Problem obiadu Przykład. Pan domu został słomianym wdowcem i postanowił sam ugotować sobie obiad. Porównamy je-go działanie z organizacją pracy jego żony. Czynności tworzące przedsięwzięcie „gotowanie obiadu” A — gotowanie zupy: 15 min B — obranie ziemniaków: 5 min C — gotowanie ziemniaków: 25 min D — usmażenie kotleta: 15 min E — zrobienie sałatki: 10 min  ZŁA ORGANIZACJA: czas gotowania obiadu 70 minut Ile wynosi czas gotowania obiadu? 30 minut

METODA SIMPLEKS

Idea metody simpleks Metoda simpleks została opracowana ok. 40 lat temu przez G.B.Dantziga. Polega ona na poszukiwaniu rozwiązań wśród wierzchołków ZRD prowadzonym w uporządkowany, racjonalny sposób. W metodzie simpleks konstruuje się ciąg sąsiednich bazowych RD w taki sposób, by każde następne rozwiązanie było nie gorsze (w sensie przyjętej funkcji celu).

Problem piekarza Piekarnia produkuje 3 rodzaje bułek (B1, B2, B3), które odpowiednio kosztują 1, 3 i 2 złote. Na wypiek bułki pierwszej (B1) potrzeba: 1 dkg mąki, 1 dkg cukru. Na wypiek bułki drugiej (B2) potrzeba: 2 dkg mąki, 1 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Bułka trzecia (B3) wymaga: 1 dkg mąki, 1 dkg cukru i 2 dkg rodzynek. W magazynie piekarni dostępne jest tylko 5 dkg mąki, 4 dkg cukru i 1 dkg rodzynek. Ile i jakich bułek powinniśmy upiec, aby otrzymać największy zysk, biorąc pod uwagę ograniczone zapasy składników?

B1 B2 B3 mąka 1 2 5 cukier 4 rodzynki 3 bułki składniki zapasy 3 zapasy ilość składnika na bułkę ceny Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3    →   MAX

Krok 1. Zapisanie modelu w postaci standardowej 1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5 1x1 + 1x2 + 1x3 ≤ 4 0x1 + 1x2 + 2x3 ≤ 1 Ograniczenia: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 Krok 2. Zapisanie modelu w postaci kanonicznej By sprowadzić układ do postaci kanonicznej należy zlikwidować wszelkie nierówności w warunkach ograniczających, jeśli takowe występują. Jeśli warunek występuje w postaci mniejszościowej ≤, dodajemy zmienną swobodną, natomiast jeśli warunek występuje w postaci większościowej ≥ odejmujemy zmienną swobodną. Dodane w ten sposób zmienne swobodne nie wpływają na zmianę kryterium opłacalności, bowiem do funkcji celu zmienne te są dodawane ze współczynnikiem równym zeru.

Postać standardowa 1x1 + 2x2 + 1x3 ≤ 5 1x1 + 1x2 + 1x3 ≤ 4 0x1 + 1x2 + 2x3 ≤ 1 Postać kanoniczna 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6    →   MAX 1x1 + 2x2 + 1x3 + x4 = 5 1x1 + 1x2 + 1x3 + x5 = 4 0x1 + 1x2 + 2x3 + x6 = 1 Bazowa postać kanoniczna układu 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6    →   MAX 1x1 + 2x2 + 1x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = 5 1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = 4 0x1 + 1x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = 1

ceny Tabelka simpleks 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5   4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5   4  0  1 wskaźniki pomocnicze wskaźniki optymalności wskaźnik funkcji celu

Wskaźniki optymalności pozwalają określić czy dane rozwiązanie jest optymalne. Przy maksymalizacji funkcji celu – jeśli wszystkie wskaźniki są niedodatnie, to rozwiązanie jest optymalne. Przy minimalizacji funkcji celu – jeśli wszystkie wskaźniki są nieujemne, to rozwiązanie jest optymalne.

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5   4  0  1 kryterium wejścia 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 2,5  4  4  1  0 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 kryterium wyjścia

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 -1

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 5 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 6 -4

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 kryterium wejścia 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 kryterium wyjścia

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 -4 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 -

1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 1 3 2 x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6

Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 → MAX x1 x2 x3 x4 x5 x6 -3 -2 -1 - 6 Wreszcie koniec  Wskaźniki optymalności są niedodatnie  rozwiązanie: X1=3 X5=0 X2=1 x3=x4=x6=0 Funkcja celu: 1x1 + 3x2 + 2x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 → MAX Czyli 1*3 + 3*1 + 2*0 + 0*0 + 0*0 + 0*0 = 6 Najlepiej byłoby, gdyby piekarnia upiekła trzy bułki B1 i jedną bułkę B3, a zrezygnowałaby z bułki B2.