Prof. dr Ljiljana Petruševski

Prezentacja na temat: "Prof. dr Ljiljana Petruševski"— Zapis prezentacji:

1 Prof. dr Ljiljana Petruševski
POLITOPI POLIGONI I POLIEDRI Prof. dr Ljiljana Petruševski

2 Prof. dr Ljiljana Petruševski
POLIGONI Prof. dr Ljiljana Petruševski

3 Prof. dr Ljiljana Petruševski
POLURAVAN Prava deli svaku ravan kojoj pripada na dva disjunktna dela-skupa tačaka. Svake dve tačke istog skupa se nalaze sa iste strane prave, a svake dve tačke iz različitih skupova se nalaze sa raznih strana prave. Unija svakog od tih skupova i prave je poluravan. Prof. dr Ljiljana Petruševski

4 Prof. dr Ljiljana Petruševski
UGAO q Unija dve poluprave sa zajedničnom početnom tačkom S je ugaona linija. Ugaona linija deli ravan, kojoj te poluprave pripadaju, na dva disjunktna dela, pri čemu ona sama ne pripada ni jednom od njih. Unija jedne od tih oblasti i ugaone linije je ugao . Jedna ugaona linija određuje dva ugla. Tačka S je teme ugla, a poluprave su kraci ugla. p Prof. dr Ljiljana Petruševski

5 Prof. dr Ljiljana Petruševski
MNOGOUGAO - POLIGON Skup duži u istoj ravni takvih da je krajnja tačka svake duži istovremeno krajnja tačka još samo jedne duži obrazuju zatvorenu izlomljenu liniju koja se naziva mnogougaona (ili poligonalna) linija. Deo ravni koji ograničava mnogougaona linija je unutrasnjost te linije. Unija mnogougaone linije i njene unutrašnjosti je mnogougao (ili poligon). Prof. dr Ljiljana Petruševski

6 Prof. dr Ljiljana Petruševski
MNOGOUGLOVI - POLIGONI Izlomljena zatvorena poligonalna linija se može posmatrati kao zatvorena linija koja se može nacrtati jednim potezom bez dizanja olovke sa papira. U tom slučaju, proizvoljno teme poligona se može uzeti za početnu tačku, a poligonalna linija predstavlja niz duži, takvih da je završna tačka prethodne duži istovremeno početna tačka naredne, pri čemu je završna tačka poslednje duži tog niza istovremeno početna tačka prve duži. Prof. dr Ljiljana Petruševski

7 Prof. dr Ljiljana Petruševski
MNOGOUGLOVI - POLIGONI Duži, od kojih se sastoji mnogougaona (poligonalna) linija, su stranice mnogougla (poligona). Stranice sa zajedničkom krajnjom tačkom su susedne stranice. Ostale stranice su nesusedne . Prof. dr Ljiljana Petruševski

8 Prof. dr Ljiljana Petruševski
MNOGOUGLOVI - POLIGONI Uglovi koje obrazuju susedne stranice mnogougla su uglovi mnogougla, a temena tih uglova su temena mnogougla. Dva temena koja pripadaju istoj stranici mnogougla su susedna temena. Temena koja ne pripadaju istoj stranici su nesusedna temena. Svaka duž koja spaja dva nesusedna temena mnogougla je dijagonala mnogougla. Prof. dr Ljiljana Petruševski

9 Prof. dr Ljiljana Petruševski
MNOGOUGLOVI - POLIGONI Mnogougao dobija naziv prema broju stranica odnosno prema broju temena. Mnogougao sa n strana je n-tougao. trougao četvorougao dvanaestougao sedmougao Prof. dr Ljiljana Petruševski

10 Prof. dr Ljiljana Petruševski
KONVEKSNI MNOGOUGLOVI-POLIGONI Mnogougao je konveksan ukoliko svaka duž koja spaja njegove dve proizvoljne tačke pripada tom mnogouglu. U suprotnom slučaju mnogougao je konkavan. Prof. dr Ljiljana Petruševski

11 Prof. dr Ljiljana Petruševski
KONVEKSNI MNOGOUGLOVI-POLIGONI Svaka dva susedna temena odredjuju pravu kojoj pripada stranica mnogougla odredjena tim temenima kao krajnjim tačkama. Konveksan mnogougao se nalazi sa jedne strane svake takve prave odnosno ceo leži u jednoj poluravni odredjenoj takvom pravom. Prof. dr Ljiljana Petruševski

12 Prof. dr Ljiljana Petruševski
KONVEKSNI MNOGOUGLOVI-POLIGONI Konveksan mnogougao se može predstaviti kao presek konačno mnogo poluravni odredjenih pravama koje sadrže njegove stranice. Prof. dr Ljiljana Petruševski

13 Prof. dr Ljiljana Petruševski
PROSTI I SLOŽENI POLIGONI Poligon je prost ako nesusedne stranice nemaju zajedničkih tačaka. U suprotnom slučaju je složen (seče sam sebe). prost prost prost složen Prof. dr Ljiljana Petruševski

14 Prof. dr Ljiljana Petruševski
PROSTI I SLOŽENI POLIGONI POLIGONI Prosti poligoni Složeni poligoni Konveksni poligoni Nekonveksni poligoni Prof. dr Ljiljana Petruševski

15 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI POLIGONI Poligon čije su sve stranice i svi uglovi medjusobno jednaki je regularan poligon. Prof. dr Ljiljana Petruševski

16 Prof. dr Ljiljana Petruševski
KONVEKSNI REGULARNI POLIGONI - PRAVILNI POLIGONI Prost regularan poligon je konveksan. Uobičajen naziv za takav poligon, u našem jeziku, je pravilan poligon ili pravilan mnogougao. Prof. dr Ljiljana Petruševski

17 Prof. dr Ljiljana Petruševski
PRAVILNI POLIGONI Ugao pravilnog mnogougla zavisi od broja stranica odnosno broja temena. Prof. dr Ljiljana Petruševski

18 Prof. dr Ljiljana Petruševski
NEKONVEKSNI REGULARNI POLIGONI - ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI Zvezdasti regularni poligoni su nekonveksni regularni poligoni čija se temena poklapaju sa temenima konveksnih regularnih poligona a stranice su im njihove medjusobno jednake dijagonale. Prof. dr Ljiljana Petruševski

19 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI Generisanje zvezdastih regularnih poligona Petougaoni zvezdasti poligon - pentagram Sedmougaoni zvezdasti poligon - heptagram Sedmougaoni zvezdasti poligon - heptagram Prof. dr Ljiljana Petruševski

20 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI POLIGONI Regularni poligon karakteriše jednočlani niz brojeva: gde je p jednak broju temena odnosno broju stranica poligona a q uzajamno prost sa p (najveći zajednički delilac p i q je 1) i gde se q može tumačiti kao “preskok” u procesu generisanja zvezdastih regularnih poligona. Prof. dr Ljiljana Petruševski

21 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI POLIGONI U opštem slučaju i karakterišu iste regularne poligone, pa vrednosti iscrpljuju sve mogućnosti i vrednosti se ne moraju uzimati u razmatranje. Vrednost daje jednu liniju – duž. Prof. dr Ljiljana Petruševski

22 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI POLIGONI petougao pentagram Prof. dr Ljiljana Petruševski

23 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI POLIGONI Dva različita heptagrama Prof. dr Ljiljana Petruševski

24 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI KONVEKSNI POLIGONI Prof. dr Ljiljana Petruševski

25 Prof. dr Ljiljana Petruševski
REGULARNI NEKONVEKSNI (ZVEZDASTI) POLIGONI {7/2} {7/3} {5/2} {8/3} {9/2} {9/4} Prof. dr Ljiljana Petruševski

26 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTE FIGURE – kombinacije poligona Komentar: p deljivo sa q. Heksagramska forma nije regularan (zvezdasti) poligon. je zvezdasta figura. Zvezdasta figura je unija podudarnih pravilnih poligona sa temenima koja se poklapaju sa temenima nekog pravilnog mnogougla. Prof. dr Ljiljana Petruševski

27 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTE FIGURE Zvezdasta figura Regularan zvezdasti poligon Regularan prost konveksan poligon Dve različite oktagramske forme Prof. dr Ljiljana Petruševski

28 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTE FIGURE Regularni poligoni Zvezdasta figura Tri različite eneagramske forme Prof. dr Ljiljana Petruševski

29 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTI REGULARNI POLIGONI I ZVEZDASTE FIGURE Prof. dr Ljiljana Petruševski

30 Prof. dr Ljiljana Petruševski
PENTAGRAM Različite interpretacije pentagrama Prof. dr Ljiljana Petruševski

31 Prof. dr Ljiljana Petruševski
PENTAGRAM Prof. dr Ljiljana Petruševski

32 Prof. dr Ljiljana Petruševski
ZVEZDASTE FIGURE Različite interpretacije zvezdaste figure Prof. dr Ljiljana Petruševski

33 Prof. dr Ljiljana Petruševski
POLIGONI POLIGONI Regularni poligoni Neregularni poligoni Konveksni regularni poligoni Nekonveksni regularni poligoni Prosti poligoni Složeni poligoni Prosti regularni poligoni Složeni regularni poligoni Konveksni poligoni Nekonveksni poligoni Pravilni poligoni Zvezdasti regularni poligoni Prof. dr Ljiljana Petruševski

34 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Stelacija poligona je proces generisanja novog poligona koji se sastoji u produžavanju ivica do preseka svake sa ostalima odnosno do formiranja novog poligona ili kombinacije poligona. Dobijena nova figura je stelacija originala. Prof. dr Ljiljana Petruševski

35 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Stelacijom trougla i četvorougla ne nastaju novi poligoni. Stelacijom petougla nastaje pentagram. {5/2} Prof. dr Ljiljana Petruševski

36 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Stelacijom šestougla nastaje heksagramska zvezdasta figura. {7/3} {7/2} Dve različite stelacije sedmougla daju dva različita heptagrama. Prof. dr Ljiljana Petruševski

37 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Dve različite stelacije osmougla daju dve različite oktagramske forme. Prof. dr Ljiljana Petruševski

38 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Tri različite stelacije devetougla daju tri različite eneagramske forme. Prof. dr Ljiljana Petruševski

39 Prof. dr Ljiljana Petruševski
STELACIJA POLIGONA Prof. dr Ljiljana Petruševski

40 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CONVEX HULL – 2D Konveksni omotač (konvex hull) skupa tačaka S je najmanji konveksan skup koji sadrži taj skup tačaka S. Prof. dr Ljiljana Petruševski

41 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CONVEX HULL – 2D Prof. dr Ljiljana Petruševski

42 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CONVEX HULL – 2D Prof. dr Ljiljana Petruševski

43 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CONVEX HULL – 2D Prof. dr Ljiljana Petruševski

44 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CONVEX HULL – 2D Proširenje skupa tačaka Prof. dr Ljiljana Petruševski

45 Prof. dr Ljiljana Petruševski
CELULARNI KOMPLEKS – RAZLAGANJE NA POLIGONE Skup konveksnih poligona predstavlja razlaganje ravni ili nekog njenog dela ako je zajednička ivica ili prazan skup i Konveksni poligoni nazivaju se ćelijama, a zajedno čine celularni kompleks ili kompleks ćelija. Prof. dr Ljiljana Petruševski

46 Prof. dr Ljiljana Petruševski
TRIANGULACIJA Ukoliko su svi poligoni trouglovi, kompleks se naziva triangularnim, a samo razlaganje se naziva triangulacijom. Prof. dr Ljiljana Petruševski

47 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIJAGRAM Voronoi diagram, zavistan od konačnog skupa tačaka S, je razlaganje ravni na voronoi ćelije: Prof. dr Ljiljana Petruševski

48 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIJAGRAM Voronoi ćelija tačke Prof. dr Ljiljana Petruševski

49 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIJAGRAM 1 4 2 3 6 5 Voronoi diagram, zavistan od konačnog skupa tačaka S, je razlaganje ravni na voronoi ćelije: Prof. dr Ljiljana Petruševski

50 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA 1 4 2 3 6 5 Delauney kompleks (ili triangulacija), zavisna od S, je razlaganje konveksnog omotača (convex hull) tog skupa tačaka na Delauney ćelije (trouglove) čija su temena tačke skupa S koje pripadaju susednim voronoi ćelijama čije se ivice sustiču u istoj tački. Prof. dr Ljiljana Petruševski

51 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA Prof. dr Ljiljana Petruševski

52 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA Prof. dr Ljiljana Petruševski

53 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM Prof. dr Ljiljana Petruševski

54 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM Prof. dr Ljiljana Petruševski

55 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA Prof. dr Ljiljana Petruševski

56 Prof. dr Ljiljana Petruševski
VORONOI DIAGRAM - DELAUNAY TRIANGULACIJA Prof. dr Ljiljana Petruševski