Wstęga Möbiusa Marcin Knapik IIIb

August Ferdinand Möbius Jeden z twórców nowoczesnej geometrii algebraicznej, podał nową klasyfikację krzywych i powierzchni oraz pojęcie przekształcenia rzutowego. Znany z odkrycia funkcji Möbiusa oraz wstęgi Möbiusa. 

Jak Wykonać? Powstaje z prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden z końców o 180°. Opisana przez niemieckiego matematyka  Augusta Möbiusa i Johanna Benedicta Listinga w 1858 roku. Powinna wyglądać tak: Posiada ona dwie ważne cechy, o których dowiemy się później – podczas zadań.

Zadanie 1 Wykonujemy z pasku papierowego Obręcz. Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm. Pośrodku rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Co zauważamy?

Obserwacje: W przypadku obręczy linia została narysowana po jednej stronie. Wnioski: Obręcz jest powierzchnią dwunostronną.

Zadanie 2 Wykonujemy z pasku papierowego Wstęgę Möbiusa. Najlepiej stosować paski o długości ok. 30 cm i szerokości 3 cm. Pośrodku rysujemy linię ciągłą wzdłuż całej długości. Co zauważamy?

Obserwacje: W przypadku wstęgi Möbiusa linia została narysowana po obu stronach. Wnioski: Wstęga Möbiusa jest powierzchnią jednostronną (ma tylko jedną stronę). Gdybyśmy na przykład chcieli pokolorować ją tylko po jednej stronie, zakolorowalibyśmy całą jej powierzchnię.

Zadanie 3 Używamy wstęgę Möbiusa z poprzedniego zadania. Przykładamy do krawędzi skuwkę od długopisu i przesuwamy ją po krawędzi Co zauważamy?

Obserwacje: Jadąc po jednej stronie, po jakimś czasie zauważysz, że skuwka wędruje po przeciwnej krawędzi (czyli to ta sama krawędź!).  Wnioski: Wstęga Möbiusa posiada TYLKO jedną krawędź.

Zadanie 4 Używamy obręcz z poprzedniego zadania. Przykładamy do krawędzi skuwkę od długopisu i przesuwamy ją po krawędzi Co zauważamy?

Obserwacje: Jadąc po jednej stronie, skuwka cały czas wędruje po jednej krawędzi, nie możemy bez oderwania skuwki ‘objechać’ 2 krawędzi. Wnioski: Obręcz posiada dwie krawędzie

Zadanie 5 Wykorzystujemy rzeczy z poprzednich zadań. Wstęgę oraz obręcz przecinamy wzdłuż narysowanej wcześniej linii. Co otrzymujemy ?

Obserwacje: W przypadku rozcięcia obręczy otrzymujemy dwie obręcze, ale dwa razy węższe. Natomiast w przypadku rozcięcia wstęgi Möbiusa otrzymujemy ponownie wstęgę, tym razem już dwustronną. Jest ona 2 razy węższa i 2 razy dłuższa niż na początku.

Zastosowania Wstęga ta znalazła zastosowanie w technice. Poza tym jest ona lubianym elementem dekoracyjnym. Ogród Rzeźb w Muzeum Sztuki w Baltimore, w stanie Maryland (USA). Rzeźba przy wejściu do Science Center na Uniwersytecie Harvarda w Cambridge, w stanie Massachusetts (USA).

A także… Logo firmy Renault …lub symbol recyklingu

Podsumowanie Wstęga Möbiusa powstaje po sklejeniu końców prostokątnego paska papieru, ale przed sklejeniem trzeba przekręcić jeden koniec o 180°, Jest to niezwykła topologicznie powierzchnia, mająca jedną stronę i jedną krawędź, Została odkryta w 1858 roku przez Augusta Möbiusa, Johanna Benedicta Listinga, Jest stosowana w wielu dziedzinach, np. w technice, architekturze.

Źródła: http://www.czernichow.edu.pl/Do%20pobrania/Materialy%20pomocnicze-matematyka-dzienne-B.%20Mrozicka/strona%20www/Wst%C4%99ga.html http://pl.wikipedia.org/wiki/Wst%C4%99ga_M%C3%B6biusa http://pl.wikipedia.org/wiki/August_Ferdinand_M%C3%B6bius http://zobaczycmatematyke.krk.pl/przyklady/GREDA/index.html

Dziękuję za uwagę  Wykonał i przedstawiał : Marcin Knapik IIIb