Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)
Nazwa szkoły: LO im. B. Krzywoustego w Kamieniu Pomorskim ID grupy: 97_29_mf_g2 Opiekun: Jarosław Boboryko Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: „Różne własności liczb naturalnych” Semestr/rok szkolny: III/

3 „Różne własności liczb naturalnych”
Wielokrotnie na lekcjach matematyki nauczyciele irytowali się, gdy któryś z nas, omyłkowo liczby naturalne nazywał całkowitymi, czy też rzeczywistymi. Postanowiliśmy się zająć tym tematem, między innymi po to, by z takimi omyłkami raz na zawsze skończyć. Liczyliśmy też na ciekawe odkrycia związane z tymi liczbami. Chcieliśmy sobie wyjaśnić tu i tam zasłyszane magiczne właściwości niektórych z nich.

4 „Różne własności liczb naturalnych”
Nie zawiedliśmy się na swoich oczekiwaniach. Temat liczby naturalne wydaje się nie mieć końca. Ta prezentacja pokazuje najważniejszą część tego co udało się nam w ciągu paru miesięcy o nich dowiedzieć. Bawiąc się w poszukiwaczy wiedzy, jednak nie zdołaliśmy się przekonać do magicznych właściwości jakichkolwiek liczb, w które to wierzył niejeden badacz jeszcze kilka wieków temu. Cóż, wychowujemy się w XXI wieku i ma to swoje konsekwencje ;-)

5 Przebieg prac nad projektem
Po dogadaniu się na początku w grupie jakie są nasze główne cele: Ustaliliśmy (zagłębiając się w literaturze naukowej i zasobach sieci internetowej) jakiego rodzaje liczby będziemy prezentować. Podzieliliśmy się na podzespoły, które wybrały sobie odpowiedni rodzaj liczb do opracowania. Następnie ostro wzięliśmy się do pracy w podzespołach. W trakcie prac okazało się, iż niektóre podzespoły mają nieco większy materiał do opracowania niż inni. Poza tym niektóre zespoły zaczęły się powielać. Nastąpiła korekta przydziału zadań i znowu ruszyło wszystko do przodu. Na koniec, nasza liderka połączyła owoce naszej pracy w jedną całość, co możecie podziwiać w niniejszej prezentacji.

6 LICZBY NATURALNE 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 6

7 Liczby naturalne – liczby powstałe w konsekwencji potrzeby zliczania zwierząt, przedmiotów, itd. , a więc liczby: 1,2,3,… Niekiedy (w zależności od potrzeb) do liczb naturalnych zalicza się także liczbę zero. Zbiór liczb naturalnych oznacza się przez N. Badaniem własności liczb naturalnych zajmują się arytmetyka i teoria liczb. Zbiór liczb naturalnych jest nieskończony.

8 Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Choć wydawałoby się, że liczby naturalne są podstawowym pojęciem matematycznym i ich definicja była jedną z wcześniejszych, to jednak jest inaczej. Przykładowo bardziej skomplikowane liczby rzeczywiste (używane już w starożytności przez Eudoksosa, ok. 408 p.n.e. – ok. 355 p.n.e.) zostały zdefiniowane formalnie przez Dedekinda w połowie XIX w, podczas gdy definicję liczb naturalnych podał Giuseppe Peano pod koniec XIX w.

9 Pierwszym krokiem do wyabstrahowania liczb naturalnych było stworzenie sposobu ich zapisu. W Babilonii stosowano na przykład cyfry o wartościach od 1 do 10, gdzie o wartości liczby decydowała pozycja kolejnych cyfr w szeregu. W starożytnym Egipcie stosowano odpowiednie hieroglify o wartościach 1, 10 i kolejnych potęgach 10, aż do miliona.

10 Według finitystów, zwolenników skrajnego nurtu filozofii matematyki, są to jedyne liczby, jakimi powinna zajmować się matematyka - słynne jest stwierdzenie propagatora arytmetyzacji wszystkich dziedzin matematyki Leopolda Kroneckera: Liczby naturalne stworzył dobry Bóg. Reszta jest dziełem człowieka

11 Zbiór liczb naturalnych opisuje się aksjomatycznie
Zbiór liczb naturalnych opisuje się aksjomatycznie. Najbardziej znaną aksjomatyką zbioru liczb naturalnych jest aksjomatyka Peano. Pojęciami pierwotnymi są tu: liczba zero, liczba naturalna i pojęcie następnika.

12 Postulaty Peano 0 jest liczbą naturalną;
Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a); 0 nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; Różne liczby naturalne mają różne następniki: ; Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej o tej własności również ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

13 W zbiorze liczb naturalnych wykonalne jest tylko dodawanie i mnożenie; odejmowanie i dzielenie wyprowadza poza poza zbiór liczb naturalnych (tzn. wyniki tych działań nie zawsze są liczbami naturalnymi), np. 1-2 = -1 , 2:3 =

14 Liczby olbrzymie 14

15 Liczby olbrzymy są to liczby kryjące za sobą wiele tajemnic.
Opisują one niewyobrażalne wielkości, dlatego znalazły zastosowanie głównie w astronomii. Wyobrażenie sobie pewnych materii obecnych w kosmosie jest wręcz niemożliwe, ale dzięki liczbom olbrzymim stajemy przed choćby uświadomieniem sobie ogromu wszechświata.

