Wielokąty foremne

Trójkąt równoboczny Trójkąt równoboczny – trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości. Jego własności: wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°, wysokość wynosi wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta, obwód wynosi L=3a,

Kwadrat Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i cztery kąty proste. Jego własności: przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość; punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części; punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu; przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów; każde dwa kwadraty są do siebie podobne.

Pięciokąt foremny Pięciokąt foremny – to pięciokąt wypukły o wszystkich bokach tej samej długości i wszystkich kątach równych (108˚). Konstrukcja: Rysujemy okrąg o środku S. Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy – punkt A. Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta.

Sześciokąt foremny Sześciokąt foremny - sześciokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (120˚). Jego własności: Kąt środkowy okręgu opisanego, oparty na boku, ma miarę Promień okręgu opisanego: R=a Promień okręgu wpisanego: Pole powierzchni sześciokąta foremnego: Obwód ma długość: 6a

Siedmiokąt foremny Siedmiokąt foremny - wielokąt foremny o siedmiu równych bokach oraz kątach wewnętrznych o mierze 128,(571428)°. Niemożliwy do skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki. Ma dwa razy więcej przekątnych niż boków. Własności: Obwód: L=7a Pole powierzchni: Miara kąta środkowego okręgu opisanego, opartego na boku: Miara kąta wewnętrznego:

Ośmiokąt foremny Ośmiokąt foremny - figura wypukła, która ma wszystkie 8 boków równej długości i 8 kątów równej wielkości. Własności Pole powierzchni: Obwód: L=8a Długość promienia okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym: Długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny: Ośmiokąt foremny można skonstruować również rysując dwie proste prostopadłe przecinające się w środku okręgu oraz dwusieczne otrzymanych kątów prostych. Punkty przecięcia się tych prostych z okręgiem są wierzchołkami ośmiokąta foremnego.

Siedemnastokąt foremny Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (mają po 180°(17-2)/17 ≈ 158.82°). Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później. Składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne, z których jedną z elegantszych jest konstrukcja podana przez H. W. Richmonda w 1893 roku:

Twierdzenie Gaussa-Wantzela Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci , gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 i nie wiadomo czy jest ich więcej.

Twierdzenie Gaussa-Wantzela Z twierdzenia wynika, że możliwe jest skonstruowanie wielokątów foremnych o następującej liczbie boków: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, … W roku 1894 nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes przedstawił klasyczną konstrukcję 65537-kąta foremnego (65537 jest największą znaną liczbą pierwszą Fermata). Pracował nad nią 10 lat, jej opis zajmuje 200 stron.

Wielokąty foremne w przestrzeni Wielokąty foremne są ścianami wielu wielościanów. Wśród nich możemy wyróżnić: wielościany foremne (platońskie), których jest 5 wielościany półforemne (archimedesowe), w liczbie 13 graniastosłupy prawidłowe o kwadratowych ścianach bocznych antygraniastosłupy, których ściany boczne są trójkątami równobocznymi wielościany Johnsona, w liczbie 92

Wielokąty foremne w przestrzeni Wielościany foremne:

Wielokąty foremne w przestrzeni Przykładowe wielościany półforemne:

Wielokąty foremne w przestrzeni Przykładowe wielościany Johnsona: