Metody Numeryczne Wykład no 12.

Prezentacja na temat: "Metody Numeryczne Wykład no 12."— Zapis prezentacji:

1 Metody Numeryczne Wykład no 12

2 Metoda Runge - Kutty Równanie Rozwiązujemy stosując szereg Taylora ale

3 czyli

4 ale a Podstawiając do i porządkując mamy

5 Metoda Runge -Kutty

6 Sposób wyznaczania współczynników na przykładzie
metody drugiego rzędu (p=2): Drugi składnik rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu punktu xn, tn Podstawiając i porządkując mamy:

7 a porównując z szeregiem Taylora
przy tych samych potęgach h otrzymujemy:

8 lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy:
Przyjmując w2=1 mamy: w1=0, b21=1/2 i stąd algorytm: lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: w=0.5, b21=1 i stąd inny algorytm:

9 Przykład: Dany jest dławik o charakterystce: Rezystancja dławika wynosi 0.5. Obliczyć prąd płynący w obwodzie zasilanym sem e(t)=100sin314t. Schemat obwodu możemy przyjąć w postaci:

10 Suma spadków napięć pozwala zapisać równanie:
Biorąc pod uwagę krzywą magnesowania: Podstawiając do równania obwodu i porządkując:

11 Warunek początkowy jest i0=i(t=0)=0.
Wybór kroku całkowania: Stała czasowa liniowej części obwodu wynosi 0.1/0.5=0.2s. Krok czasowy można przyjąć 0.2/10=20ms. Okres wymuszenia T=20ms krok należy przyjąć rzędu T/20=1ms. Prawdopodobnie będzie trzecia harmoniczna więc przyjmujemy krok h=0.2ms.

12 Obliczenia metodą Runge – Kutty według schematu:
x=i; Start: i(t=0)=i0=0 h=0.0002

13 i mamy: t=h=0.0002 Metoda Runge – Kutty pozwala zmienić krok na każdym etapie. Zwiększamy krok dwukrotnie. h=0.0004

14 i2= K2 i2=

15 Jak ocenić czy wolno zmienić długość kroku?
Czy zmniejszyć czy zwiększyć? Ocena błędu metodą Rungego: Dla metody rzędu p-go mamy:

16 stąd ocena błędu: Znając ocenę błędu można poprawić rozwiązanie podstawiając do

17 lub dokładniej z równania:

18 W obliczanym przypadku musimy powtórzyć
obliczenia z krokiem i mamy dla t=0.0004: K1= K2=0.0188 i1+1/2= Dla t= mamy: K1= K2= i1+2*1/2=

19 i1+2*1/2= i2= Obliczone z krokiem h= było: W tym przypadku p=2 i ze wzoru: mamy oceną błędu:

20 Rozwiązanie poprawione ze wzoru:
Na wykonanie jednego kroku należało policzyć funkcję f(in,tn) 2 – h=0.0004 1+2 – h=0.0002 razem 5 - razy

21 Metoda IV –go rzędu Przy ocenie dokładności obliczeń metodą Rungego wymaga 11-krotnego obliczenia f(x,t).

22 Metoda Mersona

23 tylko 5-cio krotne obliczanie f(x,t).
Przykład Równanie wahadła: Niech =1s-2 Warunki początkowe: około 86°

24 Sprowadzamy do układu równań I-go rzędu
Warunki początkowe: Obliczenia chcemy prowadzić z dokładnością 0.001 Startujemy z krokiem h=0.1. Krok wybrano jako 0.1 okresu wahadła liniowego.

25

26 Błąd:

27 Dokładność założona została osiągnięta.
W następnym kroku można zwiększyć krok. Rozwiązanie w chwili t=0.1 i do następnego kroku możemy wystartować z nową wartością kroku h

28 Metody włożone lub Metody Fehelberga – Runge -Kutty Stosujemy metodę Runge – Kutty rzędu p i rzędu p+1 i aby zmniejszyć liczbę obliczanych współczynników wybieramy je tak, że w obu metodach jest pierwszych p współczynników K jednakowe, czyli i=2,3,..,p+1

29 i mamy dla metody rzędu p-go
a dla metody rzędu (p+1)-go Ocenę błędu można zrobić stosunkowo prosto

30 Po odjęciu stronami otrzymujemy:
gdzie

31 Znając błąd możemy postępować jak w metodzie
Mersona i rozwiązanie przyjmować z dokładniejszej metody rzędu p+1. Najczęściej stosowana metoda RKF45 ma współczynniki

32 Błąd

33 Rozwiązanie wykorzystując metodę dokładniejszą jest
Metoda gwarantuje obliczenia z błędem rzędu h4.

34 Metody Rungego – Kutty a równania sztywne
Przykład z warunkiem początkowym: Rozwiązanie analityczne jest: i wykres jest:

35 dla t[0,5]

36 dla t[0,600]

37 Wyniki otrzymane z metody Rungego – Kutty IV rzędu
dla t[0,10] i h=0.05 i błąd

38

39 a więc wystarczy liczyć do 1000s z krokiem równym 100/20=5s
Po czasie t=10s można pominąć drugi wyraz w rozwiązaniu czyli praktycznie a więc wystarczy liczyć do 1000s z krokiem równym 100/20=5s i mamy:

40 czyli rozwiązanie się rozbiega. Po 10 krokach czyli dla
t=10+5·10=60s wynik jest z błędem 107%

41 dla kroku dwa razy mniejszego czyli h=2.5s mamy:
bardzo dobre rozwiązanie. Błąd jest:

42 Błąd procentowy jest do przyjęcia. Otrzymany wynik pokazuje,
że istnieje granica stabilności absolutnej dla metod typu Rungego - Kutty

43 Wykazano, że warunek stabilności absolutnej dla metody IV rzędu jest:
gdzie min jest najmniejszą stałą czasową w układzie równań sztywnych W analizowanym przypadku: stałe czasowe są: min=1s i max=100s, a więc dopuszczalny krok jest hdop=2.78. Dla kroku h=5>hdop mamy utratę stabilności, a dla h=2.5<hdop mamy prawidłowy przebieg obliczeń.