Dane INFORMACYJNE Nazwa szkoły: Gimnazjum nr 58 w Poznaniu ID grupy: 98/62_mf_g1 Opiekun: Anna Walkowiak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: „Geometria na zginanej kartce” Semestr IV rok szkolny 2011/2012

…za pomocą zginanej kartki papieru. W szkole konstrukcje geometryczne wykonywane są za pomocą ołówka, linijki i cyrkla. W poniższej prezentacji przedstawimy konstrukcje wykonywane przez nas podczas lekcji matematyki, ale w niekonwencjonalny sposób… …za pomocą zginanej kartki papieru. Origami – sztuka składania papieru, pochodząca z Chin, rozwinięta w Japonii i dlatego uważa się ją za tradycyjną sztukę japońską. W XX w. ostatecznie ustalono reguły origami: punktem wyjścia ma być kwadratowa kartka papieru, której nie wolno ciąć, kleić i dodatkowo ozdabiać i z której poprzez zginanie tworzone są przestrzenne figury. Praktyka origami powstała ok. roku 700

Poniższą prezentację można przeglądać slajd po slajdzie lub wykorzystując hiperłącza przeskakiwać do wybranych zagadnień.

Życzymy przyjemnej lektury, najlepiej jednak aby oglądający naszą prezentację przygotowali kilkanaście czystych kartek w formacie A4 i samodzielnie wykonali poniższe zadania  Jak wyznaczyć Kąt 90 stopni? Jak wyznaczyć kąt 45 stopni? Jak wyznaczyć kąt 60 stopni przy pomocy kawałka papieru? Suma kątów w trójkącie Suma kątów w czworokącie Wzór na pole równoległoboku Kwadrat sumy jest równy... Symetralna Dwusieczna Stosunek pól figur podobnych Trapez prostokątny i trapez równoramienny Ośmiokąt foremny Sześciokąt foremny Siatka ostrosłupa Elipsa Parabola NASZE PRACE

Jak wyznaczyć Kąt 90 stopni? Krok I: Zginamy kartkę tak jak na rysunku. Powstały kąt ma 90 stopni Potrzebujemy: Kawałek papieru z co najmniej jednym bokiem prostym Krok II: Zginamy drugą część kartki tak jak na zdjęciu. POWRÓT

Jak wyznaczyć kąt 45 stopni? Potrzebujemy kąt 90 stopni z poprzedniego slajdu Zginamy kąt na pół, jak na rysunku. Powstały kąt stanowi połowę konta 90 stopni czyli 45 stopni. POWRÓT

Jak wyznaczyć kąt 60 stopni przy pomocy kawałka papieru? Potrzebujemy kawałek papieru, dla utrudnienia o nieregularnych kształtach. Zginamy kartkę papieru by uzyskać prosty bok.(punkt można ominąć jeśli mamy już taki bok) Trudno jest podzielić kat półpełny na 3 części jednak wykazując trochę cierpliwości można tego dokonać. Rezultat powinien wyglądać tak(patrz rysunek obok). POWRÓT

suma kątów w trójkącie 1.Zginamy narożnik trójkąta tak jak na zdjęciu.

2. Pozostałe narożniki zginamy w kierunku pierwszego. 3 2.Pozostałe narożniki zginamy w kierunku pierwszego. 3. Narożniki tworzą kąt 180˚. POWRÓT

suma kątów w czworokącie Należy odciąć narożniki tak jak na zdjęciu. Układamy je w następujący sposób. POWRÓT

jak wyprowadzić wzór na pole równoległoboku P=A*H Odcinamy jeden bok i przykładamy w następujący sposób. POWRÓT

kwadrat sumy… Jak udowodnić, że kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów powiększonej o podwojony iloczyn dwóch wielkości?

1. Z kartki A4 złóż trójkąt równoramienny. Odetnij niepotrzebny pasek 1. Z kartki A4 złóż trójkąt równoramienny. Odetnij niepotrzebny pasek. Powstanie kwadrat. 2.ZAZNACZ ODCINKI A I B

3. Zginamy kartkę tak jak na rysunku:

POWRÓT

Sposób na wyznaczenie symetralnej Symetralna to prosta dzieląca dany odcinek na dwie, równe części, przechodząca pod kątem prostym. Przykład wyznaczania symetralnych Dany bok zginamy na pół, zwracając uwagę na to by obie części odcinka tworzącego dany bok nakładały się na siebie. Następnie odginamy, zagięcie tworzy symetralną. 1 2 3

Okrąg opisany na trójkącie Trójkątem wpisanym w okrąg nazywamy trójkąt, którego wszystkie wierzchołki leżą na tym okręgu, a okrąg taki nazywamy okręgiem opisanym na tym trójkącie. Na każdym trójkącie można opisać okrąg. W dowolnym trójkącie symetralne trzech boków przecinają się w jednym punkcie. Środek okręgu opisanego na trójkącie jest punktem przecięcia symetralnych boków tego trójkąta.

Dwusieczna Przykład wyznaczania dwusiecznej Zbiór punktów, równo odległych od obu ramion kątów. Wybrany kąt zginamy tak, aby ramiona kąta nakładały się na siebie. Po wykonaniu tej czynności odginamy, zgięcie tworzy dwusieczną kąta. 1 2 3

Okrąg wpisany w trójkąt Trójkątem opisanym na okręgu nazywamy trójkąt, którego wszystkie boki są styczne do tego okręgu, a taki okrąg nazywamy okręgiem wpisanym w trójkąt. W każdy trójkąt można wpisać okrąg. W dowolnym trójkącie dwusieczne przecinają się w jednym punkcie. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów tego trójkąta.

Podobieństwo prostokątów Udowodnimy za pomocą kartki papieru, że stosunek pól figur podobnych jest równy skali podobieństwa podniesionej do kwadratu. stosunek pól prostokątów = k2

Jak to zrobić? 1. Prostokątną kartkę papieru zginamy 2-krotnie na pół. 2. Po rozłożeniu kartki otrzymamy 4 mniejsze prostokąty.

3.Teraz zginamy tą samą kartkę 4-krotnie i ponownie ją rozkładamy. 4. Z linii zagięć powstało 16 jeszcze mniejszych prostokątów.

wnioski Z zaobserwowanych wyników formułujemy zależności i dowód na podobieństwo figur (według wzoru). Zginając kartkę 2- i 4-krotnie, dł. boków zmniejszyły się o 2 i 4 razy. Stosunek pól (obrazu i figury wyjściowej) w pierwszym przypadku wynosi ¼ , a w drugim – 1/16, a więc: (1/2)2 = ¼ (1/4)2 = 1/16 POWRÓT

Jak zginając kartkę otrzymać Trapez prostokątny i trapez równoramienny 1. Bierzemy kwadr. kartkę i zginamy ją na pół, po przekątnej. 2. Wierzchołek przy kącie rozwartym zginamy tak, aby pokrywał się z podstawą i był do niej prostopadły.

3. To samo robimy z drugiej strony – otrzymujemy trapez równoramienny. 4. Po zgięciu go na pół wg środkowej wysokości, powstanie trapez prostokąty (o polu 2 x mniejszym niż poprzedni trapez). POWRÓT

Konstrukcją ośmiokąta foremnego sposób pierwszy Ośmiokąt foremny jest figurą wypukłą, która ma wszystkie 8 boków równej długości i 8 kątów równej wielkości.

Wyznaczanie osi symetrii OŚ SYMETRII Wyznaczanie osi symetrii 1. Oś symetrii jest to prosta, która dzieli figurę na dwie przystające części. 2. 1.Kwadrat zginamy na pół. Pamiętając o tym by obie połowy nakładały się na siebie. 2.Następnie odginamy, zagięcie tworzy oś symetrii. Kwadrat posiada cztery osie symetrii. 3.Najpierw zaginamy 2 razy tak, aby dana oś symetrii przecinał bok kwadratu na dwie równe części. 4.Kolejnie 2 osie symetrii, która wyznacza dwusieczną kąta. 3. 4. 5. Dwusieczna kąta to półprosta o początku w wierzchołku kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.

Następnie róg kwadratu przykładamy do przeciwległego boku, ale musimy tak przyłożyć róg by jego dwusieczna kąta pokrywała się z osią symetrii kwadratu i zaginanie kartki kończymy na punkcie przecięcia się wszystkich osi symetrii kwadratu (środek kwadratu).

1. Powtarzamy ten ruch na tej samej stronie kartki biorąc kolejny róg kwadratu, postępujemy dokładnie tak samo. 2. Następnie przekładamy kartkę na drugą stronę i róg kwadratu przykładamy do przeciwległego boku. Czynność powtarzamy dwa razy. 3. W ten sposób uzyskujemy podział kąta prostego na 4 równe kąty o wartości 22,5 o . 1. 2 a 2b 3.

Na koniec zaginamy rogi kwadratu do środka Na koniec zaginamy rogi kwadratu do środka. Możemy spostrzec, że dwa środkowe trójkąty tworzą romb. Jego krótsza przekątna jest równa podstawie trójkąta, wzdłuż , której musimy poprowadzić zgięcie. Powtarzamy tą czynność na każdym rogu. I tak otrzymaliśmy ośmiokąt foremny !  1. 2. 4. 3.

Konstrukcją ośmiokąta foremnego sposób drugi Wycinam kwadrat z arkusza A4. W prostokącie, który otrzymałam z odpadu kartki A4 wyznaczam dłuższą oś symetrii przez zgięcie go na pół . Konstrukcją ośmiokąta foremnego sposób drugi

Układam prostokąt po każdej przekątnej w kwadracie, które otrzymujemy łamiąc kwadrat na pół. Dopasowuję , żeby jego wierzchołki leżały na bokach kwadratów a oś jego symetrii pokrywała się z przekątną kwadratu.

Zaginam narożniki kwadratów Zaginam narożniki kwadratów. Pozostawiając w wewnątrz kwadratu prostokąt .

Obracam otrzymany ośmiokąt o 180° , załamanymi rogami do dołu.

Sprawdzam linijką długości boków powstałego ośmiokąta. Otrzymałam ośmiokąt foremny , który jest rozwiązaniem zadania. POWRÓT

Jak zrobić sześciokąt foremny z papieru? sposób I Przygotuj kartkę w formacie A4 Podziel kartkę na cztery identyczne prostokąty

Zegnij kartkę tak, aby dwusieczną kąta alfa była przerywana linia Zegnij kartkę tak, aby dwusieczną kąta alfa była przerywana linia. Analogicznie zrób to z drugiej strony. α

Zagnij róg kartki tak, aby powstał trójkąt prostokątny KLM o kącie beta leżącym na przecięciu osi symetrii kartki i przedłużenia najkrótszego boku trójkąta (bok AB ). Na zdjęciu 1. przecięcie tych prostych symbolizuje przecięcie 2 czarnych linii. Z drugim rogiem należy postąpić identycznie. 1 A K B C M β 2 L 3

Obróć swoją pracę, a zobaczysz piękny sześciokąt foremny. Gratulacje!

A jak obliczyć jego pole, obwód i długość przekątnej? Pole figury: Pole sześciokąta foremnego składa się z sześciu mniejszych trójkątów równobocznych. Obwód figury : Ob = a+a+a+a+a+a = 6a Długość przekątnej : d = 2a

Jak zrobić sześciokąt foremny z papieru? sposób drugi Na samym początku , przygotowaną kartkę A4 zginamy wzdłuż dłuższego boku prostokąta , dzieląc daną figurę na dwie połowy.

Lewy , górny róg prostokąta zaginamy wzdłuż prostej dzielącej prostokąt na pół tak by po złożeniu rogu powstał trapez prostokątny. Prawą , górną krawędź trapezu zginamy wzdłuż lewego boku nowo powstałego trójkąta , tak by powstał trójkąt równoramienny.

