Elementy relatywistycznej Mechanika Kwantowa V. Teoria spinu WYKŁAD 15 Elementy relatywistycznej mechaniki kwantowej

Plan wykładu semiklasyczny hamiltonian spinowy, równanie Kleina-Gordona, równanie Diraca dla cząstki swobodnej, oddziaływanie elektromagnetyczne cząstki Diraca.

Semiklasyczny hamiltonian spinowy Hamiltonian cząstki o masie m i ładunku q (dodatnim) w polu magnetycznym o indukcji B ma postać: Przyjmując, że wektor A ma kierunek: czyli, że wektor B jest skierowany wzdłuż osi z możemy napisać hamiltonian oddziaływania (dla małych wartości B).

Semiklasyczny hamiltonian spinowy „Kształt” pola wektorowego A. Środek rysunku ma współrzędne (0,0).

Semiklasyczny hamiltonian spinowy Hamiltonian (oddziaływania) przyjmie postać: gdzie: Rzut operatora momentu magnetycznego: Magneton Bohra:

Semiklasyczny hamiltonian spinowy Przypomnienie wiadomości (Wykład 14) Zakładamy, że ze spinem jest związany operator momentu magnetycznego ms. Poprzez analogię do momentu orbitalnego możemy napisać: gdzie:

Semiklasyczny hamiltonian spinowy Operator S spinu ½ jest równy: gdzie macierze Pauliego:

Semiklasyczny hamiltonian spinowy Poprzez analogię do przypadku związanego z momentem orbitalnym możemy napisać: Dla ujemnego ładunku elektronu mamy: slajd 14

Równanie Kleina-Gordona Rozważamy cząstkę swobodną Dla równania relatywistycznego mamy: Równanie to wykazuje asymetrię zmiennych przestrzennych i czasu.

Równanie Kleina-Gordona Jeżeli zastosujemy kwadrat hamiltonianu: to po zamianie zmiennych możemy napisać symetryczne równanie (w bazie położeń), tzw. równanie Kleina-Gordona: Równanie to jest przydatne do opisu cząstek o zerowym spinie (ponieważ występująca w nim funkcja falowa jest funkcją skalarną).

Równanie Diraca Zakładamy, że wyrażenie relatywistyczne występujące w hamiltonianie można zapisać jako: Analiza powyższego równania prowadzi do wyrażeń: gdzie s oraz I są macierzami 2x2.

Równanie Diraca Otrzymujemy równanie Diraca: Wektor jest obiektem o czterech składowych. Jest to tzw. spinor Lorentza.

Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca Rozważamy oddziaływanie cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym q (dodatnim) z polem elektromagnetycznym o potencjale Równanie Diraca przyjmie postać:

Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca Zakładając oraz rozwiązując równanie Diraca z dokładnością do otrzymamy (wyprowadzić): gdzie założono:  i  są spinorami o dwóch składowych; jest energią występującą w równaniu Schrödingera.

Oddziaływanie elektromagn. cząstki Diraca Powyższe równanie opisuje cząstki o spinie ½ oraz współczynniku g=2. Dla porównania (slajd nr 7): (semiklasycznie) (kwantowo) założono przez analogię wynik stosowanego modelu