 1 e W królestwie liczb 0,11111111111111111111111111... a + b i -3241 3,567 1,23456789101112131411516171819202122232425262728293031...

SPIS TREŚCI podział liczb rzeczywistych liczba  liczby naturalne liczby całkowite liczby wymierne liczby niewymierne zbiór liczb rzeczywistych na diagramach Venna zbiór liczb rzeczywistych a oś liczbowa liczby zespolone kwaterniony liczba  złota liczba  liczba e liczby zaprzyjaźnione liczby doskonałe liczby bliźniacze najpiękniejszy wzór matematyki

Podział liczb rzeczywistych

Liczby naturalne Leopold Kronecker (1823 – 1891) "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne ( 1, 2, 3, 4, 5...) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również liczbę 0, która oznacza moc (liczbę elementów) zbioru pustego. Leopold Kronecker (1823 – 1891) Zbiór liczb naturalnych dodatnich zapisujemy następująco: Zbiór wszystkich liczb naturalnych zapisujemy następująco:

Liczby naturalne mogą także wyrażać porządek – następna liczba naturalna n ustawia się za swoją poprzedniczką, czyli liczbą (n – 1) podążając drogą ku nieskończoności. Symbole cyfrowe, których używamy obecnie do zapisywania liczb naturalnych ( i nie tylko) zawdzięczamy Arabom. To oni „przywieźli” cyfry zwane dziś „arabskimi” z północnych Indii, gdzie znane były od V wieku n.e. W Europie hindusko – arabski system liczbowy propagował w XIII wieku Leonardo z Pizy (Fibonacci).

Liczby pierwsze Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... . Euklides ok. 365 p.n.e – ok. 300 p.n.e Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” .

Euklides udowodnił, że: Liczby pierwsze w matematyce mają podobne znaczenie , jak w fizyce cząsteczki materii. To cegiełki, podstawowe klocki, z których można zbudować liczby złożone, czyli liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi. Euklides udowodnił, że: Każdą liczbę naturalną n > 1 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych ( z dokładnością do kolejności ich występowania w tym rozkładzie). np. 12 = 2.2.3 75900 = 2.2.3.5.5.11.23

Pobity został kolejny rekord poszukiwań liczb pierwszych. Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Odkrycie zostało dokonane 14 listopada 2001 r. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr i ma postać 213466917 - 1, Gdyby spróbować wydrukować ją w  książce formatu A – 5, to książka ta musiałaby mieć co najmniej 1000 stron.

Jak szukamy liczb pierwszych ? Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, choć to przesiewanie jest dosyć żmudne.

Liczby całkowite W zbiorze liczb naturalnych nie jest wykonalne odejmowanie. Zaistniała więc konieczność utworzenia zbioru, do którego należałyby, oprócz liczb naturalnych, wszystkie ich różnice, np. 2 – 7, 0 – 1000. W ten sposób powstał zbiór liczb całkowitych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy C. C = { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  N C = { ..., -4, -3, -2, -1 }  { 0 }  { 1, 2, 3, 4, ... } C = C-  { 0 }  C+ 1 2 3 4 5 6

Liczby wymierne Liczbę nazywamy wymierną, jeżeli można przedstawić ją w postaci ułamka zwykłego, którego licznik i mianownik są liczbami całkowitymi i mianownik jest różny od zera. Zbiór liczb wymiernych zapisujemy następująco: Przykłady liczb wymiernych:

Liczby wymierne można przedstawiać także w postaci rozwinięcia dziesiętnego skończonego (a) albo nieskończonego i okresowego (b). Przykłady: (a) (b) W rozwinięciu dziesiętnym okresowym po przecinku powtarza się cyfra lub grupa cyfr tzw. okres rozwinięcia dziesiętnego.

Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn Zbiór liczb wymiernych jest gęsty tzn. między dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi zawsze znajdziemy liczbę wymierną. Kliknij tutaj

„Wszystko jest liczbą ?!” Liczby niewymierne W V w. p.n.e. Pitagoras i jego uczniowie dokonali prawdziwie dramatycznego odkrycia.Stwierdzili bowiem, że długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym nie jest liczbą wymierną. To burzyło ich dotychczasowy porządek i boskie proporcje świata, który - jak wierzyli –powinien dać się opisać liczbami wymiernymi. „Wszystko jest liczbą ?!” Pitagoras (ok. 572 - 497 p.n.e)

Pitagorejczycy postanowili trzymać w tajemnicy fakt odkrycia liczb niewymiernych, ale jeden z członków Związku Pitagorejskiego, Hippasus, zdradził ów sekret. Według legendy został za karę utopiony przez kolegów matematyków. 1 Liczby niewymiernej nie możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Każdą liczbę niewymierną możemy przedstawić w postaci nieskończonego i nieokresowego rozwinięcia dziesiętnego. Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy NW lub IQ.

Przykłady innych liczb niewymiernych (1) liczba Archimedesa:  L – długość okręgu r – promień okręgu L 2r Archimedes z Syrakuz (ok. 287 – 212 p.n.e.) - najwybitniejszy matematyk, fizyk i inżynier starożytnej Grecji, prekursor rachunku całkowego. Obliczył objętość kuli. Twórca nowych metod w arytmetyce i teorii dźwigni, wyporu, rzutu pionowego i ukośnego. Wprowadził pojęcie środka ciężkości.

Przykłady innych liczb niewymiernych (2) liczba Nepera: e = 2,718281828459045235360287471352662497757... John Neper ( Napier) żył w latach 1550 – 1617 ; matematyk szkocki, wynalazca logarytmów. Sporządził tablice logarytmów (dziesiętnych) liczb i funkcji trygonometrycznych.

Przykłady innych liczb niewymiernych (3) 0,1234567891011121314151617181920212223242526272829... 1,010110111011110111110111111011111110111111110111111111... Pamiętaj! Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest zawsze nieskończone i nieokresowe.

Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory NW W C N N+ R – zbiór liczb rzeczywistych W – zbiór liczb wymiernych NW – zbiór liczb niewymiernych C - zbiór liczb całkowitych N – zbiór liczb naturalnych N+ – zbiór liczb naturalnych dodatnich

Oś liczbowa – prosta, na której wyróżniono punkt początkowy (0), odcinek jednostkowy i zwrot. Każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowany jest dokładnie jeden punkt na prostej (osi liczbowej), i odwrotnie. np. R

z = a + bi Liczby zespolone Liczbą zespoloną z nazywamy uporządkowaną parę liczb rzeczywistych (a, b). Liczbę z możemy zapisać w postaci sumy: z = a + bi, gdzie a,b są liczbami rzeczywistymi, a liczba i jest tzw. jednostką urojoną. Jednostka urojona i ma niespotykaną w zbiorze R własność: i2 = -1. z = a + bi a- część rzeczywista liczby zespolonej(Re z) b- część urojona liczby zespolonej(Im z)

Liczb zespolonych nie można przedstawić jednej na osi liczbowej. Potrzebują one całej płaszczyzny, wyznaczonej przez dwie osie. Liczby zespolone interpretujemy geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Liczbie zespolonej a + bi odpowiada punkt o współrzędnych (a,b) płaszczyzny z prostokątnym układem współrzędnych. Punktom osi OX odpowiadają liczby rzeczywiste, a punktom osi OY liczby urojone. Płaszczyznę, na której umieściliśmy liczby zespolone, nazywamy płaszczyzną Gaussa.

Kwaterniony Kwaternion - uogólnienie liczby zespolonej postaci u=a+b⋅i+c⋅j+d⋅k, gdzie a,b,c,d - liczby rzeczywiste, i,j,k spełniają układ równań: i2=j2=k2=-1, ij=-ji=k, ki=-ik=j, jk=-kj=i. Termin kwaternionu wprowadził jako wielowymiarowe uogólnienie liczby zespolonej William Rowan Hamilton. Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), irlandzki matematyk, astronom i fizyk teoretyczny.

Najciekawsze okazy w świecie liczb

W zasadzie  jest w użyciu od czasu wynalezienia koła. Liczba  - krótki kurs historii W królestwie liczb nie ma równości. Prym wiodą arystokratki, z których najbardziej znana jest liczba  zwana też liczbą Archimedesa. Czym zasłużyła sobie na te honory? Cóż, potrafi znaleźć się w każdej sytuacji i ma nadzwyczajną moc opisywania świata. W zasadzie  jest w użyciu od czasu wynalezienia koła. Na ślad  natrafiamy w starożytnym Egipcie w tzw. papirusie Rhinda z XVIII w. p.n.e. uchodzącym za najstarszy podręcznik matematyki.

Ahmes ( XVII w. p.n.e. ) – nadworny pisarz faraona Rha-a-usa, był autorem jednej z najstarszych prac matematycznych, zwanej papirusem Rhinda ( od nazwiska angielskiego egiptologa, który ją odnalazł) lub papirusem Ahmesa. Papirus ten zawiera 85 zadań matematycznych o charakterze praktycznym i ich rozwiązania. 11 zadań prowadzi do rozwiązania prostych równań. Ahmes niewiadomą oznacza słowem hau (stos). Papirus zawiera m.in. obliczenia pól figur płaskich. Autor przyjmował, że pole koła równa się polu kwadratu o boku równym 8/9 średnicy koła, z czego wynika, że u Ahmesa  = 3,16049. Dokładność, jak na owe czasy, zdumiewająca.

Liczba  to stała matematyczna określająca również stosunek długości okręgu koła do długości jego średnicy. Używany dzisiaj symbol  wprowadził w 1706 roku William Jones w książce pt. „Synopsis Palmariorum Matheseos” ( pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia", czyli obwód, okrąg). Symbol  został spopularyzowany w połowie XVIII w. przez matematyka i fizyka szwajcarskiego Leonarda Eulera (1707-1783).

 jest liczbą niewymierną ! Liczba  nazywana jest też ludolfiną . Nazwa ludolfina pochodzi od imienia Ludolfa van Ceulena (1540 – 1610), pierwszego nowożytnego badacza , który, aż do swej śmierci, próbował obliczyć wartość liczby . Sądził bowiem, podobnie jak współcześni jemu matematycy, że  jest liczbą wymierną.Udało mu się podać 35 początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego.Niestety, po śmierci Ceulena okazało się, że tylko pierwszych 20 cyfr wyznaczył prawidłowo. Dopiero 1767 roku matematyk, fizyk, astronom i filozof szwajcarski, Johann Heinrich Lambert (1728-1777), udowodnił, że :  jest liczbą niewymierną !

Na przestrzeni tysiącleci ludzie znajdowali coraz lepsze przybliżenia liczby . Dla niejednego matematyka wyznaczenie wartości  z jak największą dokładnością stało się celem życia. Efekty pracy matematyków znajdziesz w tabeli.

W drugiej połowie XX wieku rozpoczęła się era pierwszych komputerów W drugiej połowie XX wieku rozpoczęła się era pierwszych komputerów. Miała ona ogromny wpływ również na matematykę, a w szczególności na historię kolejnych przybliżeń liczby . W ciągu ostatnich 50 lat, liczba poznanych cyfr dziesiętnych liczby  zmieniała się bardzo dynamicznie. W 1949 roku znano 1120 cyfr, zaś w 1997 roku już ponad 50 milionów razy więcej. Autorzy Rok Liczba cyfr George Reitwiesner i jego współpracownicy 1949 2037 S.C. Nicholson i J. Jeenel 1954 3092 G.E. Felton 1957 7480 Francois Genuys 1958 10000 10021 Guilloud 1959 16167 W. Shanks i J.W. Wrench 1961 100265 Guilloud i Filliatre 1966 250000 Guilloud i Dichampt 1967 500000 Guilloud i Bouyer 1973 1001250 Miyoshi i Kanada 1981 2000036 Yoshiaki Tamura 1982 2097144 Yoshiaki Tamura i Yasumasa Kanada 4194288 Kanada, Yoshino i Tamura 16777206 William Gosper 1985 17526200 Bailey 1986 29360111 Yasumasa Kanada i Yoshiaki Tamura 33554414 Kanada, Tamura, Kubo i inni 1987 134217700 1988 201326551 Gregory i David Chudnovsky 1989 480000000 536870898 2260000000 Daisuke Takahashi i Yasumasa Kanada 1995 4294967286 Yasumasa Kanada 1997 51539600000  

Poszukiwania coraz dokładniejszych rozwinięć dziesiętnych liczby  nadal trwają. Yasumasa Kanada 20 VIII 1999 roku podał ponad 206 miliardów cyfr rozwinięcia dziesiętnego ludolfiny (być może do tej pory ów rekord został pobity).  

Liczba  jest też ,,bohaterką" wiersza laureatki Nagrody Nobla Wisławy Szymborskiej. Liczba Pi Podziwu godna liczba Pi trzy koma jeden cztery jeden. Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowe, pięć dziewięć dwa ponieważ nigdy się nie kończy. Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem osiem dziewięć obliczeniem siedem dziewięć wyobraźnią, a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniem cztery sześć do czegokolwiek dwa sześć cztery trzy na świecie. Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne. Korowód cyfr składających się na liczbę Pi nie zatrzymuje się na brzegu kartki, potrafi ciągnąc się po stole, przez powietrze, przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo, przez całą nieba wzdętość i bezdenność. O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety! Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni! A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście mój numer telefonu twój numer koszuli rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr, w którym słowiczku mój a leć, a piej oraz uprasza się zachować spokój, a także ziemia i niebo przeminą, ale nie liczba Pi, co to to nie, 0na wciąż swoje niezłe jeszcze pięć, nie byle jakie osiem, nieostatnie siedem, przynaglając, ach, przynaglając gnuśną wieczność do trwania.

Czy taka konstrukcja jest możliwa ? Z liczbą  związany jest nierozerwalnie najsłynniejszy problem geometryczny w dziejach matematyki, czyli kwadratura koła - - konstrukcja za pomocą cyrkla i linijki kwadratu o polu równym polu danego koła. Czy taka konstrukcja jest możliwa ? Dziś już wiemy, że nie, ale niegdyś wydawało się inaczej. Przez całe wieki matematycy uzbrojeni w cyrkle i linijki biedzili się nad kwadraturą koła. Cały problem sprowadzał się w istocie do wykreślenia odcinka o długości .

Swój wkład w rozwiązanie problemu kwadratury koła mają także Polacy. Znaną na całym świecie przybliżoną kwadraturę koła przeprowadził pod koniec XVII w. Adam Adamandy Kochański, nadworny matematyk króla Jana III Sobieskiego. Jest ona prosta i elegancka, a zarazem niezwykle dokładna. Daje  = 3,14153, czyli z dokładnością do czterech cyfr dziesiętnych.

Ferdynand Lindemann (1852 – 1939) W 1883 r. niemiecki matematyk Ferdynand Lindemann udowodnił,że ludolfina jest tzw. liczbą przestępną, tzn. nie można wykonać konstrukcji odcinka o długości  za pomocą cyrkla i linijki. Ferdynand Lindemann (1852 – 1939) Był to kres nadziei na możliwość kwadratury koła. Od tamtego czasu zainteresowanie tym problemem spadło niemal do zera.Pracują nad nim tylko ci, którzy wierzą też w możliwość konstrukcji perpetuum mobile.

Uwaga, „niema” pisało się wówczas razem. Słynny pi - emat Przez wiele lat ludzie zastanawiali się, jak najprościej zapamiętywać liczbę . Najczęściej używaną sztuczką mnemotechniczną jest zapamiętanie wierszyka, w którym liczba liter kolejnego słowa to cyfra w rozwinięciu dziesiętnym . Znane są takie wierszyki w języku angielskim, francuskim, rosyjskim... Po polsku rozpowszechniony jest wierszyk z 1930 roku autorstwa Kazimierza Cwojdzińskiego: „Kuć i orać w dzień zawzięcie, bo plonów niema bez trudu! Złocisty szczęścia okręcie, Kołyszesz... Kuć! My nie czekajmy cudu. Robota to potęga ludu. Uwaga, „niema” pisało się wówczas razem.

Święto liczby  Czy liczba może mieć swoje święto? Okazuje się, że tak. Święto liczby  przypada 14 marca, bo pisząc tę datę po angielsku otrzymujemy 3,14, a więc  z dokładnością do dwóch cyfr po przecinku. Albert Einstein (1879 – 1955) Przypadkiem 14 marca jest również dniem urodzin Alberta Einsteina.

Złota liczba  ( fi ) Złota liczba wyraża proporcję zwaną złotym lub boskim podziałem, kiedy całość odcinka ma się do jego większej części tak, jak ta większa część do mniejszej. B A C

Złota liczba jest niewymierna i jej rozwinięcie dziesiętne wynosi:

Pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus, jeden z członków Związku Pitagorejczyków, w V w. p.n.e. Symbolem tego związku był pentagram, czyli pięcioramienna gwiazda, której każde ramię pozostawało w złotej proporcji z sąsiednim krótszym odcinkiem.   b a

Boską proporcję oznacza się dziś przez  od pierwszej litery imienia greckiego rzeźbiarza Fidiasza, który - jak wieść głosi – stosował w swych rzeźbach zasadę złotej proporcji. Fidiasz, Atena Lemnia

Starożytni Grecy uważali, że właśnie złota proporcja jest najprzyjemniejsza dla ludzkiego oka i chętnie stosowali jej zasadę także w architekturze. Według tej zasady zbudowali Partenon. Partenon, stan obecny Obecnie złoty podział jest też często stosowany, np. wymiary znormalizowanego zeszytu pozostają w stosunku w przybliżeniu równym stosunkowi złotego podziału.

Leonardo da Vinci, Studium ludzkiego ciała Podobno zasadą boskiej proporcji kierowali się także Leonardo da Vinci i Albrecht Dürer, precyzyjnie dzieląc plany swych obrazów, tak, aby dobrze się komponowały. Leonardo da Vinci (1452 – 1519) Leonardo da Vinci, Studium ludzkiego ciała

Albrecht Dürer, Melancholia

Kuros Czy faktycznie pępek idealnie zbudowanego człowieka dzieli jego wysokość w złotej proporcji, jak w przypadku tych antycznych rzeźb ? Michał Anioł, Dawid

Ciekawe własności liczby  Przypomnijmy:

Leonardo z Pizy (Fibonacci) (ok. 1180 – ok. 1250) Przybliżeniem złotej proporcji jest stosunek 8:5, jeszcze lepszym 13:8 albo 21:13, 34:21, 55:34, 89:55 itd. . Liczby tworzące te stosunki to wyrazy znanego od XII wieku ciągu liczbowego zwanego ciągiem Fibonacciego. Leonardo z Pizy (Fibonacci) (ok. 1180 – ok. 1250)

Ciąg Fibonacciego to ulubiony ciąg przyrody np. róże tego smakowitego kalafiora, poczynając od czubka, układają się spiralnie. Jeśli policzymy liczbę lewo – i prawoskrętnych spiral, to okaże się, że są to wyrazy ciągu Fibonacciego. Podobną liczbę spiral tworzą ziarna słonecznika i łuski szyszki.

Liczba e Liczba e zwana inaczej liczbą Nepera jest granicą nieskończonego ciągu liczbowego: Liczba Nepera jest także podstawą logarytmów naturalnych: podstawą funkcji wykładniczej: i sumą szeregu: Jej nazwa pochodzi od nazwiska Johna Nepera żyjącego na przełomie XVI i XVII w. Był to szkocki matematyk, dążący do uproszczenia skomplikowanych sposobów obliczeń w astronomii i geodezji. W tym celu wprowadził logarytmy i opublikował ich tablice. Swoje odkrycie opisał on w dwóch książkach: ,,Mirifici logarithmorum canonis descriptio" (Opis zadziwiających tablic logarytmów) z 1614 roku i ,,Mirifici logarithmorum canonis constructio" (Budowa zadziwiających tablic logarytmów) z 1620 roku.

Logarytmy pozwalały zamienić mnożenie na dodawanie Logarytmy pozwalały zamienić mnożenie na dodawanie. Przez setki lat ta ,,cudowna własność" logarytmów, dzięki której, z pomocą tablic (lub suwaka logarytmicznego), można było dodawać zamiast mnożyć (i mimo to uzyskiwać w rezultacie iloczyn) ułatwiała ludziom życie. Dziś, w epoce komputerów, to zastosowanie logarytmów straciło swoje znaczenie. Oznaczenie liczby e wprowadził w 1736 roku matematyk szwajcarski Leonard Euler.

Liczby bliźniacze Liczbami bliźniaczymi nazywamy dwie liczby pierwsze różniące się o 2. Przykładami par takich liczb są: 3i5, 5i7, 11i13, 17i19. Do chwili obecnej nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb bliźniaczych. Parą największych liczb bliźniaczych są: 260497545 . 2 6625 –1 260497545 . 2 6625 +1

Liczby doskonałe Liczbami doskonałymi nazywamy liczby naturalne n, które są równe sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od n. Przykładami takich liczb są: 6 = 1+2+3, 28 = 1+2+4+7+14, 496 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248, 8128 (Sprawdź sam(a) !!!). Cztery podane liczby znał już matematyk grecki Euklides (IV w. p.n.e.). Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele liczb doskonałych, nie wiadomo też, czy istnieje, choć jedna liczba doskonała nieparzysta. Ewentualna liczba doskonała nieparzysta musi być większa od 10 300.

Przyjaźń między liczbami Liczby zaprzyjaźnione to takie liczby naturalne m i n, które spełniają następujący warunek: suma wszystkich, mniejszych od m, dzielników naturalnych liczby m równa jest n i jednocześnie suma wszystkich, mniejszych od n, dzielników naturalnych liczby n równa jest m. Warto zauważyć, że każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą. Parą najmniejszych różnych liczb zaprzyjaźnionych jest para (220, 284).

Dzielnikami liczby 220 mniejszymi od niej są: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284. Dzielnikami liczby 284 mniejszymi od niej są: 1, 2, 4, 71, 142. 1+2+4+71+142 = 220. Liczby zaprzyjaźnione były znane już w czasach Pitagorasa, przypisywano im znaczenie mistyczne. Starożytni Grecy wierzyli, że amulety z wygrawerowanymi liczbami zaprzyjaźnionymi zapewniają szczęście .

NAJPIĘKNIEJSZY WZÓR MATEMATYKI Cóż w nim takiego szczególnego? Dlaczego wielu matematyków sądzi, że jest on "ładniejszy " od, na przykład, niewątpliwie prawdziwego związku "2+2 = 4"? Wzór e i +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych, które odkryto niezależnie – w różnym czasie i zagadnieniach.

Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wielu ludzi ma liczby, które darzy sympatią, czy też takie, które uważa za nieprzyjazne. Dla matematyka każda liczba jest wyjątkowa i wszystkie są ciekawe.