Wystający róg u dołu trójkąta należy zagiąć w górę , tak aby powstał trójkąt równoboczny. Następnie przewracamy nasz trójkąt na drugą stronę ( „zbudowaniami” do dołu ).

Każdy róg trójkąta zginamy wzdłuż przeciwległego boku figury , tak aby po zgięciu wszystkich 3 rogów ich wierzchołki „spotkały się” w miejscu przecięcia wszystkich przekątnych sześciokąta.

Po złączeniu wszystkich 3 rogów trójkąta powstaje SZEŚCIOKĄT FOREMNY. POWRÓT

Wyznaczamy siatkę ostrosłupa 1. Dwa prostopadłe boki trójkąta podziel na pół i zaznacz kreską te miejsca. 2. Połącz ze sobą te punkty , a następnie z wierzchołkiem rogu kartki tak aby powstał trójkąt równoboczny wyznaczając jednocześnie siatkę tego ostrosłupa. Wyznaczamy siatkę ostrosłupa

3.Przyłóż linijkę do narysowanych linii (będziesz miał pewność ze zginasz je równo :D)

4. Zegnij boki trójkąta do siebie a podstawę do boków wzdłuż linii. 5. Sklej boki i podstawę 6. Masz już gotowy ostrosłup.

Konstrukcja elipsy metodą zginania Jedną z metod konstrukcji krzywych stożkowych jest metoda, w której wykorzystujemy operację zginania kartki. Kartkę papieru traktujemy tutaj jako model płaszczyzny, ślad po zgięciu jako prostą, a przecięcie dwóch zgięć jako punkt. 1. Na kartce papieru rysujemy okrąg O(F1, r). Wewnątrz okręgu obieramy dowolny punkt F2 różny od punktu F1

2. Na danym okręgu obieramy dowolny punkt i zginamy tak kartkę, aby pokrył się on z punktem F2. Następnie rysujemy promień, którego jednym z końców jest wykorzystywany punkt okręgu i znajdujemy punkt wspólny tego promienia ze zbudowaną prostą. 3. Następnie na okręgu wybieramy kolejny punkt i powtarzamy te same czynności, jak poprzednio.

4. Po wykonaniu kilkudziesięciu zgięć możemy zauważyć, że zbudowane wewnątrz okręgu punkty zaczynają tworzyć regularną krzywą zamkniętą. Tworzona w ten sposób krzywa jest elipsą, punkty F1 i F2 są jej ogniskami. Im więcej wykonamy zgięć, tym więcej otrzymamy punktów wewnątrz okręgu i tym wyraźniej będzie widoczny kształt naszej elipsy.

Wnioski To postępowanie pokazuje, w jaki sposób można dowolnemu punktowi okręgu przyporządkować pewien punkt powstającej figury. Przedstawiona konstrukcja opiera się na budowaniu symetralnych odcinków, których jednym końcem było ognisko elipsy, drugim zaś punkt „wędrujący” po odpowiednio położonym okręgu. POWRÓT

Konstrukcja paraboli metodą zginania czyli jak zbudować wykres funkcji kwadratowej

Konstrukcja paraboli metodą zginania Zaznacz prostą 1 i punkt F nie należący do tej prostej Zbuduj prostą prostopadłą do prostej 1 i przechodzącą przez punkt F

Konstrukcja paraboli metodą zginania Na prostej 1 zaznacz dowolny punkt Zegnij kartkę papieru tak, aby zaznaczony punkt pokrywał się z punktem F

W taki sam sposób zbuduj kilkanaście kolejnych punktów, które utworzą parabolę

Konstrukcja paraboli metodą zginania Punkt F jest ogniskiem paraboli. Prosta 1 jest kierownicą lub ogniskową paraboli. POWRÓT

NASZE ORIGAMI Na koniec przedstawiamy kilka wykonanych przez nas geometrycznych modeli origami 

NASZE ORIGAMI

NASZE ORIGAMI

ŹRÓDŁA http://www.jakubas.pl http://pl.wikipedia.org www.math.edu.pl „Matematyka 2001” podręcznik dla klasy 2