DOŚWIADCZENIA LOSOWE

Na tej lekcji poznasz: Podstawowe pojęcia dotyczące doświadczeń losowych. Przykłady doświadczeń losowych. Wspólnie: dokonamy analizy prostych doświadczeń losowych, określimy prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w przykładowych doświadczeniach.

Podstawowe definicje Często obserwujemy różne zdarzenia, których dalszego przebiegu nie możemy przewidzieć. Nazywamy je sytuacjami losowymi. Jedne zachodzą niezależnie od nas, inne powodujemy sami. Np. pogoda to zjawisko niezależne od nas. Sytuacje losowe powodowane przez nas nazywamy doświadczeniami losowymi.

Podstawowe definicje Doświadczenie losowe to eksperyment, który można powtarzać wiele razy w tych samych warunkach, ale nie potrafimy przewidzieć jego kolejnych wyników. Jeśli doświadczenie losowe powtarzamy wielokrotnie i notujemy jego wyniki to otrzymujemy informacje zwane danymi. Dane te możemy przedstawić w postaci: tabeli, wykresu, diagramu.

Przykłady najprostszych doświadczeń losowych Rzut monetą Rzut kostką do gry Losowanie kart do gry

Losowanie ucznia do odpowiedzi Przykłady najprostszych doświadczeń losowych Losowanie ucznia do odpowiedzi Losowanie szczęśliwego numerka Losowanie Toto-Lotka

PRZYKŁAD 1 W 30 rzutach zwykłą sześcienną kostką do gry (30 powtórzeń doświadczenia losowego) Janek otrzymał kolejno następujące wyniki: 1,3,2,5,2,5,3,3,6,6,4,4,1,1,5,5,5,1,3,3,2,2,2,2,6,6,5,5,5. Przedstaw te dane w postaci: Tabeli liczebności Diagramu słupkowego (histogramu) Diagramu procentowego kołowego

PRZYKŁAD 1 - TABELA Zatem: 4x jako wynik rzutu otrzymano 1, Liczba oczek 1 2 3 4 5 6 Liczebność 8 Zatem: 4x jako wynik rzutu otrzymano 1, 6x jako wynik rzutu otrzymano 2, 5x jako wynik rzutu otrzymano 3, 1x jako wynik rzutu otrzymano 4, itd. razem 30 rzutów kostką.

PRZYKŁAD 1 – DIAGRAM SŁUPKOWY

PRZYKŁAD 1 – DIAGRAM KOŁOWY Aby sporządzić diagram procentowy, należy obliczyć częstość występowania poszczególnych wyników Liczba oczek 1 2 3 4 5 6 Częstość (ułamek) Częstość (procent) 13% 20% 17% 6% 27%

PRZYKŁAD 1 – DIAGRAM KOŁOWY Przedstawione na diagramie wycinki koła odpowiadają liczebności poszczególnych wyników w 30 rzutach (30 powtórzeniach doświadczenia losowego) . Z największą częstością wystąpił w tych doświadczeniach wynik 5.

WNIOSEK W doświadczeniu losowym nie możemy przewidzieć konkretnego wyniku , ale możemy określić zbiór wszystkich możliwych wyników. Wykonajmy to na konkretnych przykładach.

Doświadczenie losowe – rzut monetą Możemy otrzymać: Orzeł (O) Reszka (R) Zbiór wszystkich możliwych wyników przy jednokrotnym rzucie to {O,R}

Doświadczenie losowe – dwukrotny rzut monetą Wygodnie jest przedstawić przewidywane wyniki w postaci drzewa Drzewo ma 4 gałęzie. Każda z nich przedstawia jeden z czterech możliwych wyników dwukrotnego rzutu monetą: (O,O), (O,R), (R,O), (R,R). Czyli zbiór wszystkich możliwych wyników przy dwukrotnym rzucie kostką to: {(O,O), (O,R), (R,O), (R,R)}.

Doświadczenie losowe – rzut kostką Przy jednokrotnym rzucie kostką do gry zbiór wszystkich możliwych wyników to: {1,2,3,4,5,6}.

Doświadczenie losowe – rzut kostką i monetą Rzucamy monetą i zwykłą sześcienną kostką do gry. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia? Wygodnie jest przedstawić przewidywane wyniki w postaci tabeli. 1 oczko 2 oczka 3 4 5 oczek 6 Orzeł (O,1) (O,2) (O,3) (O,4) (O,5) (O,6) Reszka (R,1) (R,2) (R,3) (R,4) (R,5) (R,6) W tym doświadczeniu losowym można otrzymać 12 różnych wyników.

Doświadczenie losowe – losowanie kul z urny W urnie znajdują się 4 kule: 1 czerwona (C) i 3 niebieskie (N). Przedstaw w postaci drzewa wszystkie możliwe wyniki następującego doświadczenia losowego: Losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem do urny Losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli bez zwracania do urny.