16 Przykłady obecności liczb olbrzymich w życiu codziennym:
Komar powiększony milion razy będzie miał 5 km długości Włos ludzki powiększony milion razy będzie miał w średnicy 70 metrów Milion kropek nie zmieściłoby się na na papierowej wstążce długości 1.8 km Bilion sekund upływa w ponad lat Od początku naszej ery upłynął ledwo miliard minut dokładnie r o godzinie 10:40 nasza era rozpoczęła drugi miliard minut.

17 Nazewnictwo liczb olbrzymich
Nazwy liczb olbrzymich składają się ze składowych słów pochodzących miedzy innymi z języka słowiańskiego, francuskiego i łaciny… Milioun jest starofrancuskim słowem, pochodzącym od starowłoskiego milione, będącym wzmocnioną wersją słowa mille, tysiąc. Wyraz ze średniowiecznego francuskiego miliart. Słowo to jest przekształconą nazwą miliona ze zmienioną końcówką. We francuskim pojawiło się w XVI wieku

18 Łaciński przedrostek bi- oznacza dwu-. Dodana końcówka z milion
Łaciński przedrostek bi- oznacza dwu-. Dodana końcówka z miliard Łaciński przedrostek tri- oznacza trój-. Dodana końcówka z milion Łaciński przedrostek tri- oznacza trój-. Dodana końcówka z miliard

19 Łaciński przedrostek quadri- oznacza czwór-. Dodana końcówka z milion
Od łacińskiego quintus, piąty. Od łacińskiego sextus, szósty. Od łacińskiego septimus, siódmy. Od łacińskiego octāvus, ósmy. Od łacińskiego nonus, dziewiąty. Od łacińskiego decĭmus, dziesiąty. Od łacińskiego undecĭmus, jedenasty. Od łacińskiego duodecĭmus, dwunasty. Od łacińskiego centum – sto, lub centesĭmus – setny

20 Zawiłości wokół nazewnictwa liczb olbrzymich
W Anglii, w Niemczech i w niektórych innych krajach Europy północnej przyjęto za podstawę liczenia grupy sześciocyfrowe tzn. że: milion 106 bilion 1012 trylion 1018

21 tysiąc 103 milion 106 bilion 109 trylion 1012 kwadrylion 1015
Natomiast w Ameryce, Francji i krajach Europy południowej podstawą liczenia są grupy trzycyfrowe, czyli: tysiąc 1.000 103 milion 106 bilion 109 trylion 1012 kwadrylion 1015 kwintylion 1018

22 Do schyłku XVIII wieku w Polsce stosowany był sposób angielski (grupy sześciocyfrowe), ale wtedy wraz z modą na francuszczyznę przyszedł do nas francuski sposób liczenia (grupami trzycyfrowymi) i pomimo tego, że nie został powszechnie przyjęty wywołał ogromne zamieszanie. Dopiero po I Wojnie Światowej, kiedy w zniszczonej Europie rozszalała się inflacja oswoiliśmy się z wielkimi liczbami i wróciliśmy do naszego dawnego, angielskiego sposobu ich nazywania, który używany jest do dziś.

23 Oto kolejne liczby olbrzymie:
jeden 1 100 tysiąc 1000 103 milion 106 miliard 109 bilion 1012 trylion 1018 tryliard 1021 kwadrylion 1024

24 kwadryliard 1027 kwintylion 1030 kwintyliard 1033 sekstylion 1036
… 1027 kwintylion 1030 kwintyliard 1033 sekstylion 1036 sekstyliard 1039 septylion 1042 septyliard 1045 oktylion 1048 oktyliard 1051

25 nonilion 1054 nonyliard 1057 decylion 1060 decyliard 1063 centylion
… 1054 nonyliard 1057 decylion 1060 decyliard 1063 centylion 10100 centyzylion 10600

26 Cechy podzielności liczb naturalnych
Gdy chcecie dowiedzieć się czy liczba jest podzielna przez 2, nie ma sensu biegać po kalkulator albo wykonywać mozolne obliczenia w słupku.

27 Ogólnie Mówimy że liczba całkowita n jest podzielna przez liczbę całkowitą m, przy czym m ≠ 0, jeśli istnieje liczba całkowita k taka, że n = k · m. Piszemy wówczas m | n i czytamy liczba m dzieli liczbę n, albo liczba n jest wielokrotnością liczby m. Wiadomo jednak że uczeń powie „Co?! I to ma mi pomóc?”. Dlatego przedstawimy to w prostszy sposób na przykładach.

28 Kilka zasad dzięki którym podzielność liczb dla tych których sprawia ona trudność będzie łatwa i przyjemna:

29 Podzielność przez liczbę 2
Przez 2 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry: 0, 2, 4, 6 lub 8 Np : 478 43904 28656 29380

30 Podzielność przez liczbę 3
Przez 3 dzielą się liczby, których suma cyfr dzieli się przez 3 Np : =12 12:3=4 =21 21:3=7 = :3=3 =3 3:3=1

31 Podzielność przez liczbę 4
Liczba jest podzielna przez 4 jeżeli liczba utworzona z jej cyfry dziesiątek i jedności dzieli się przez 4 Np : :4= :4= :4= :4=11

32 Podzielność przez liczbę 5
Przez 5 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfry 0 lub 5 Np : 475 43900 28650 29385

33 Podzielność przez liczbę 6
Przez 6 są podzielne liczby, gdy spełniają one warunki liczb podzielnych przez 2 i 3 Np : 6 | 12, bo 12:3=4 12:2=6 6 | 3312, bo :3= :2=1656 6 | 814 , bo :3= :2=407

34 Podzielność przez liczbę 7
Przez 7 są podzielne liczby, gdy różnica między liczbą wyrażoną kolejnymi trzema ostatnimi cyframi danej liczby, a liczbą wyrażoną pozostałymi cyframi tej liczby (lub odwrotnie) dzieli się przez 7. Np : 7 | , bo = :7=72 Co więc gdy liczba jest dwucyfrowa? Np. 21, to , więc 21-0=21 21:7=3

35 Podzielność przez liczbę 8
Liczba jest podzielna przez 8, gdy liczba wyrażona trzema ostatnimi jej cyframi dzieli się przez 8. Np : 8 | 32072, bo 72:8=9 8 | , bo 640:8=80 8 | , bo 8:8=1

36 Podzielność przez liczbę 9
Przez 9 dzielą się liczby, których suma cyfr dzieli się przez 9 Np : 9 | 3330, bo = :9=1 9 | 3970, bo =18 18:9=2 9 | 2214, bo = :9=1 9 | 117, bo =9 9:9=1

37 Podzielność przez liczbę 10
Przez 10 są podzielne liczby, które w rzędzie jedności mają cyfrę 0 Np : 2870 20

38 Podzielność przez liczbę 11
Przez 11 są podzielne liczby, gdy suma liczb stojących na pozycjach parzystych lub nieparzystych są podzielne przez 11. Np : 11 | , bo = 26, = = 11 a 11:11=1 60301

39 Podzielność przez liczbę 99
Liczba jest podzielna przez 99, przez 33 lub przez 11, jeżeli suma jej odcinków dwucyfrowych, licząc od prawej strony, jest podzielna przez 99, 33 lub 11. Przykład: Liczba jest podzielna przez 11, 33, bo = 132, a ponieważ 11|132 i 33|132, więc 11| i 33| Liczba jest podzielna przez 11, 33 i 99, bo =198, a ponieważ 11|198 i 33|198 i 99|198, więc 11| , 33| , 99| 60301

40 Podzielność przez liczbę 101
Liczba jest podzielna przez 101, jeśli różnica pomiędzy sumą odcinków dwucyfrowych stojących na nieparzystych miejscach od prawej strony i sumą takich, że odcinków stojących na parzystych miejscach równa się 0 albo wielokrotności 101. Na przykład dla : = 125, = 125, = 0 60301

41 Jak widzimy, każda następna cecha podzielności jest coraz bardziej skomplikowana przez co trudniejsza do zapamiętania. Istnieje ich jeszcze wiele. Nadal wymyślane są następne. Stopień ich skomplikowania jednak jest na tyle duży, że są mniej ciekawe i słabo użyteczne.

42 LICZBY PIERWSZE

43 Liczby pierwsze- Są to liczby naturalne których jedynymi dzielnikami są 1 oraz ona sama np. 1, 2 (jedyna parzysta liczba pierwsza), 3, 5. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides. Obecnie za pomocą super szybkich komputerów można znaleźć gigantyczne liczby pierwsze. W Internecie odbywa się "Wielkie Internetowe Poszukiwanie Liczb Pierwszych Mersenne'a" (GIMPS). Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) to projekt obliczeń rozproszonych (obliczenia, umożliwiające współdzielenie zasobów obliczeniowych, często rozproszonych geograficznie) rozpoczęty w styczniu1996r w którym biorą udział ochotnicy poszukujący liczb pierwszych Mersenne'a. Założycielem i autorem oprogramowania jest George Woltman.

44 PODSTAWOWE WŁAŚCIWOŚCI LICZB PIERWSZYCH
Najmniejszy różny od jedynki dzielnik liczby naturalnej większej od jedności jest liczbą pierwszą. Euklides pokazał, że żaden skończony zbiór nie zawiera wszystkich liczb pierwszych: Niech X będzie skończonym zbiorem liczb pierwszych. Niech x będzie iloczynem wszystkich liczb występujących w X (gdy X jest puste, to x=1). Jedynym wspólnym dzielnikiem liczb x oraz x+1 jest 1. Zatem żadna liczba pierwsza, występująca w X, nie jest dzielnikiem liczby x+1. Ale x+1 > 1. Więc x+1 ma dzielnik p, który jest liczbą pierwszą. Liczba pierwsza p nie należy do X (bo jest dzielnikiem liczby x+1). Każda liczba naturalna większa od 1 daje się jednoznacznie zapisać w postaci iloczynu skończonego niemalejącego ciągu pewnych liczb pierwszych. Twierdzenie to był w stanie udowodnić już Euklides (stworzył niezbędne narzędzia), ale uczynił to dopiero Gauss. Twierdzenie to oznacza, że liczby pierwsze są w pewnym sensie atomami, z których przy pomocy mnożenia zbudowane są pozostałe liczby.

45 Wyznaczanie liczb pierwszych za pomocą „Sita Eratostenesa”
Nietrudno jest wyznaczać kolejne liczby pierwsze nie większe od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze.  Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie niewykreślone liczby są liczbami pierwszymi. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. Źródło animacji-

46 Rodzaje liczb pierwszych
Liczby pierwsze bliźniacze. Liczby pierwsze p i q są bliźniacze jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73... 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7. Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele bliźniaczych liczb pierwszych. Największa znana para liczb pierwszych bliźniaczych (stan na listopad 2007) to Liczby te, znalezione w 2007 roku, posiadają cyfr w zapisie dziesiętnym.

47 Liczby pierwsze czworacze.
Liczby czworacze – liczby pierwsze,mające postać p, p+2, p+6, p+8, np. 5, 7, 11 i 13 lub 101, 103, 107 i 109, czyli dwie pary liczb bliźniaczych w najbliższym możliwym sąsiedztwie. Największe znane liczby czworacze to × 4799! , × 4799! , × 4799! oraz × 4799! , gdzie ! jest silnią. Liczby pierwsze izolowane. Liczba pierwsza p jest izolowana, jeśli najbliższa jej liczba pierwsza różni się od p co najmniej o 4. Przykłady:23, 89, 157, 173.

48 Liczby pierwsze Mersenne'a.
M(n) := 2n – 1 nazywamy n-tą liczbą Mersenne'a (dla n=0, 1, ...). Tak otrzymana funkcja M jest homomorfizmem ze względu na największy wspólny dzielnik NWD: M(NWD(k, n)) = NWD(M(k), M(n)). Liczby pierwsze Mersenna są to liczby pierwsze, będące jednocześnie liczbami Mersenne'a. Przykłady: 3, 7, 31, 127, Warunkiem koniecznym, żeby liczba Mersenne'a M(n) była pierwsza jest pierwszość liczby n. Jednak nie dla każdej liczby pierwszej p, liczba M(p) jest pierwsza; na przykład 211 – 1 = 23·89

49 Liczby pierwsze Fermata.
Są to liczby pierwsze postaci . Jak dotąd znanych jest pięć liczb Fermata, które są pierwsze: 3, 5, 17, 257 i 65537 a oto przykładowe faktoryzacje (rozkłady na czynniki) liczb Fermata F5 = 641 × F6 = × Liczby pierwsze Germain. Liczbę pierwszą p nazywamy liczbą pierwszą Sophie Germain jeżeli liczba 2p + 1 również jest pierwsza. Oto kilka liczb tego rodzaju: 2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, Liczby pierwsze Germain związane są ze szczególnymi przypadkami wielkiego twierdzenia Fermata. Liczby pierwsze Germain są związane z liczbami złożonymi Mersenne'a.

50 Ciekawostki… Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to 46 (znana) liczba pierwsza Mersenne'a: −1 i liczy sobie cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 23 sierpnia 2008 roku przez Edsona Smitha – uczestnika projektu GIMPS. Największa liczba pierwsza ( cyfr), która nie jest liczbą Mersenne'a: 27653 × Liczba ta jest jednocześnie piątą największą znaną liczbą pierwszą. Została odkryta w ramach projektu Seventeen or Bust. Największą liczbą pierwszą poznaną przed erą elektroniki jest 44-cyfrowa tzw. liczba Ferriera: ( ) / 17 znaleziona za pomocą mechanicznego kalkulatora.

51 …ciekawostki Liczba złożona z 23 jedynek jest pierwsza. Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, , , W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, i 1987. Liczba zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  π , jest pierwsza. Liczba nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: , , 73939, 7393, 739, 73, 7.

52 Marin Mersenne Marin Mersenne (ur. 8 września 1588 w pobliżu Oizé, zm. 1 września 1648 w Paryżu) – francuski minimita, teolog, filozof, matematyk i teoretyk muzyki.Zawarł wieloletnią przyjaźń z Kartezjuszem. Prowadził ożywioną korespondencję naukową, m.in. z Fermatem i Pascalem. W dziele Cogniata Physico-Matematica z 1626 roku napisał, że liczby postaci 2n − 1 (nazywane dziś liczbam Mersenne'a) są pierwsze dla n=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Dopiero później wykazano, że twierdzenie to jest nieprawdziwe dla dla n=67 i 257. Jeżeli Mersenne miał na myśli twierdzenie: liczba 2n − 1 jest pierwsza dla n będącego liczbą pierwszą, to nie uwzględnił on liczb n=61, 89, 107. Jego nazwiskiem nazwano krater Mersenius znajdujący się na Księżycu.

53 Eratostenes z Cyreny Eratostenes z Cyreny (Eratosthenes z Kyreny, ok. 275-ok. 194 p.n.e.)- Zwany Beta. Grecki filozof, matematyk, astronom, geograf. Jako pierwszy dokonał pomiaru południka Ziemskiego. Eratostenes wyznaczył także kąt nachylenia ekliptyki do równika niebieskiego. Wynalazł nową metodę pomiarów, polegającą na obliczaniu szerokości geograficznej na podstawie danych astronomicznych, stworzeniu sieci południków i równoleżników oraz wykorzystaniu odkryć geograficznych i pomiarów dokonanych przez podróżników. Jako pierwszy zaproponował wprowadzenie roku przestępnego, czyli jednego dodatkowego dnia w kalendarzu co 4 lata. Napisał dzieło astronomiczne "Katasterismoi" (Calasterismi), będące opisem konstelacji niebieskich. Podstawowym dziełem są "Geographika" w trzech księgach, zawierające podstawy geografii matematycznej i fizycznej. Z osiągnięć matematycznych znane jest sito Eratostenesa), czyli metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych (podzielnych przez 1 i przez siebie) mniejszych od dowolnie wybranej.

54 6 LICZBY DOSKONAŁE 28 8128 496

55 Czy zastanawialiście się nad tym, co oznacza słowo "DOSKONAŁOŚĆ" w matematyce?
Na miano doskonałych zasługują niektóre liczby naturalne. Muszą one spełniać jeden warunek, to znaczy być równe sumie swoich dzielników właściwych. Czy dużo jest takich liczb? Nie wiadomo. Dotychczas wykryto 39 liczb doskonałych.

56 Najmniejszą liczbą doskonałą jest 6.
Jej dzielniki właściwe (czyli mniejsze niż ona sama) to: 1, 2 i 3. Suma tych dzielników to 1+2+3=6. W Starożytnosci oprócz szóstki znane były jeszcze trzy takie liczby: 28, 496 oraz 8128. Kolejną piątą liczbę doskonałą znalazł niemiecki matematyk Regiomontanus. Inny niemiecki matematyk znalazł szóstą i siódmą liczbę doskonałą. Euler znalazł ósmą liczbę doskonałą: jest ona dziewięciocyfrowa. Dzięki maszyną matematycznym wykryto kolejne liczby doskonałe.

57 W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą. To rozumowanie prowadzi do twierdzenia : Euklides

58 Metoda Euklidesa: jeśli liczba (k>1 k N) jest liczbą pierwszą, to liczba jest liczbą doskonałą. Wynika stąd, że liczby doskonałe są między innymi - ostatnia ma w zapisie dziesiętnym cyfr. To twierdzenie potwierdza znaczenie liczb Mersenne’a w znajdowaniu liczb doskonałych.

59 Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a. Leonhard Euler

60 Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 232582656
- liczy ona 19 616 714 cyfr.

61 Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, nie ma też dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4l+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od (dane z roku 1990). A może reszta liczb doskonałych czeka na Was? ;)

62 LICZBY DOSKONAŁE II RODZAJU
6 27 35 8

63 Liczbą doskonałą drugiego rodzaju nazywamy liczbę naturalną n>1 równą iloczynowi wszystkich jej, mniejszych od niej, dzielników. 63

64 PRZYKŁADY : 35=1·5·7 6=1*2*3 27=1·3·9 8=1*2*4
6 JEST LICZBĄ DOSKONAŁĄ ZARAZEM PIERWSZEGO JAK I DRUGIEGO RODZAJU. 35=1·5·7 6=1*2*3 27=1·3·9 8=1*2*4

65 Wszystkie sześciany liczb pierwszych oraz wszystkie iloczyny dwu różnych liczb pierwszych są jedynymi liczbami doskonałymi drugiego rodzaju.

66 LICZBY BLIŹNIACZE 66

67 Liczby bliźniacze … 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31
Liczby bliźniacze to takie dwie liczby pierwsze, których różnica wynosi 2. 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31 Do dzisiaj nie wiadomo czy liczb bliźniaczych jest nieskończenie wiele. Największe znane dziś liczby bliźniacze to · ± 1

68 … Liczby bliźniacze … Łatwo zauważyć, że liczby pierwsze (oprócz 2 i 5) kończą się na 1,3,7,9. Wiedząc, że wśród liczb mniejszych od 109 (1 miliarda) jest około 5% liczb pierwszych (czyli około 50 milionów) można wywnioskować, że średnio co ósma liczba kończąca się na 1, 3, 7, 9 jest pierwsza.

69 … Liczby bliźniacze W 1949 r. P.A. Clement następująco scharakteryzował liczby pierwsze bliźniacze: Niech n ≥ 2. Liczby n i n + 2 tworzą parę liczb pierwszych bliźniaczych , gdy n(n+2)|[4((n-1)!)+n] Charakteryzacja ta nie ma jednak żadnej praktycznej wartości dla wyznaczania liczb pierwszych bliźniaczych.

70 Wynajdywanie liczb pierwszych bliźniaczych w zbiorze
Liczby bliźniacze możemy znajdować za pomocą wcześniej prezentowanego algorytmu „Sito Eratostenesa”.

71 Przykład wynajdywania liczb bliźniaczych
Mamy następujący zbiór liczb naturalnych:  { } Ze zbioru wyrzucamy wszystkie wielokrotności pierwszej liczby 2. Otrzymujemy następujący zbiór:

72 W zbiorze pozostały liczby nieparzyste - z wyjątkiem pierwszej liczby 2. Liczby podzielne przez dwa zostały wyeliminowane. Teraz eliminujemy wielokrotności kolejnej liczby 3. Otrzymamy następujący zbiór: { } Teraz w zbiorze pozostały liczby niepodzielne przez 2 i 3 - z wyjątkiem pierwszych 2 i 3. Zwróć uwagę, iż kolejna liczba 4 została już ze zbioru wyeliminowana. Skoro tak, to ze zbioru zniknęły również wszystkie wielokrotności liczby 4, ponieważ są one również wielokrotnościami liczby 2, a te wyeliminowaliśmy przecież na samym początku. Przechodzimy zatem do liczby 5 i eliminujemy jej wielokrotności otrzymując zbiór wynikowy:

73 Oprócz 2,3 i 5 pozostałe w zbiorze liczby nie dzielą się już przez 2,3 i 5. Liczba 6 jest wyeliminowana (wielokrotność 2), zatem przechodzimy do 7. Po wyeliminowaniu wielokrotności liczby 7 zbiór przyjmuje postać:  { } W ten sposób w zbiorze ujawniły się nie tylko wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 50, ale również liczby bliźniacze, czyli te, których różnica równa jest 2. { }

74 LICZBY ZAPRZYJAŹNIONE

75 Liczby zaprzyjaźnione …
Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej.

76 … Liczby zaprzyjaźnione …
Najmniejszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284. m = 220 n = 284 suma wszystkich mniejszych dzielników liczby m, wynosi: =284= n suma wszystkich mniejszych dzielników liczby n, wynosi: = 220 = m

77 … Liczby zaprzyjaźnione …
Gdy zapytano Pitagorasa: "Co to jest przyjaciel?" - odpowiedział: "Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284". Stąd podobno pochodzi owa niezwykła nazwa liczb zaprzyjaźnionych. W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne.

78 … Liczby zaprzyjaźnione …
Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220.

79 … Liczby zaprzyjaźnione …
Skąd u księcia taka wartość imienia??? W starożytności Grecy nie znali cyfr, w pojęciu, takim jakie my sobie wyobrażamy.

80 … Liczby zaprzyjaźnione …
Grecy poszczególnym literom swojego alfabetu przypisywali dane cyfry i liczby. Tak jak poniżej. αʹ 1 βʹ 2 γʹ 3 δʹ 4 εʹ 5 ϝʹ or ϛʹ or στʹ 6 ζʹ 7 ηʹ 8 θʹ 9 ιʹ 10 κʹ 20 λʹ 30 μʹ 40 νʹ 50 ξʹ 60 οʹ 70 πʹ 80 ϟʹ 90 ρʹ 100 σʹ 200 τʹ 300 υʹ 400 φʹ 500 χʹ 600 ψʹ 700 ωʹ 800 ϡʹ 900

81 … Liczby zaprzyjaźnione …
Jak widać, proste (dla nas!) operacje dodawania i mnożenia w takim systemie wcale nie były takie znowu proste. Za to ...dawały znakomite pole do wynajdywania różnych mistycznych znaków lub symboli, zaklętych w konkretnych liczbach.

82 … Liczby zaprzyjaźnione …
Myśląc o ,,starożytnych matematykach'' i dowiadując się o ich bardziej lub mniej imponujących wiadomościach, nie zdajemy sobie sprawy jak trudno było w ówczesnych czasach ,,uprawiać'' matematykę, to znaczy wykonywać najprostsze nawet rachunki.

83 … Liczby zaprzyjaźnione …
Oto kilka przykładów liczb χξϛʹ ( ) σμαʹ ( ) βιʹ ( ).

84 … Liczby zaprzyjaźnione …
Oto kilka przykładów wyliczania wartości imienia Ala- Αλα (1+30+1=32) Marian-Μαριαν ( =202) Ilona- Ιλονα ( =161)

85 … Liczby zaprzyjaźnione …
Wartości liczbowe imienia Nerona. (Jako mała ciekawostka historyczna.) N E P Ω N suma = 1005 Wartości liczbowe zdania ,,Zabił własną matkę'' . I ΔI A N M H T E P A AΠ E K T E I N E

86 … Liczby zaprzyjaźnione …
Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

87 … Liczby zaprzyjaźnione …
Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850. n>1 będzie liczbą naturalną, p = 3·2n-1-1 q = 3·2n-1 r = 9·22n-1-1 Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to 2npq i 2nr są liczbami zaprzyjaźnionymi. Metoda ta sprawdza się jednak dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000.

88 … Liczby zaprzyjaźnione …
Na przykład Dla n = 2, P = 3·21-1 = 5 Q =3· 22-1 = 11 R =9· 23-1 =71 Otrzymujemy ze wzorów liczby: I liczba - 22·5·11=220, II liczba 22·71=284, czyli liczby zaprzyjaźnione Pitagorasa.

89 … Liczby zaprzyjaźnione …
Wzory ogólne odnajdywania pewnej grupy liczb zaprzyjaźnionych mają postać A=2n∙a B=2n∙b∙c gdzie liczby a, b, i c są liczbami pierwszymi takiej postaci a=(2k+1)2∙22n-k b=2n-1+2n-k c=2n-1+2n+k

90 … Liczby zaprzyjaźnione
Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263! Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą!

91 Liczby trójkątne, kwadratowe i piramidalne
91

92 Liczby trójkątne W matematyce liczba trójkątna to liczba, którą można przedstawić w postaci sumy kolejnych, początkowych liczb naturalnych: Kolejne liczby trójkątne to 1, bo T1=1 3, bo T2=1+2=3 6, bo T3=1+2+3=6 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, … 92

93 Nazwa "liczby trójkątne" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku  zbudowanym z n kół.

94 Liczba trójkątna równa się połowie iloczynu liczby oznaczającej jej miejsce w szeregu przez liczbę następną. N-tą liczbę trójkątną można wyznaczyć ze wzoru:

95 Przy pomocy symbolu Newtona można go zapisać jako: .
Korzystając z powyższego wzoru możemy obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych: różnica: suma: 95

96 Gdy wypiszemy szereg jedynek, pod nimi zaś ciąg liczb naturalnych możemy powiedzieć, że każdą liczbę tego drugiego rzędu tworzymy przez dodanie liczby stojącej bezpośrednio przed nią i liczby stojącej nad nią. Jeśli teraz pod pierwszą jedynką drugiego rzędu podpiszemy w trzecim rzędzie jedynkę i zastosujemy tę samą co wyżej zasadę formowania następnych liczb, to otrzymamy właśnie szereg liczb trójkątnych: (1) … (2) … L.trój …

97 Aby sprawdzić, czy dana liczba n jest trójkątna, wystarczy sprawdzić, czy liczba
8n + 1 jest pełnym kwadratem; Sprawdźmy, czy liczba 66 jest liczbą trójkątną 8 x = 529 = 232 a więc 66 jest liczbą trójkątną. Sprawdźmy, czy liczba 23 jest liczbą trójkątną 8 x = 185 = Liczba 23 nie jest liczbą trójkątną.

98 Liczby kwadratowe Liczba kwadratowa – kwadraty kolejnych liczb ciągu naturalnego. Liczby te odkrył Diofantos – jeden z największych matematyków starożytności. (200/214 – 284/298 n.e.) 98

99 Z liczbami kwadratowymi związane jest następujące twierdzenie:
„Suma kolejnych liczb nieparzystych równa się kwadratowi ich liczby.” Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić wg wzoru: kn= n2= …+(2n-1) 99

100 Dowód indukcyjny n2 = 1 + 3 + 5 + … + (2n-1)
Sprawdzenie n = 1 L = 12 = 1 P = 2 x 1 – 1 = 1 L = P Założenie n = k k2 = … + (2k – 1) Teza n = k+1 (k + 1)2 = … + (2k – 1) + (2k + 1) Dowód tezy L= (k + 1)2 = k2 + 2k +1 = … + (2k – 1) + (2k +1) = P założenie

101 Liczby kwadratowe tworzy się podobnie jak trójkątne, z tą różnicą, że zamiast szeregu jedynek piszemy w pierwszym rzędzie dwójki. Wówczas w drugim rzędzie, rozpoczętym jedynką, otrzymamy szereg liczb nieparzystych; w trzecim rzędzie – przez takie, jak wskazano powyżej, ukośne sumowanie liczb stojących obok i ponad danym miejscem – otrzymamy szereg liczb kwadratowych (1) … (2) … L. kwad … 101

102 Liczby wielokątne Na podstawie powyższych wywodów ustalić można zarówno ogólny sposób formowania liczb wielokątnych rzędu k, jak i twierdzenia podstawowe o stosunku tych liczb do liczb trójkątnych, mianowicie: Ciąg liczb wielokątnych rzędu k otrzymuje się przez wskazane poprzednio ukośne sumowanie liczb, przyjąwszy za podstawę w pierwszym rzędzie ciąg jednakowych liczb, równych k – 2.

103 Prawdziwe są następujące twierdzenia, związane z liczbami wielokątnymi:
Twierdzenie I. Każda liczba wielokątna rzędu k równa się liczbie swego miejsca w szeregu + liczba trójkątna miejsca poprzedniego wzięta (k – 2). Twierdzenie II. Każda liczba wielokątna rzędu k równa się liczbie trójkątnej stojącej na tymże miejscu + liczba trójkątna miejsca poprzedniego wzięta (k – 3) razy.

104 Tabela liczb wielokątnych.
Tabela ta, rozpatrywana wzdłuż kolumn, daje okazję do ciekawych wniosków. Na przykład: Zauważmy, że w każdej kolumnie znajduje się ciąg arytmetyczny. Różnice kolejnych tych ciągów (oprócz pierwszego) to kolejne liczby trójkątne. I ciąg – r = 0 II ciąg – r = 1 III ciąg – r = 3 IV ciąg – r = 6 i tak dalej.

105 Liczby piramidalne Liczby definiowane już w VI w. p.n.e. przez pitagorejczyków. Są one sumami liczb wielokątnych. I tak kolejne trójkątne liczby piramidalne to piramidki zbudowane z warstw kolejnych liczb trójkątnych : 1, 1+3=4, 1+3+6=10,

106 Wzór na liczbę trójkątną piramidalną to:
Liczby piramidalne można zbudować również na podstawie kwadratowe, pięciokątnej itd. Otrzymamy wtedy liczby piramidalne kwadratowe, pięciokątne itd., które zbudowane są z kolejnych warstw kwadratów, pięciokątów itd. Wzór na liczbę trójkątną piramidalną to:

107 Piramidę można zbudować na każdym trójkącie, odpowiadającym dowolnej liczbie szeregu liczb trójkątnych. Otrzymany w ten sposób nowy szereg jakiś przedmiotów potrzebnych do uformowania tego rodzaju piramid. Nazywamy to szeregiem trójkątnych liczb piramidalnych. Tworzy się je tak: Ciąg naturalny … Liczby trójkątne … Trójkątne liczby piramidalne …

108 Twierdzenie pożyteczne przy formowaniu trójkątnych liczb piramidalnych
Sześciokrotnie wzięta trójkątna liczba piramidalna równa się iloczynowi trzech kolejnych liczb, z których pierwsza oznacza miejsce owej liczby piramidalnej w szeregu trójkątnych liczb piramidalnych. Na przykład: 6 x 10 = 3 x 4 x 5 6 x 35 = 5 x 6 x 7

109 Liczby piramidalne kwadratowe odszukać można przy pomocy następujących twierdzeń, które nietrudno też uogólnić dla wszelkich innych liczb piramidalnych: 1. Kwadratowa liczba piramidalna równa się trójkątnej liczbie piramidalnej stojącej na tymże miejscu szeregu i powiększonej o trójkątną liczbę piramidalną poprzednią. 2. Z powyższego łatwo wyprowadzić następujące równanie: Kwadratowa liczba piramidalna stojąca na miejscu n równa się:

110 Ogólnie: liczba piramidalna kwadratowa rzędu k równa się trójkątnej liczbie piramidalnej stojącej na tymże miejscu + trójkątna liczba piramidalna z miejsca poprzedniego. Na przykład: n=3 L=P

111 LICZBY PALINDROMICZNE
77 111111 LICZBY PALINDROMICZNE 626 57775

112 A MAN A PLAN A CANAL PANAMA
Na nagrobku Ferdynanda de Lesseps'a ( ) francuskiego inżyniera, który kierował pracami przy budowie Kanału Sueskiego i Kanału Panamskiego, znajduje się epitafium następującej treści: A MAN A PLAN A CANAL PANAMA Napis ten czytany od lewej ku prawej stronie lub od prawej do lewej strony brzmi identycznie. Taki napis to palindrom. Palindromami mogą być również liczby.

113 Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu z lewej strony do prawej i odwrotnie jest jednakowa. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: 7, 57775, 626, , ...

114 Sotades Legenda mówi, że wynalazcą palindromów był Sotades (III w p.n.e.) z Maronei, twórca poezji frywolnej na dworze Ptolemeusza. Palindromy powstały jako zabawa słowna, choć niektóre z palindromów miały być czymś w rodzaju szyfru, może zaklęcia. Współczesnie palindrom to przede wszystkim rozrywka umysłowa. Ciekawostką matematyczną jest, że każdy palindrom liczbowy w systemie dziesiętnym złożony z parzystej liczby cyfr jest podzielny przez 11.

115 345 i 543 49 i 94 77 LICZBY LUSTRZANE 12 i 21 25 i 52

116 11 12 i 21 2222 Liczby lustrzane to te, które zapisane obok siebie stanowią swoje odbicie lustrzane. Są to np. 12 i 21, 98 i 89, 457 i 754, 6325 i 5236 itd. Do liczb lustrzanych należą też takie, które same w sobie są odbiciem np. 11, 77, 2222, 0110 itd. 89 i 98 5236 i 6325 0110

117 Dla osób, które dzień w dzień mają do czynienia z takimi liczbami np
Dla osób, które dzień w dzień mają do czynienia z takimi liczbami np. makler, księgowa, liczby te mogą stać się zmorą. Bowiem ciągła praca z tymi liczbami powoduje popełnianie przez nich tzw. czeskiego błędu. Polega on na tym, że zamiast liczby, którą ma się napisać, załóżmy 23, nieświadomie przestawia się liczby i zapisuje ich lustrzane odbicia (w tym wypadku 32).

118 Bibliografia Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa, Warszawa, 1988, Wydawnictwo Szkolne i Pedagogiczne Lidia Filist, Artur Malina, Alicja Solecka, Słownik matematyczny, Wrocław, 2005, Wydawnictwo Europa Wykład – 10 maja 2011r. „As kompetencji” – dr Tomasz Jędrzejak, Uniwersytet Szczeciński – „Liczby pierwsze – twierdzenia, hipotezy, rekordy, ciekawostki” 118

119