Hipokrates z Chios dowiódł, że suma pól tzw Hipokrates z Chios dowiódł, że suma pól tzw. księżyców Hipokratesa równa się polu powierzchni trójkąta ABC. Jak tego dowiódł?

Czym są księżyce Hipokratesa?   Czym są księżyce Hipokratesa?   Konstrukcja księżyców na trójkącie, prostokącie, trapezie oraz kwadracie.    Obliczanie pola powierzchni i obwodów.   Co można zauważyć ?

Hipokrates z Chios – joński matematyk i sofista Hipokrates z Chios – joński matematyk i sofista. Otworzył szkołę geometrii w Atenach, w latach ok. 450 –420 p.n.e. Uczył w tej szkole za opłatą za co usunięto go ze szkoły pitagorejczyków. Prowadząc badania nad kwadraturą koła odkrył księżyce Hipokratesa. gr. Ἱπποκράτης ὁ Χῖος Hippokrates ho Chios,V w. p. n. e

Czym są księżyce Hipokratesa? Księżyce Hipokratesa to dwie figury o płaskim kształcie, przypominające sierpy Księżyca, odcięte na płaszczyźnie przez łuki półokręgów, których średnicami są przyprostokątne oraz półokręgu, którego średnicą jest przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego. Suma pól księżyców Hipokratesa równa jest polu tego trójkąta. Figury te rozważał Hipokrates z Chios jako konstrukcję pomocniczą w problemie kwadratury koła.

Co to jest kwadratura koła? Kwadratura koła to zadanie geometryczne polegające na skonstruowaniu kwadratu o polu równym powierzchni danego koła. Zagadnienie to sformułowano w starożytnej Grecji. Jedną z prób jego rozwiązania były właśnie księżyce Hipokratesa.

Jak skonstruować księżyce na trójkącie, prostokącie, trapezie,kwadracie? Zacznijmy od trójkąta. Należy przygotować odpowiednie przybory do zadań konstrukcyjnych, a następnie:

I Skonstruować trójkąt prrostokątny. II Opisać na nim okrąg. III Wyznaczyć środki przyprostokątnych. IV Z tych środków narysować półokręgi o promieniach równych połowie danej przyprostokątnej. V Zacieniować powstałe „sierpy” księżyca. VI Otrzymaliśmy księżyce Hipokratesa.

Kolejne konstrukcje księżyców wykonuje się w sposób analogiczny. Najpierw konstruując daną figurę, a następnie opisując na niej okręgi i wyznaczając środki wszystkich boków. Ostatnią czynnością jest narysowanie półokręgów ze wszystkich środków o promieniu równym ½ boku.

dla prostokąta

dla trapezu

dla kwadratu

Obw. = ½ π (a+b+c) Obliczanie obwodu Obwód księżyców Hipokratesa jest sumą długości półokręgu BAC o średnicy c oraz długości półokręgów AC i AB o średnicach odpowiednio a i b. Czyli dla trójkąta prostokątnego, to: ½ [2π( ½ c)] + ½ [2π (½ a)] + ½ [2π (½ b)] = = π (½ c) + π (½ a) + π (½ b) = ½ π (c+a+b) Obw. = ½ π (a+b+c)

Wyprowadzenie wzoru na obwód księżyców skonstruowanych na prostokącie jest analogiczny. Prostokąt rozpatrujemy jako dwa trójkąty, czyli: Obw. =2[ ½ π (a+b+c)] w związku z czym otrzymujemy następujący wzór: Obw. = π(a+b+c)

Obliczanie pola powierzchni W przypadku gdy wielokąt jest prostokątem lub trójkątem prostokątnym suma pól księżyców Hipokratesa jest równa polu tego prostokąta lub trójkąta prostokątnego (odpowiednio).

Dowód: P1 P3 P4 P2 P(AC) - pole półkola o średnicy AC, P(AB) - pole półkola o średnicy AB, P(BC) - pole półkola o średnicy BC, P(t) - pole trójkąta. Zatem: P(AC) = ½ [π( 1/2 a)2 ]= 1/8πa2 P(AB) =½ [π( 1/2 b)2 ]= 1/8πb2 P(BC) =½ [π( 1/2 c)2 ]= 1/8πc2 P(t) = 1/2 ab

P1+P2 => pole księżyców P1+P2 = [P(AC) + P(AB)] - (P3 + P4 ) P3+P4 = P(BC) - P(t) P1+P2 = (1/8πa2 + 1/8π b2) - [1/8π c2 - P(t)] P1+P2 = (1/8π a2+ 1/8π b2) - 1/8π c2 + P(t) Z Twierdzenia Pitagorasa: 1/8π a2+ 1/8π b2= 1/8π c2 Po podstawieniu: P1+P2 =1/8π c2 - 1/8π c2 + P(t) P1+P2 = P(t)=1/2 ab P1 P2 P3 P4 Suma pól żółtych księżyców jest równa polu trójkąta prostokątnego.

Dowód na pole księżyców skonstruowanych na prostokącie jest analogiczny.

P(księżyców∆)= ½ ab P(księżyców□)= ab czyli dla trójkąta: a dla prostokąta: P(księżyców□)= ab

A co z "kwadraturą koła”, która była przyczyną odkrycia Hipokratesa?

Zagadnienie „kwadratury koła” sprowadza się do konstrukcji za pomocą linijki i cyrkla takiego kwadratu, którego pole równałoby się polu danego koła. Podane przez Hipokratesa wyjątkowo proste rozwiązanie kwadratury jego księżyców zachęcało wielkie umysły matematyczne do szukania rozwiązania „kwadratury koła”, figury stanowczo prostszej pod względem kształtu geometrycznego.

Przez przeszło 2000 lat najpotężniejsze umysły matematyczne trudzą się nad rozwiązaniem tego zagadnienia. Niezliczone próby przedstawienia takiej konstrukcji bez wyjątku kończyły się fiaskiem. Przez tysiące lat matematycy zajmowali się tym zagadnieniem, nie mogąc problemu rozwiązać, ani też nie mogąc dowieść, że jest to niewykonalne. Zainteresowanie tym problemem zaćmiewa nawet do pewnego stopnia pozostałe dwa klasyczne problemy matematyczne starożytności - problem trysekcji kąta i podwojenia kostki.

W 1883 niemiecki matematyk F W 1883 niemiecki matematyk F. Lindemann udowodnił (poprzez udowodnienie przestępności liczby π tzn. posiadania nieskończonej liczby cyfr rozwinięcia dziesiętnego ) niemożność dokonania tego za pomocą cyrkla i linijki. W ten sposób udowodniono, że jeden z najstarszych problemów matematycznych – „kwadratura koła” jest niemożliwa.

„Kwadratura koła” stała się synonimem nierozwiązywalnego zadania „Kwadratura koła” stała się synonimem nierozwiązywalnego zadania. Wyrażenie to weszło do języka potocznego dla określenia skazanych na niepowodzenie prób podejmowanych przez kogoś, kto upiera się, by zrealizować coś niemożliwego.

Co można zauważyć?? Można zauważyć, że księżyce Hipokratesa można skonstruować na każdym wielokącie, na którym można opisać okrąg (tzn. gdy wszystkie jego wierzchołki leżą na tym okręgu), czyli: wtedy i tylko wtedy, gdy symetralne wszystkich jego boków przecinają się w jednym punkcie.

Można również zauważyć, że księżyce Hipokratesa skonstruowane na trójkącie prostokątnym równoramiennym mają jednakowe pola, co wykorzystuje się przy rozwiązywaniu zagadnienia „kwadratury księżyców Hipokratesa”.

Kwdratura księżyców Hipokratesa: Rysunek pokazuje, jak za pomocą linijki i cyrkla dochodzimy do kwadratu, którego pole równa się polu księżyca Hipokratesa jest to tzw. kwadratura księżyca Hipokratesa. Pole księżyca I = 1/2 pola trójkąta ABC. Trójkąt ABC można podzielić na 4 trójkąty prostokątne równoramienne AED, CED, CFD, BFD o równym polu. Z dwóch takich trójkątów ułożyliśmy kwadrat - CEDF. Wniosek: pole księżyca I = polu kwadratu CEDF. rys.22 rys.24

Bibliografia: Encyklopedia powrzechna PWN, Warszawa 1984, wydanie trzecie. Słownik encyklopedyczny MATEMATYKA, wyd. Europa, Wrocław 1998. Tablice matematyczne, wyd. Podkowa, Gdańsk 2003. 500 zagadek matematyczny (wydanie czwarte), Wiedza Powrzechna, Warszawa 1974. http://pl.wikipedia.org/wiki/Hipokrates_z_Chios http://www.spmargonin.republika.pl/abacus/ksiezyce.html http://portalwiedzy.onet.pl/50855,,,,ksiezyce_hipokratesa,haslo.html http://kkk2002ar.w.interia.pl/kshipo.html http://www.zsee.bytom.pl/~iwona/strona/stronka/pliki/444.html

Dziękuję za uwagę 