Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 1 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji - studia stacjonarne AiR, II stopień Specjalność: Systemy sterowania i wspomagania decyzji Wykład /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantzig’a – Wolfe’a dla zagadnień liniowych

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 2 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Problem konsorcjum (program produkcji). Konsorcjum składa się z dwóch fabryk A oraz B. Każda fabryka wykonuje dwa takie same wyroby, jeden klasy Standard (S) i jeden klasy Luksusowej (L). Jednostka wyrobu S daje zysk w wysokości 10j.p., podczas gdy jednostka wyrobu L daje zysk w wysokości 15 j.p. Każda z fabryk wykorzystuje w produkcji dwa procesy – szlifowanie i polerowanie. Fabryka A posiada zdolność produkcyjną wynoszącą 80 godzin szlifowania na tydzień oraz 60 godzin polerowania na tydzień. Dla fabryki B zdolności te wynoszą odpowiednio 60 i 75 godzin na tydzień. Czasy szlifowania i polerowania w godzinach dla jednostki produktu w każdej z fabryk są podane w tablicy.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 3 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Wiadomo ponadto, że do produkcji jednostki produktu każdej klasy zużywa się 4 kilogramy materiału będącego surowcem, a konsorcjum ma 120 kilogramów tego surowca tygodniowo. Popyt na wyroby S oraz L jest taki, że produkcja tygodniowa nie musi być magazynowana. Zarząd konsorcjum chciałby maksymalizować zysk w poszczególnych tygodniach.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 4 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Pierwsze podejście Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Konsorcjum (kierując się np. zdolnościami produkcyjnymi) przydzielają fabryce A, 75 kg surowca a fabryce B, 45 kg surowca na tydzień. Model decyzyjny fabryki A Opcja decyzyjna: ilość wyrobu danej klasy (S,L) z fabryki j=A konsorcjum (A)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 5 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Zasoby na które nałożone są ograniczenia: - zdolności produkcyjne fabryki j=A konsorcjum dla poszczególnych procesów (s,p) - zasoby surowca dla produkcji obydwu wyrobów w fabryce j=A konsorcjum Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Model decyzyjny fabryki A – c.d.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 6 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Zasoby na które nie są nałożone ograniczenia: - zysk z produkcji obydwu wyrobów w fabryce j=A konsorcjum Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Model decyzyjny fabryki A – c.d.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 7 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Niech - czas realizacji procesu k dla wyrobu i w fabryce j=A konsorcjum wówczas ograniczenia zdolności produkcyjnych Model decyzyjny fabryki A – c.d. Dodatkowe oznaczenia i sformułowanie modelu:

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 8 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Model decyzyjny fabryki A – c.d. Niech - zużycie surowca na wyrób i w fabryce j=A konsorcjum wówczas ograniczenia na zasoby surowca

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 9 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Model decyzyjny fabryki A – c.d. Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Niech - zysk z wyrobu i wytwarzanego w fabryce j=A konsorcjum wówczas kryterium oceny opcji

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 10 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Model decyzyjny fabryki A – ostateczne sformułowanie Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Zmaksymalizować spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 11 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Model decyzyjny fabryki A – dla podanych wartości liczbowych Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 12 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Model decyzyjny fabryki B – dla podanych wartości liczbowych Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Podobnie można otrzymać:

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 13 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Rozwiązanie optymalne dla fabryki A Pozostałe (swobodne) moce szlifowania Rozwiązanie optymalne dla fabryki B Pozostałe (swobodne) moce szlifowania Pozostałe (swobodne) moce polerowania

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 14 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Rozwiązanie dla konsorcjum Pozostałe (swobodne) moce szlifowania Pozostałe (swobodne) moce polerowania

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 15 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Drugie podejście Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Zarząd konsorcjum postanowił nie przydzielać apriorycznie ilości surowca fabryce A i N, Postanowiono zestawić model całego konsorcjum i w oparciu o ten model wyznaczyć podział surowca pomiędzy fabryki Model decyzyjny konsorcjum Zmaksymalizować spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 16 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Model decyzyjny konsorcjum - dla podanych wartości liczbowych

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 17 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Strukturalizowane zagadnienia decyzyjne programowania liniowego - przykład Rozwiązanie optymalne - dla konsorcjum i dla fabryk Pozostałe (swobodne) moce szlifowania Pozostałe (swobodne) moce polerowania Podział surowca

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 18 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu Zmaksymalizować lub zminimalizować (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 19 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego metodą simpleks, należy je zapisać w postaci standardowej Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego II. Postać standardowa (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 20 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Sprowadzanie zagadnień programowania liniowego do postaci standardowej Zasada 1: Jeżeli, to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy podstawienia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 21 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Sprowadzanie zagadnień programowania liniowego do postaci standardowej Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 22 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Postać standardowa – Zapis I Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego Zmaksymalizować lub zminimalizować liniową funkcję celu spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 23 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego Postać standardowa – Zapis II Zmaksymalizować lub zminimalizować spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 24 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego Postać standardowa – Zapis III gdzie: Zmaksymalizować lub zminimalizować spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 25 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Liniowe modele decyzyjne – zagadnienia programowania liniowego Postać standardowa – Zapis IV gdzie: Zmaksymalizować lub zminimalizować spełniając ograniczenia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 26 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Zagadnienia programowania liniowego - prawa równoważności Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Zminimalizować

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 27 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Zagadnienia programowania liniowego - prawa równoważności Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: Twierdzenie 2: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 28 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązania zagadnienia programowania liniowego są wektorami, kolumny macierzy współczynników ograniczeń są wektorami, współczynniki funkcji celu tworzą wektor, prawa strona ograniczeń tworzy wektor ……

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 29 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Przestrzeń liniowa Definicja 1.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 30 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 1. – c.d.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 31 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 2. Definicja 3.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 32 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 4.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 33 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 1.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 34 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Zbiory wypukłe Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 5. Definicja 6

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 35 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 7

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 36 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 8. Twierdzenie 2.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 37 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Rozwiązywanie układu równań liniowych algebraicznych

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 38 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 9.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 39 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 10.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 40 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Właściwości rozwiązań zadania programowwania liniowego (a) (b) (c)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 41 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 11. (a) – (c) (b) – (c) Definicja 12. (b) Definicja 13. (c)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 42 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 14. Definicja 15.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 43 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 3.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 44 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 4. (a) maksymalną

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 45 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Twierdzenie 4. - c.d. Geometria i algebra programowania liniowego

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 46 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Twierdzenie 5. Wnioski

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 47 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Geometria i algebra programowania liniowego Definicja 16. Weźmy dowolny zbiór punktów S przestrzeni liniowej. Powłoką wypukłą P(S) danego zbioru S punktów przestrzeni liniowej nazywamy zbiór wszystkich kombinacji wypukłych punktów należących do S Twierdzenie 6. Powłoka P(S) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zawierającym S Wniosek Dysponując wszystkimi rozwiązaniami wierzchołkowymi (wszystkimi rozwiązaniami bazowymi) możemy wygenerować dowolne rozwiązanie dopuszczalne zagadnienia programowania liniowego

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 48 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Idea dekompozycyjnego rozwiązywania zagadnienia programowania liniowego o strukturze blokowej Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - idee Podzagadnienia POZIOM I Zagadnienie główne POZIOM II Centrala systemu (Centrum) Zakład 1 (Podsystem 1) Zakład 2 (Podsystem 2) … Zakład k (Podsystem k)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 49 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - idee Sformułowanie zagadnienia dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a Istnieją zbiory ograniczeń związane tylko i wyłącznie z działalnością poszczególnych zakładów/podsystemów; nazwiemy je ograniczeniami podzagadnień; ograniczenia jednego podzagadnienia nie są powiązane z ograniczeniami innego podzagadnienia (B 1, B 2, …, B k ) Istnieją ograniczenia, które wiążą wszystkie podzagadnienia (A 1, A 2, …, A k ); Należy znaleźć optimum funkcji Z zależnej od wektorów x 1, x 2, …, x k oraz wektorów c 1, c 2, …, c k. Rozważany problem decyzyjny można sformułować jako zagadnienie programowania liniowego o następujących własnościach:

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 50 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a - struktura zagadnienia c0c0 c1c1 c2c2 …ckck z A0A0 A1A1 A2A2 …AkAk =b0b0 B1B1 =b1b1 B2B2 =b2b2 …=… BkBk =bkbk Struktura zagadnienia programowania liniowego rozważana w metodzie dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 51 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – struktura zagadnienia Zasada dekompozycji Dantzig’a – Wolfe’a Rozważamy zagadnienie programowania liniowego o strukturze: Znaleźć wektory które maksymalizują spełniając ograniczenia (i) (ii) (iii)(iv)(v)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 52 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Załóżmy: 1. znamy wszystkie rozwiązania wierzchołkowe – bazowe spełniające zbiory ograniczeń 2. jest zbiorem ograniczonym Wniosek: Dowolne rozwiązanie dopuszczalne można przedstawić jako kombinację wypukłą rozwiązań wierzchołkowych – bazowych zbioru

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 53 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Oznaczmy rozwiązania wierzchołkowe Dowolne rozwiązanie spełniające ograniczenia można przedstawić jako wypukłą kombinację rozwiązań wierzchołkowych:

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 54 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Podstawmy tak skonstruowane rozwiązanie spełniające ograniczenia (iv) – (v), czyli do równań określających ograniczenia (iii) Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne oraz do funkcji kryterialnej (ii) zagadnienia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 55 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Po uwzględnieniu warunków wypukłej kombinacji możemy rozwiązywanie zagadnienia (i) – (v) zastąpić rozwiązywaniem zagadnienia: Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Znaleźć wektory które maksymalizują spełniając ograniczenia (vi) (vii) (viii) (ix) (x)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 56 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Zdefiniujmy transformacje

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 57 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Zagadnienie (vi) – (x) można sformułować: Znaleźć wektory (xi) które maksymalizują spełniając ograniczenia (xii) (xiii) (xiv) (xv)

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 58 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Struktura pełnego zagadnienia ekstremalnego Terminologia:  zagadnienie (xi) – (xv) - pełne zagadnienie ekstremalne 1 m0m0 K

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 59 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Oznaczmy optymalne rozwiązanie pełnego zagadnienia ekstremalnego jako: gdzie,

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 60 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Rozwiązanie optymalne pełnego zagadnienia ekstremalnego pozwala określić optymalne rozwiązanie dla podzagadnień :

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 61 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – pełne zagadnienie główne Terminologia:  pierwsze m wierszy zagadnienia ekstremalnego – wiersze przerzutów  ostatnich k wierszy zagadnienia ekstremalnego – wiersze wypukłości  - kolumna naturalna zagadnienia ektremalnego  - kolumna ekstremalna zagadnienia ekstremalnego

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 62 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Dla efektywnego znalezienia rozwiązania optymalnego zagadnienia ekstremalnego przy korzystaniu ze zmodyfikowanej metody simpleksowej nie jest potrzebna znajomość pełnej struktury zagadnienia ekstremalnego !!!

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 63 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Dla efektywnego znalezienia rozwiązania optymalnego zagadnienia ekstremalnego przy korzystaniu ze zmodyfikowanej metody simpleksowej jest potrzebna znajomość  zestawu kolumn naturalnych i kolumn ekstremalnych tworzących aktualną macierz kolumn bazowych i odpowiadających im wartości i  zestawu kolumn naturalnych i kolumn ekstremalnych oraz odpowiadających im wartości i które wchodząc do kolejnej bazy mogą poprawić aktualną wartość funkcji celu

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 64 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Dla efektywnego znalezienia rozwiązania optymalnego zagadnienia ekstremalnego przy korzystaniu ze zmodyfikowanej metody simpleksowej potrzeba posiadać metodę generowania kolumn ekstremalnych mogących poprawić aktualną wartość funkcji celu pełnego zagadnienia

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 65 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Metoda Dantzig’a – Wolfe’a do wyboru kolumn – kandydatów do wprowadzenia do bazy, wykorzystuje kryterium stosowane w metodzie simpleksowej

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 66 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Oznaczmy macierz utworzoną z bazowych kolumn zagadnienia głownego przez Wektor mnożników simpleksowych odpowiadający aktualnemu rozwiązaniu zagadnienia ekstremalnego Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne gdzie, - wektor składający się z współczynników oraz, które odpowiadają kolumnom aktualnej bazy, wymiar tego wektora gdzie, - podwektor związany z wierszami przerzutów, a, podwektor związany z wierszami wypukłości zagadnienia ekstremalnego

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 67 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Wycena kolumn – kandydatów do wprowadzenia do bazy Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne  Kolumny naturalne  Kolumny ekstremalne

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 68 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Kryterium optymalności rozwiązania ekstremalnego  Kolumny naturalne  Kolumny ekstremalne

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 69 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Poszukiwania kolumn – kandydatów do bazy zagadnienia ekstremalnego  Kolumny naturalne Dla znanych kolumn niebazowych obliczamy Kandydaci

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 70 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – ograniczone zagadnienie główne Poszukiwania kolumn – kandydatów do bazy zagadnienia ekstremalnego – c.d.  Kolumny ekstremalne spełniając ograniczenia Kandydaci Dla znalezienia nowych kolumn ekstremalnych rozwiązujemy K podzagadnień

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 71 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Metoda Dantzig’a – Wolfe’a – struktura kooperacji Centrum systemu Rozwiązuje ograniczone zagadnienie ekstremalne/główne  Poziom II Podsystem 1 Rozwiązuje podzagadnienie L o1 Podsystem p Rozwiązuje podzagadnienie L op Podsystem K Rozwiązuje podzagadnienie L oK

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 72 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Bibliografia George B. Dantzig, Linear Programming and Extensions, Princeton University press, Princeton, 1963 George B. Dantzig, Mukund N. Thapa. Linear programming 1: Introduction. 2: Theory and Extensions. Springer, Saul I. Gass, Programowanie liniowe, PWN, Warszawa, Kazimierz Duzinkiewicz, Analiza wybranych metod wielopoziomowej optymalizacji produkcji w kombinacie rafineryjno – petrochemicznym. Część II: Metoda Dantzig’a – Wolfe’ dekompozycji programu liniowego. Badania i analiza możliwości wykorzystania do dwupoziomowej optymalizacji produkcji w kombinacie rafineryjno – petrochemicznym. Praca dyplomowa magisterska – Politechnika Gdańska, 1973.

Katedra Inżynierii Sterowania Komputerowe systemy sterowania i wspomagania decyzji 2015/2016 © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. 73 Dekompozycyjne metody koordynacji – metoda Dantizg’a – Wolfe’a Dziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu