Wartość pieniądza w czasie

Plan wykładu Wprowadzenie Wartość przyszła Inwestowanie na jeden okres Inwestowanie na więcej niż jeden okres Oprocentowanie proste Oprocentowania składane Przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek wciągu roku W przypadku nieregularnych w czasie przepływów pieniężnych Annuitów Podsumowanie wartości przyszłej

Podsumowanie wartości pieniądza w czasie Wartość bieżąca Inwestowanie na jeden okres Inwestowanie na więcej niż jeden okres Oprocentowanie proste Oprocentowania składane Przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek wciągu roku W przypadku nieregularnych w czasie przepływów pieniężnych Annuitów Podsumowanie wartości bieżącej Podsumowanie wartości pieniądza w czasie

Wprowadzenie Złotówka posiadana dzisiaj jest więcej warta od złotówki posiadanej za jakiś czas. Czekając można zarobi odsetki z oprocentowania. Główne zasady wartości bieżącej (PresentVaue –PV) tworzą podstawy tego twierdzenia i pozwalają oceniać ile dokładnie w przeliczeniu na dzisiejsze złotówki jest warta złotówka obiecana w przyszłości. Pozwalają także przenosić strumienie wartości pieniężnych w czasie.

Większośc decyzji z zakresu zarządzania finansami związana jest z porównywaniem wartości strumieni pieniężnych teraz i w przyszłości.

Idea Pieniądz jak każde dobro ma swa wartośc, którą wyraża jego cena – stopa procentowa, która podlega wahaniom w czasie.

Na wartość pieniądza wpływają: czynniki makroekonomiczne m.in.: procesy inflacyjne zmiana kursu walut czynniki mikroekonomiczne: koszt utraconych korzyści preferencje inwestorów dotyczących rozkładu konsumpcji w czasie

Operacje TVM – Time Value of Money Takie operacje, w których wszystko jest regularne. Okresy oprocentowania i płatności pokrywają się. Na przykład przez 15 lat, co miesiąc, odkładasz w banku 200 zł. Pieniądze kapitalizowane są co kwartał. Po 15 latach wypłacasz z banku pieniądze, kupujesz mieszkanie.

Operacje CF –Cash Flow Takie operacje, w których przepływy są nieregularne. Na przykład masz konto w banku. Miałeś na nim 5000 zł, 3 razy wpłynęła tam Twoja pensja 5.000 zł, uregulowałeś czynsz 320 zł, pożyczyłeś koledze 100 zł, siostra oddała Ci 250 zł. Pieniądze raz dostawałeś, a innym razem wydawałeś.

Oprocentowanie – obliczanie wartości przyszłej Operacja oprocentowania – „liczenie do przodu” polega na ustaleniu kwoty do jakiej wzrośnie – po określonym czasie – uruchomiony kapitał, służy zatem poszukiwaniu przyszłej wartości pieniądza.

Wartość przyszła : Wyraża wartość jaką określona suma pieniędzy pożyczonych lub zainwestowanych osiągnie po upływie pewnego okresu przy danym poziomie stopy procentowej. Jest wartością inwestycji wyrażoną w gotówce w pewnym czasie w przyszłości.

Inwestowanie na jeden okres Przypuśćmy, że inwestujesz wpłacając 1000 zł na rachunek oszczędnościowy, który jest oprocentowany w wysokości 10% w skali roku. Jaką kwotę otrzymasz za rok? 1100 zł. Kwota 1100 zł składa się z kapitału początkowego 1000 zł i 100 zł zarobionych odsetek.

Naliczanie odsetek prostych za jeden okres O = PV × r Gdzie: O – wielkośc odsetek, r- stopa procentowa (dla jednego okresu) PV – kwota początkowa (inwestowana) FV = PV + O FV = PV + (PV × r ) = PV(1+r), FV – przyszła kwota

Inwestowanie na dłużej niż jeden okres Powrócmy do 1000 zł, które chcesz zainwestowac, tym razem na dwa lata. Po roku wybierasz odsetki w wysokości 100 zł, a pozostałe 1000 zł nadal pozostaje w banku. Ile będziesz miał po dwóch latach, zakładając, że stopa procentowa się nie zmieni? 1200 zł. Po pierwszym roku otrzymasz 100 zł odsetek i po drugim tyle samo. W sumie będziesz miał 1000 zł + 100 zł + 100 zł = 1200 zł.

Naliczanie odsetek prostych za więcej niż jeden okres Odsetki nie powiększają kwoty, od której są naliczane, czyli nie są kapitalizowane. O = PV × r × t FV = PV + PV × r × t = PV(1+ r ×t)

Przykład Po jakim czasie lokata w wysokości 100 zł osiągnie wartośc 120 zł, jeżeli stopa oprocentowania wynosi 8%? Posługujemy się wzorem na koapitalizację prostą: 120 = 100(1 + 0,08t), a następnie obliczamy t. Wynosi ono 2,5, co oznacza, że po dwóch i pół roku nasza lokata osiągnie żądaną wartoś.

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych bez kapitalizacji

Procent z procentu Powrócmy do 1000 zł, które chcesz zainwestowac. Ile będziesz miał po dwóch latach, jeżeli nie wybierzesz odsetek, zakładając, że stopa procentowa się nie zmieni? 1210 zł. Jeśli cała kwota 1100 zł zostanie w banku, to po drugim roku zarobisz 1100zł × 0,1 = 110 zł. W sumie będziesz miał 1100 zł + 110 zł = 1210 zł.

Procent składany to największy wynalazek XX wieku Procent składany to największy wynalazek XX wieku. Albert Einstein W bankach proces ten nazywa się rolowaniem lokaty.

Naliczanie odsetek złożonych Odsetki powiększają kwotę, od której naliczane jest oprocentowanie – są kapitalizowane. FV = PV (1+ r)t

Czynnik przyszłej wartości przy stopie r (Future Value Factor)

Wartość przyszła (FV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach

Kapitalizacja (składanie) Proces kumulowania w czasie odsetek z inwestycji w celu zarobienia wyższego oprocentowania.

Procent z procentu Procent zarabiany na reinwestowaniu wcześniej wypłacanych odsetek.

Oprocentowanie proste – odsetki nie są pierwotnie inwestowane, tak więc zarabiany procent jest obliczany w każdym okresie tylko z kapitału pierwotnego. Oprocentowanie składane – procent zarabiany jest zarówno z kapitału początkowego, jak i z reinwestowanych odsetek uzyskanych w wcześniejszych okresach.

Efekt kapitalizacji nabiera znaczenia, gdy wydłuża się horyzont czasowy.

FV przy zmiennej stopie procentowej FV = PV × (1+ r1 )× (1+ r2) …× (1+ rt)

FV przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku Gdzie: S – liczba kapitalizacji przeprowadzanych w ciągu roku

Przykład: Wartośc 1 zł po 20 latach wyniesie 2,65 zł, 7,72 zł i 16,36 zł w przypadku stóp odpowiednio: 5,10 i 15%. Sumę 16,36 zł obliczono następująco: Gdyby kapitalizacji dokonywano co miesiąc, wtedy wartośc 1 zł zwiększyłaby się do:

Przykład Pewien bank oferuje lokaty miesięczne o rocznym oprocentowaniu 6%. Klient założył lokatę o wysokości 5000 zł i zlecił jej automatyczne rolowanie. Lokatę zlikwidował dopiero po dwóch latach. Jaką sumę udało mu się zaoszczędzic (przy założeniu, że stopa procentowa nie uległa zmianie)?

FV w przypadku nieregularnych w czasie przepływów pieniądza Gdzie: CFt – przepływ pieniężny na koniec okresu t

Kapitalizacja dyskretna i ciągła Wszystkie przykłady przedstawione do tej pory dotyczyły kapitalizacji dyskretnej (odsetki dopisywane są co pewien czas), która jest zazwyczaj stosowana w praktyce bankowej. W pewnych sytuacjach używa się kapitalizacji ciągłej – kapitał zwiększa się w sposób ciągły.

Kapitalizacja ciągła

Przykład Załóżmy, że jesteśmy w posiadaniu 100 zł, r = 10%, a t=5. Suma ta zdeponowana na lokacie rocznej, miesięcznej i O/N wynosi:

W przypadku kapitalizacji ciągłej suma ta będzie jeszcze większa:

Renta okresowa czyli annuity Jest to seria płatności okresowych. Mamy z nią do czynienia np. przy spłacaniu kredytu samochodowego czy hipotecznego.

Najczęściej występuje renta zwykła, kiedy płatności dokonywane są na końcu okresu (z dołu). Czasami płatności dokonuje się na początku okresu – renta okresowa z góry.

FV annuitów (seria stałych płatności w równych odstępach czasu)

Przykład Do banku został złożony na n=3 lata depozyt o wartości PV = 1 000zł. Oprocentowanie depozytu wynosi r = 10% rocznie. Należy określić przyszłą wartość tego depozytu na koniec trzeciego roku (FV3) dla rocznej kapitalizacji.

Przykład Do banku pod koniec każdego roku jest składany depozyt w wysokości 1000 zł. Oprocentowanie roczne wynosi 10% przy rocznej kapitalizacji. Należy obliczyć wartość przyszłą trzech płatności po 1000 zł na koniec trzeciego roku.

Podsumowanie wartości przyszłej Wartość przyszła zależy od: wartości początkowej, stopy procentowej oraz ilości okresów (jest zawsze większa gdy odsetki są kapitalizowane). Wartość przyszła jest wyższa dla wpływów dokonywanych z góry, gdyż każdy przepływ procentuje o okres dłużej.

Wartość bieżąca

Dyskontowanie – obliczanie wartości bieżącej Operacja dyskontowania – „liczenie do tyłu” polega na ustaleniu obecnej (dzisiejszej) wartości przychodów spodziewanych w przyszłości. Jest to proces „powracania wartości w czasie”, a stosowana stopa (cena pieniądza) nazywana jest stopą dyskontową.

Wartość bieżąca (Present Value – PV) Bieżąca wartość przyszłych przepływów pieniężnych zdyskontowanych odpowiednią stopą dyskontową.

Wartość bieżąca: Ocena wartości bieżącej jest wykorzystywana przede wszystkim w procesie analizy nakładów inwestycyjnych. Jest to przeciwieństwo wartości przyszłej. Przykładowo : przy założeniu, że stopy procentowe utrzymują się na poziomie 6 procent, 106 tysięcy, które uzyskamy za rok, byłoby obecnie warte 100 tysięcy. To prowadzi do wniosku, że jedna złotówka dziś warta jest więcej niż jedna złotówka jutro. W przykładzie 106 tysięcy złotych uzyskanych za rok miałoby dziś wartość 100 tysięcy złotych.

Pytanie: Ile musimy zainwestować dzisiaj, przy 10- procentowej stopie, aby otrzymać 1000 zł za rok? Wartość teraźniejsza × 1,1 = 1000 zł Wartość teraźniejsza = 1000 zł/1,1 = 909 zł

Wartość teraźniejsza jest odwrotnością wartości przyszłej Wartość teraźniejsza jest odwrotnością wartości przyszłej. Zamiast kapitalizować pieniądz w przyszłych okresach, dyskontujemy go do teraźniejszości.

Obliczanie PV

Czynnik aktualnej wartości przy stopie r

Wartość bieżąca (PV) płatności pojedynczych z uwzględnieniem niemożliwości jednokrotnej kapitalizacji w poszczególnych okresach

PV przy zmiennej stopie procentowej

PV przy wielokrotnej kapitalizacji odsetek w ciągu roku

PV dla regularnych wpływów różnej wartości

Stopa dyskontowa Stopa używana do obliczania wartości teraźniejszej przyszłych przepływów pieniężnych.

Wycena za pomocą dyskontowania przepływów pieniężnych (DCF) Obliczanie wartości teraźniejszej przyszłych przepływów pieniężnych.

Wartość bieżąca annuity na koniec poszczególnych okresów (z dołu) PVA = A ∙ (1+r)t -1 r∙(1+r)t-1 z dołu gdzie : PVA – wartość bieżąca annuity dla n płatności i stopy dyskontowej równej r A – wielkość cyklicznej płatności (annuity) r – stopa dyskontowa t - liczba płatności

Wartość bieżąca annuity z góry PVA = A∙ lub PVA = PVA ∙ (1+r) r (1+r)t-1 z góry z góry z dołu gdzie : PVA – wartość bieżąca annuity dla n płatności stopy dyskontowej r A – wielkość cyklicznej płatności (annuity) r – stopa dyskontowa t– liczba płatności

Przykład Na koniec trzeciego roku otrzymujemy kwotę 1 000 zł. Stopa dyskontowa wynosi r = 10%. Oblicz wartość bieżącą powyższej kwoty.

Przykład Nabywca rozważa zakup pewnego dobra w trzech rocznych płatnościach po PMT = 1000 zł, ponoszonych na koniec każdego roku. Stopa dyskontowa wynosi r=10%. Należy obliczyć wartość bieżącą tych trzech płatności.

Przykład Firma zaciąga pożyczkę w wysokości 10 000 zł na n = 5 lat, przy oprocentowaniu rocznym r = 25%. Należy zaprojektować plan spłaty pożyczki dla dwóch wariantów: Pożyczka jest spłacana pod koniec każdego roku w 5 stałych ratach kapitałowych. Odsetki są naliczane według malejącego salda zadłużenia na koniec każdego roku. Pożyczka jest spłacana pod koniec każdego roku w 5 stałych płatnościach (annuity). Oznacza to, że suma odsetek i raty kapitałowej na koniec każdego roku jest stała.

Podsumowanie wartości bieżącej Wartość bieżąca zależy od: wartości przyszłej, stopy procentowej oraz ilości okresów.

Podsumowanie teorii wartości pieniądza w czasie Konsekwencją zmiennej wartości pieniądza w czasie jest to, że przy podejmowaniu wszelkiego rodzaju działań mających skutki finansowe, zachodzi konieczność porównywania kwot pieniężnych pochodzących z różnych okresów.