Wykład 3,4 i 5: Przegląd podstawowych transformacji sygnałowych Dyskretny szereg Fouriera Dyskretna Transformacja Fouriera (DFT) i jej numeryczna aplikacja (FFT) Przykład zastosowania Transformacja Fouriera PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera Wyprowadzenie DFS gdzie oraz . PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera cd Podzielmy okres T na N równych podprzedziałów: Dyskretny szereg Fouriera cd . PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera cd Oznaczając: Powyższe równanie daje możliwość obliczenia próbki (dyskretnej wartości) funkcji f(t) dla , . PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera cd Biorąc pod uwagę, że dla dowolnych liczb naturalnych m i n zachodzi: i wprowadzając tzw. współczynniki aliasingowe: . PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera cd Otrzymamy równanie: PTS 2015

Równanie: stanowi okresowy szereg Fouriera funkcji f(t) w dyskretnych chwilach czasu, a współczynniki aliasingowe (nałożeniowe) określone są wzorem: PTS 2015

Dyskretny szereg Fouriera cd Przykład Wyznaczyć dyskretny szereg Fouriera funkcji podanej na rysunku (N=4): PTS 2015

Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemy Dyskretny szereg Fouriera cd Rozwiązanie Stosując wzór dla współczynników z „daszkiem”: otrzymujemy gdzie . PTS 2015

Dla n=0, 1, 2, 3, mamy: Czyli ostatecznie: . PTS 2015

Dyskretna Transformata Fouriera DEFINICJA Dany jest ciąg o N liczbach rzeczywistych lub zespolonych.   Dyskretną transformatą Fouriera ciągu jest ciąg o N liczbach  określony równaniem PTS 2015

Transformata odwrotna: UWAGA: Ciąg nie musi być okresowy a jego elementy mogą być liczbami zespolonymi PTS 2015

Przykład obliczania DFT Dany jest ciąg wyznaczyć jego transformatę DFT PTS 2015

Z wzoru definicyjnego : dla N=4 PTS 2015

Skąd ostatecznie Spektrum amplitudowe PTS 2015

Spektrum fazowe PTS 2015

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) PTS 2015

Szkic uzasadnienia PTS 2015

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (2) Przesunięcie PTS 2015

Uzasadnienie prawdziwości właściwości transformaty DFT Przesunięcie PTS 2015

Cd uzasadnienia: PTS 2015

Przykład (przesunięcie) PTS 2015

Przykład (przesunięcie) cd PTS 2015

Przykład (przesunięcie) cd PTS 2015

Przykład (przesunięcie) cd PTS 2015

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (3) Splot okresowy PTS 2015

Przykład 1 PTS 2015

Przykład 1 (cd) odbicie PTS 2015

Przykład 1 (cd) PTS 2015

Dla analogicznie PTS 2015

Właściwości Dyskretnej Transformacji Fouriera (DFT) (4) PTS 2015

Szkic dowodu PTS 2015

Przykład 2 PTS 2015

Obliczenia transformaty pierwszego sygnału PTS 2015

Obliczenia transformaty drugiego sygnału PTS 2015

Obliczenia transformaty drugiego sygnału PTS 2015

Sprawdzenie metodą klasyczną PTS 2015

Porównanie DFS i DFT PTS 2015

Porównanie DFS i DFT (2) PTS 2015

PTS 2015

Algorytm FFT  wstęp Stosując wzór: “koszt” znalezienia dla ustalonej wartości n, wynosi: mnożeń sumowań. PTS 2015

Dla n od 0 do N-1 potrzeba (N-1)2 mnożeń i N(N-1) dodawań Czyli przykładowo, dla N=212 potrzeba 16769025 mnożeń Proponowana w tej części wykładu “szybka” procedura zwana FFT (STF) zapewnia redukcję mnożeń z poprzedniego przykładu do 24576. PTS 2015

Szkic algorytmu DFT ciągu 2-elementowego gdzie . PTS 2015

Graf sygnałowy (motylkowy) . W tej transformacie wymagane jest jedynie jedno mnożenie: przez PTS 2015

Przypadek N=4 . PTS 2015

Przypadek N=4 Wyprowadzenie . PTS 2015

Podane podejście uogólnić można na N-punktowy algorytm pozwalający na znaczne przyspieszenie obliczeń. Dla użycie FFT daje 223 razy mniej mnożeń niż standardowe DFT .  Niestety, algorytm wymaga określonej liczby próbek funkcji dyskretnej  2n PTS 2015

Zastosowanie DFT (FFT) Wyznaczanie widma okresowych funkcji analogowych PTS 2015

Przykład DFT i wyznaczyć 8-punktową DFT Chcemy spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: 135o i wyznaczyć 8-punktową DFT PTS 2015

ms PTS 2015

Przykład DFT cd Liczba próbek N=8 Szybkość próbkowania: Liczba próbek N=8 8-elementowy ciąg x(n) jest równy xin(nts): PTS 2015

Przykład DFT cd Wartości częstotliwości N kolejnych punktów na osi częstotliwości, w których wyznaczane są prążki DFT (widmo a-f transformaty), są określane jako: Czyli dla wybranej częstotliwości fs= 8000 próbek/s wyniki DFT określają składowe sygnału x(n) w punktach osi częstotliwości: PTS 2015

Rezultaty DFT dla N=8: PTS 2015

Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n) PTS 2015

Widmo fazowe x(n) PTS 2015

Wnioski dla DFT funkcji x(n) przy całkowitej liczbie okresów w przedziale N próbek. Aby otrzymać widmo amplitudowe funkcji xin(n) z widma transformaty DFT należy uwzględnić, że: Wartości DFT dla m>=N/2 są nadmiarowe (uwzględniamy m=0,1,2,3,4) Widmo fazowe podlega twierdzeniu o przesunięciu (w naszym przypadku nie trzeba go stosować) PTS 2015

ms PTS 2015

widmo przebiegu x(n) ze składową stałą PTS 2015

Co to jest „przeciek widma”? Chcemy ponownie spróbkować ciągły sygnał wejściowy zawierający dwie składowe: i wyznaczyć 8-punktową DFT przy szybkości próbkowania i N=8: PTS 2015

PTS 2015

Widmo amplitudowe okresowego przebiegu x(n) PTS 2015

Widmo fazowe okresowego przebiegu x(n) PTS 2015

Co to jest “przeciek” DFT DFT próbkowanych sygnałów rzeczywistych prowadzi do wyników w dziedzinie częstotliwości, które mogą być mylące =>jedynie kiedy próbkowany przedział (N próbek) stanowi wielokrotność okresu badanego przebiegu nie ma problemu Jeśli sygnał wejściowy zawiera składową o pewnej częstotliwości pośredniej (np.1.5fs/N) to ta składowa sygnału ujawni się w pewnym stopniu we wszystkich N wyjściowych wartościach częstotliwości DFT PTS 2015

Podstawy transformacji Fouriera Sygnał x(t) PTS 2015

W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z Ponieważ x(t) nie jest sygnałem okresowym, nie może być przedstawiony w postaci szeregu Fouriera. Jednakże, metoda szeregu Fouriera może być zastosowana do przedstawienia x(t) w dowolnym przedziale: W tym celu tworzymy okresowy sygnał : o okresie pokrywający się z dla każdego t należącego do . PTS 2015

gdzie PTS 2015

Oznaczmy: otrzymamy PTS 2015

Dla PTS 2015

Wyznaczamy ze wzoru: PTS 2015

stanowią parę przekształceń Fouriera. Równania: stanowią parę przekształceń Fouriera. to transformata Fourier funkcji czasu   jest odwrotną transformatą Fouriera nazywana jest całką Fouriera PTS 2015

Warunki wystarczające istnienia przekształcenia Fouriera musi być bezwzględnie całkowalna W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów ekstremalnych. W skończonym przedziale ma conajwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym z tych punktów owe nieciągłości mają wartości skończone. PTS 2015

PTS 2015

Przykład Przykładowy impuls prostokątny PTS 2015

PTS 2015

PTS 2015

Wyjaśnienie istoty transformacji Fouriera: PTS 2015

Transformata Fouriera pojedynczego impulsu prostokątnego Wniosek: Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015

Moduł stanowi obwiednię dla PTS 2015

PTS 2015

PTS 2015

PTS 2015

W konsekwencji, dyskretne widmo łąńcucha impulsów prostokątnych staje się ciągłym widmem określonym obwiednią czyli Współczynniki wykładniczego szeregu Fouriera spełniają zależność Podczas gdy transformata Fouriera poj. prostokąta wyraża się zależnością Ciągłe widmo amplitudowe, ciągłe widmo fazowe, nieokresowego sygnału x(t) PTS 2015

Niektóre właściwości przekształcenia Fouriera Liniowość Transformata sumy: Jest postaci: Skalowanie PTS 2015

Widmo amplitudowe jest parzyste a fazowe nieparzyste: Przesunięcie w dziedzinie czasu Jeśli: to Wniosek: WIDMO AMPLITUDOWE NIE ULEGA ZMIANIE natomiast fazowe jest przesunięte o PTS 2015

Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości: Transformata pochodnej: Splot Twierdzenie o splocie PTS 2015

Przykład PTS 2015

To samo graficznie: PTS 2015

Transformaty Fouriera wybranych sygnałów: impuls jednostkowy (Diraca) . impuls przesunięty: PTS 2015

Czyli lub PTS 2015

Transformata Fouriera funkcji Ponieważ: PTS 2015

Transformata Fouriera funkcji cosinus PTS 2015

Transformata Fouriera funkcji Ponieważ: PTS 2015

Transformata Fouriera funkcji sinus PTS 2015

Szybka transformacja Fouriera (FFT) uzasadnienie schematu PTS 2015

DFT dwupunktowa PTS 2015

Graficzna interpretacja PTS 2015

(e) (f) (g) (h) PTS 2015

Uwzględniając relacje (i): Przedstawiamy współczynniki DFT w funkcji w2 oraz w4 PTS 2015

(j) (k) (l) (m) PTS 2015

(n) (o) PTS 2015

(p) (r) (s) (t) PTS 2015

(u) (v) (w) (x) PTS 2015

Graf motylkowy dla N=4 PTS 2015

N=8 PTS 2015

(a) (b) (c) (d) PTS 2015