© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 1 Podstawy automatyki I - studia stacjonarne Wykład 2+3a /2016 Mieczysław Brdyś, prof. dr hab. inż Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Dynamika obiektów – zapis za pomocą modeli

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 2 Budowa układu sterującego, poza znajomością  celu, czyli pożądanego rezultatu oddziaływania na obiekt sterowany, wymaga posiadania wiedzy o:  obiekcie sterowanym, aby móc przewidywać skutki sterowania w różnych warunkach  ograniczeniach sterowania, które mogą wynikać z cech obiektu sterowanego lub z ograniczonych możliwości oddziaływania układu sterującego,  wskaźniku dobroci/jakości sterowania, który pozwoli nam ocenić na ile dobre jest wskazane przez nas sterowanie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 3  uświadamiane lub nawet nie uświadamiane reguły, którym podlega zachowanie obiektu,  ustalone z doświadczenia i spisane w utrukturalizowany sposób reguły reakcji obiektu na określone bodźce w określonych warunkach  ustalone w oparciu o wiedzę aprioryczną lub o doświadczenie zależności matematyczne pozwalające wyznaczać dla określonych warunków reakcje – odpowiedzi obiektu na określone bodźce – wymuszenia  Wiedza o systemie/obiekcie sterowanym może być przedstawiona w rożnej postaci

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 4 Propozycja kroków budowy modelu obiektu/systemu dynamicznego w oparciu o wiedzę aprioryczną Budowa modelu matematycznego, który będzie opisywał idealizowaną reprezentację obiektu  Krok I: Dokładne określenie obiektu, który ma być modelowany i jego wyodrębnienie z otoczenia  Krok II: Obmyślenie idealizowanej reprezentacji obiektu, której właściwości będą w dostatecznym stopniu zgodne w zakresie interesujących nas cech (wynikających m. in. z celów modelowania) z właściwościami obiektu rzeczywistego  Krok III:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 5 Krok I Wyodrębnienie obiektu Wyodrębnienie obiektu wyraża się wyborem wielkości wejściowych – tych wielkości, którymi otoczenie oddziałuje na obiekt oraz wielkości wyjściowych – tych wielkości, którymi obiekt oddziałuje na otoczenie Krok II Idealizowana reprezentacja Idealizowana reprezentacja obiektu powstaje poprzez przyjęcie szeregu założeń, które w modelowanym obiekcie rzeczywistym są spełnione w określonym stopniu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 6 Krok III Budowa modelu (struktury) Budowę modelu w oparciu o wiedzę aprioryczną przeprowadza się wykorzystując: (a)prawa zachowania lub inne podstawowe prawa o charakterze bilansowym (np. prawa Kirchhoff’a, Newtona, zachowania masy, itd..) (b) zasadę najmniejszego działania, zwaną często zasadą Hamiltona

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 7 Zmienne modelu dogodnie jest podzielić na zmienne:  przepływu,  naporu Zmienne przepływu są wielkościami, które wyrażają intensywność przepływu określonej wielkości przez element obiektu/systemu, bądź szybkość zmian w czasie określonej wielkości Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – prędkość liniowa wyrażona np. w metrach/sekundę lub prędkość kątowa wyrażona np. w radianach/sekundę; 2) W systemach elektrycznych – natężenie prądu wyrażone np. w amperach (kulombach/sekundę);

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 8 Przykłady (c.d.): 3) W systemach płynowych – objętościowe natężenie przepływu wyrażone np. w metrach sześciennych/sekundę, lub masowe natężenie przepływu wyrażone w np. w kilogramach/sekundę; 4) W systemach cieplnych – natężenie przepływu ciepła wyrażone np. w joulach/sekundę

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 9 Przykłady: 1) W systemach mechanicznych – siła działająca na element wyrażona np. w niutonach; 2) W systemach elektrycznych – napięcie wyrażone np. w woltach; 3) W systemach płynowych – spadek ciśnienia wyrażony np. w pascalach 4) W systemach cieplnych – temperatura wyrażona np. w stopniach Celsjusza Zmienne naporu są wielkościami, które są miarą różnicy stanów określonej wielkości na dwóch końcach elementu obiektu/systemu, wyrażają „napór” jakiemu poddany jest element

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 10 Budowa modelu obiektu/systemu w oparciu o prawa zachowania sprowadza się do: sformułowania zależności (równań) wyrażających warunki równowagi, lub zależności (równań) wyrażających warunki spójności Zależności równowagi są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i nazywane są czasem zależnościami dla węzłów lub zależnościami ciągłości (I prawo Kirchhoff’a, równanie ciągłości strugi, równanie sił w węźle,...) Zależności spójności są zawsze zależnościami pomiędzy zmiennymi naporu (II prawo Kirchhoff’a, spadek ciśnienia na połączonych kolejno odcinkach rurociągu,...)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 11 Po wyprowadzeniu równań bilansowych rozwijamy (uszczegóławiamy) je przez uwzględnienie w nich zależności wiążących zmienne związane z poszczególnymi elementami systemu Zależności wiążące są zależnościami pomiędzy zmiennymi przepływu i naporu dla każdego poszczególnego elementu systemu (np....)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 12 Przykład 1: obiekt - czwórnik RC Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe czwórnika z napięciem wyjściowym, przy nie obciążonym prądowo wyjściu czwórnika Systemy dynamiczne – przykłady modeli fenomenologicznych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 13 Zmienne obiektu: - spadku: u we (t), u wy (t), u R (t), u C (t), - wejście: u we (t) - naporu: i R (t), i C (t), i obc (t), - wyjście: u wy (t),

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 14 Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoff’a dla wejściowego oczka: Uwzględnienie założeń: Założenie:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 15 Uwzględnienie tożsamości (więzów): Wypisanie zależności wiążących dla elementów czwórnika:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 16 Podstawienia – wykorzystanie założeń, tożsamości i zależności wiążących:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 17 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 18 Przy ustalaniu warunków początkowych przydatne wskazówki Przypomnijmy zależności wiążące wartości napięcia i prądu na podstawowych elementach układów elektrycznych - możliwa skokowa zmiana prądu - możliwa skokowa zmiana napięcia - możliwa skokowa zmiana prądu - niemożliwa skokowa zmiana napięcia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 19 - możliwa skokowa zmiana napięcia - niemożliwa skokowa zmiana prądu W naszym przykładzie: Jeżeli przed załączeniem wyłącznika to ponieważ to

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 20 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 1: Struktura modelu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 21 Cel budowy modelu: ustalenie zależności wiążących napięcie wejściowe obwodu z prądem płynącym przez cewkę indukcyjną Przykład 2: obiekt – obwód RL

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 22 Zmienne obiektu: - spadku: u we (t), u wy (t), u R (t), u L (t), - wejście: u we (t) - naporu: i R (t), i L (t) - wyjście: i L (t), Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek spójności - II prawo Kirchhoff’a dla wejściowego oczka: Uwzględnienie tożsamości (więzów):

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 23 Wypisanie zależności wiążących dla elementów obwodu: Podstawienia – wykorzystanie tożsamości i zależności wiążących:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 24 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 25 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 2: Struktura modelu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 26 Wniosek z przykładów 1 i 2: Różne układy elektryczne - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych MnMn MoMo  Przykład 3: obiekt – wirnik silnika elektrycznego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 27 Budowa modelu: Prawo równowagi – warunek równowagi - II prawo Newton’a dla ruchu obrotowego: M B - moment d’Alemberta (moment pędu) określony wzorem

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 28 Zależności wiążące: - przyjmując założenie upraszczające, że obwody magnetyczne silnika pracują w zakresie liniowych części charakterystyk magnesowania G – indukcyjność rotacji silnika i w – prąd obwodu wzbudzenia silnika i t – prąd obwodu twornika silnika - przyjmując założenie, że prąd wzbudzenia silnika utrzymywany jest na stałej wartości K w – stała elektromechaniczna obwodu wzbudzenia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 29 - przyjmując założenie, że na moment oporowy składają się opory wewnętrzne silnika oraz zewnętrzny moment oporowy M ow – moment oporowy wewnętrzny M oz – moment oporowy zewnętrzny D – współczynnik tarcia wewnętrznego (lepkiego) - przyjmując założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 30 Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 31 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 32 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 3: Struktura modelu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 33 Wniosek z przykładów 1 i 2 oraz 3 Różne natura fizyczna układów - taka sama struktura modeli – równań różniczkowych Jeżeli założenie, że moment oporowy zewnętrzny jest pomijalnie mały, nie może być przyjęte Przykład 4: obiekt – wirnik silnika elektrycznego, moment obciążenia niepomijalny

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 34 Podstawienia – wykorzystanie założeń i zależności wiążących:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 35 Model matematyczny: Równanie różniczkowe: z warunkiem początkowym: lub:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 36 Graficzne zobrazowanie: Obiekt dynamiczny Prawo przekształcenia u(t) w y(t) Przykład 4: Struktura modelu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 37 Połączmy wyniki uzyskane w przykładach 2, 3 oraz 4, wykorzystajmy naszą wiedzę aprioryczną o procesach w silniku prądu stałego i zbudujmy jego model (przy określonych założeniach) – następny wykład Spostrzeżenie z przykładu 4 Dwa rodzaje wejść – wejście na które możemy mieć wpływ, i t – sterowanie oraz wejście na które wpływu nie mamy, M oz - zakłócenie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy automatyki 2015/2016 Dynamika obiektów - modele 38 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu