Wielościany Gwiaździste Aleksandra Czypionka Dominika Koczor Kamil Szajt

Wielościan gwiaździsty - rodzaj wielościanu zbudowanego z kilku innych wielościanów, o części centralnej wspólnej, zgodnie z budową dwuwymiarowych odpowiedników tj. wielokątów gwiaździstych. *Wielościany gwiaździste mogą zostać wpisane w otoczkę wypukłą będącą zawsze wielościanem foremnym. Częścią wspólną tych brył są wielościany dowolne.

Wyróżniamy dwa rodzaje wielościanów : Wielościany gwiaździste foremne Wielościany gwiaździste dwu- foremne

Wielościany gwiaździste foremne Rysunek Otoczka wypukła Część wspólna Gwiazda z dwóch czworościanów (Stella octangula) Sześcian Ośmiościan foremny Gwiazda z pięciu czworościanów Dwunastościan foremny Dwudziestościan foremny Gwiazda z dziesięciu czworościanów Gwiazda z pięciu sześcianów Gwiazda z pięciu ośmiościanów foremnych Dwunasto-dwudziestościan foremny

Wielościany gwiaździste dwu-foremne Otoczka wypukła Część wspólna Gwiazda z dwóch czworościanów (Stella octangula) Sześcian Ośmiościan foremny Gwiazda z sześcianu i ośmiościanu foremnego Dwunastościan rombowy Sześcio-ośmiościan Gwiazda z dwunastościanu foremnego i dwudziestościanu foremnego Dwunasto-dwudziestościan rombowy Dwunasto-dwudziestościan foremny Gwiazda z wielkiego dwudziestościanu foremnego i stellowanego dwunastościanu foremnego Dwunastościan foremny Dwudziestościan foremny Mały stellowany dwunastościan foremny

Siatki wielościanów Keplera-Poinsota Ściany wielościanów Keplera-Poinsota przenikają się wzajemnie i dlatego też należy poświęcić kilka zdań na omówienie sposobu konstrukcji ich zewnętrznych elementów. W przypadku dwunastościanu gwiaździstego małego (rys. 1) i dwunastościanu gwiaździstego wielkiego (rys. 2) sprawa jest prosta. Ich ścianami są pentagramy, z których na zewnątrz widoczne są tylko ramiona (rys. 3). rys.1 rys.2 rys.3

Również nietrudno jest skonstruować ścianę dwunastościanu wielkiego (rys. 4). Jest to pięciokąt foremny, z którego na zewnątrz widocznych jest pięć trójkątów równoramiennych (rys. 5). cd. rys.4 rys.5 Nieco trudniej skonstruować ścianę dwudziestościanu wielkiego (rys. 6). Kluczem do konstrukcji jest złoty podział. Punkty P oraz Q dzielą krawędź AB w ten sposób, że AB/AQ=AQ/AP=(1+√5)/2 ≈ 1,618. Podobnie podzielone są krawędzie BC i AC (rys. 7). rys.6 rys.7 Po skonstruowaniu zewnętrznych elementów ścian pozostaje jeszcze takie ich połączenie, aby otrzymany model był odpowiednio sztywny. Kliknięcie w odpowiedni link otwiera w nowym oknie element siatki danego wielościanu Keplera-Poinsota

Najpopularniejszym wielościanem gwaiździstym jest Stella octangula Stella octangula – (in. gwiazda ośmioramienna, ośmiościan gwiaździsty, gwiazda z czworościanów) wielościan gwiaździsty skonstruowany poprzez nałożenie na siebie dwóch przystających czworościanów foremnych lub stellację ośmiościanu foremnego. Jak każda stellacja, jest trójwymiarowym odpowiednikiem gwiazdy Dawida. Analogia jest w tym wypadku pogłębiona przez to, że tak jak gwiazda Dawida jest sumą dwóch trójkątów równobocznych symetrycznych względem wspólnego środka, stella octangula jest sumą dwóch czworościanów foremnych symetrycznych względem wspólnego środka. Można go sobie wyobrażać jako ośmiościan foremny z doklejonymi do jego ścian czworościanami foremnymi. Posiada 36 krawędzi, 14 wierzchołków i 24 ściany będące trójkątami równobocznymi. W pewnym sensie spełnia kryteria wielościanu foremnego, z wyjątkiem wymogu wypukłości. Gdzie oznacza długość krawędzi ściany tej bryły. Polem całkowitym stella octangula jest suma 24 pól powierzchni trójkątów równobocznych, które stanowią czwartą część ściany jednego czworościanu foremnego stellonego.

cd.

cd.

Dziękujemy ; )