musimy trochę z niego „opuścić” — rozwiązanie opty- malne dla dwu kryteriów leży w punkcie WNIOSKI nie ma rozwiązania, które zapewnia osiągnięcie celu P1 i równocześnie celu P2 x 1 = 1200 x 2 = 800 najlepsze rozwiązanie to punkt x 1 = 1200 x 2 = 800; jest to takie rozwiązanie spośród spełniających cel P1, które jest najbliższe spełnienia celu P2 d 2 — =600 zł roczny zysk dla tego rozwiązania: 3*800+5*1200 = zł; stąd d 2 — =600 zł OPTYMALNA DECYZJA Należy kupić 800 akcji firmy F akcji firmy F2 Wydamy na ten zakup: 800* *50 = zł

31 Matematyczne techniki zarządzania Algorytm programowania GP 1. Zdefiniuj cele i ograniczenia 2. Określ hierarchię celów (priorytet dla każdego celu — P1, P2 itd.) 3. Zdefiniuj zmienne decyzyjne 4. Sformułuj warunki ograniczające w normalny sposób 5. Napisz równanie dla każdego celu, włączając w nie zmienne odchylenia d i + oraz d i — 6. Napisz fukcję celu minimalizującą wybrane d i 7. Rozwiązuj po kolei według priorytetu (według hierarchii) Przykład 60. Szef firmy ustala plan pracy na następny miesiąc dla swoich czterech akwizytorów, kierując się następującymi danymi: czas poświęcany 1 klientowi: — starzy klienci: 2 godziny — nowi klienci: 3 godziny czas pracy akwizytorów w ciągu miesiąca: — czas nominalny: 40 godzin/tydzień, co daje 4*4*40 = 640 godzin — godziny nadliczbowe: do 40 godzin, co daje górny limit 680 godzin — dolny limit czasu pracy wszystkich akwizytorów: 600 godzin 

32 Matematyczne techniki zarządzania miesięczny plan finansowy: — akwizytorzy muszą przynieść firmie zł przychodu — 1 stary klient daje średnio 250 zł przychodu — 1 nowy klient daje średnio 125 zł przychodu miesięczny plan rzeczowy: akwizytorzy mają odwiedzić: — 200 starych klientów — 120 nowych klientów HIERARCHIA CELÓW Podane zadania (cele) są niezgodne z sobą, gdyż np.: przychody: 200* *125 = zł czas pracy: 200* *3 = 760 godzin Musimy więc ustalić hierarchię (priorytety celów) POZIOM I Cel 1: Cel 1: łączny czas pracy nie może przekroczyć 680 godzin Cel 2: Cel 2: łączny czas pracy nie może być mniejszy niż 600 godzin POZIOM II Cel 3: Cel 3: wygenerowany przychód musi wynosić co najmniej zł FIRMA NIE MA PIENIĘDZY NA GODZINY NAD- LICZBOWE FIRMA PILNUJE SWOJEJ PŁYNNOŚCI FINANSOWEJ

33 Matematyczne techniki zarządzania POZIOM III Cel 4: Cel 4: akwizytorzy muszą odwiedzić co najmniej 200 starych klientów Cel 5: Cel 5: akwizytorzy muszą odwiedzić co najmniej 120 nowych klientów ZMIENNE DECYZYJNE x 1 starych x 1 — liczba odwiedzonych starych klientów x 2 nowych x 2 — liczba odwiedzonych nowych klientów OPTYMALNE ROZWIĄZANIE (komputerowo) FIRMA PILNUJE SWOJEJ CZĘŚCI RYNKU x 1 = 250 x 2 = 60 SPEŁNIENIE CELÓW Cel 1: Cel 1: 250*2 + 60*3 = = 680 godzin  Cel 2: Cel 2:  Cel 3: Cel 3: 250* *125 = = zł  Cel 4: Cel 4:  Cel 5: Cel 5: NIE SPEŁNIONY UFF... KONIEC MTZ!

34 Matematyczne techniki zarządzania APEL EGZAMINACYJNY  Wszystkim dziękuję za cały rok współpracy! Paniom specjalne podziękowanie! Egzamin jest ustny Egzamin jest ustny — potrzebne są inne kwalifikacje! Pytania dostępne na dyskietce: 30 zestawów losowanych... i... czerwca 2000 r.; Terminy... i... czerwca 2000 r.; proszę przychodzić na wyznaczoną godzinę Podstawowe umiejętności: „wspomnienia statystyki” oraz „bryk z semestru letniego” interpretacja wydruków: programowanie liniowe („stolarz” i dieta), zagadnienie transportowe, drzewko decyzyjne PROSZĘ, BĄDŹCIE DOROŚLI: przede wszystkim to ma być normalna rozmowa dwojga ludzi sprawy specjalne proszę załatwiać wcześniej (a nie po fakcie) nie ma egzaminu komisyjnego dla osób, które nie miały ochoty lub czasu przystąpić do normalnego egzaminu Jak zdać egzamin, Universitas, Kraków ŻYCZĘ POŁA- MANIA NÓG! PRZYJEMNYCH WAKACJI I DUŻO PRZYGÓD NA WSZYSTKICH SZLAKACH POLSKI I CAŁEGO ŚWIATA DO ZOBACZENIA NA III ROKU WZ AGH PROSZĘ MI SIĘ KŁANIAĆ BEZINTE- RESOWNIE


Pobierz ppt "Matematyczne techniki zarządzania - 241 Wymiana urządzeń (teoria odnowy)  Celem jest ustalenie optymalnego momentu wymiany maszyn (obrabiarek, samochodów,"

Podobne prezentacje


Reklamy Google