Doświadczenie losowe – losowanie kul z urny A) Drzewo ma 4 gałęzie. Zbiór wszystkich możliwych wyników to: {(C,C), (C,N), (N,C), (N,N)} B) Drzewo ma 3 gałęzie. Zbiór wszystkich możliwych wyników to: {(C,N), (N,C), (N,N)}

ZDARZENIA W rzucie zwykłą sześcienną kostką do gry, możemy otrzymać jeden z wyników: 1,2,3,4,5,6. Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia losowego nazywa się zdarzeniem elementarnym, a każdy zbiór zdarzeń elementarnych nazywamy zdarzeniem losowym lub krótko zdarzeniem. W przypadku jednokrotnego rzutu kostką zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych złożony jest z sześciu elementów: 1,2,3,4,5,6.

PRZYKŁAD 1 Rzucamy zwykłą sześcienną kostką do gry. Interesuje nas zdarzenie, w którym wypadnie parzysta liczba oczek. Ile wyników odpowiada temu zdarzeniu? Spośród wszystkich możliwych wyników tylko trzy: 2,4,6, są liczbami parzystymi. Oznaczmy zdarzenia A – wypada parzysta liczba oczek. Mówimy, że zdarzeniu A sprzyjają zdarzenia elementarne: 2,4,6, co możemy zapisać A={2,4,6}. Podsumowując, zdarzeniu „wypadła parzysta liczba oczek” sprzyjają 3 wyniki.

PRZYKŁAD 2 Rzucamy dwukrotnie monetą. Z ilu elementów złożony jest zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Zapiszmy, jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniu: Dwukrotnie wypadła reszka Co najmniej raz wypadł orzeł Co najmniej raz wypadła reszka lub orzeł Trzykrotnie wypadła reszka

PRZYKŁAD 2 - rozwiązanie Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych składa się z 4 elementów: (O,O), (O,R), (R,O), (R,R). Zdarzeniu „dwukrotnie wypadła reszka” sprzyja jedno zdarzenie elementarne: (R,R). Zdarzeniu „co najmniej raz wypadł orzeł” sprzyjają trzy zdarzenia elementarne: (O,O), (O,R), (R,O). Zdarzeniu „ co najmniej raz wypadła reszka lub orzeł” sprzyjają cztery zdarzenia elementarne: (O,O), (O,R), (R,O), (R,R). O takim zdarzeniu, któremu sprzyjają wszystkie możliwe zdarzenia elementarne, mówimy, że jest zdarzeniem pewnym. Zdarzeniu „trzykrotnie wypadła reszka” nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne. O takim zdarzeniu mówimy, że jest zdarzeniem niemożliwym.

Prawdopodobieństwo zdarzeń w doświadczeniu losowym Prawdopodobieństwem P zdarzenia losowego A nazywamy stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.

PRZYKŁAD 1 Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie zwykłą sześcienną kostką. Doświadczenie powtórzono 100 razy. Wyniki przedstawiono w poniższej tabeli. Liczba oczek 1 2 3 4 5 6 Liczebność 17 15 14 16 20 18 Interesuje nas, z jaką częstotliwością wypadła nieparzysta liczba oczek. Rozpatrzmy, jaką odpowiedź otrzymamy, jeśli: Przeanalizujemy wyniki tego doświadczenia Weźmiemy pod uwagę teoretyczne szanse wystąpienia nieparzystej liczby oczek

PRZYKŁAD 1 - rozwiazanie Na 100 rzutów wyniki: 1,3,5 otrzymano odpowiednio 17,14, 20 razy czyli w sumie 51 razy. Nieparzysta liczba oczek wypadła z częstotliwością 51:100=0,51~0,5 Przy jednokrotnym rzucie sześcienną kostką zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych składa się z sześciu elementów: 1,2,3,4,5,6. Zdarzeniu A – wypadła nieparzysta liczba oczek sprzyjają 3 zdarzenia elementarne: 1,3,5, czyli A={1,3,5}. Teoretycznie szansa, że zajdzie zdarzenie A wynosi 3:6=0,5. Podsumowując prawdopodobieństwo zdarzenia A – wypadła nieparzysta liczba oczek jest równe 0,5 co zapisujemy: P(A)=0,5.

PRZYKŁAD 2 Ze słowa MATEMATYK wybieramy losowo jedną literę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie to litera A. Słowo MATEMATYK składa się z 9 liter. Litera A występuje 2 razy. Prawdopodobieństwo zdarzenia B – wybraną litera jest A wynosi P(B)=2:9

PRZYKŁAD 3 W urnie znajdują się 2 kule białe, 3 kule czarne i 5 kul zielonych. Losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: A – wylosowana kula jest zielona B – wylosowana kula jest biała lub zielona C – wylosowana kula jest żółta D – wylosowana kula jest biała lub czarna lub zielona

PRZYKŁAD 3 - rozwiązanie W urnie znajduje się 10 kul. Połowa z nich jest zielona czyli P(A)=0,5. Białych i zielonych kul jest łącznie 7. Szansa, że wylosujemy jedną z tych 7 kul spośród wszystkich 10 kul wynosi P(B)=0,7. W urnie nie ma kuli żółtej. Zdarzenie, że wylosowana kula będzie żółta jest zdarzeniem niemożliwym czyli P(C)=0 Zdarzenie, ze wylosowana kula będzie biała lub czarna lub zielona jest zdarzeniem pewnym czyli P(D)=1.

Własności prawdopodobieństwa zdarzeń losowych Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia niemożliwego wynosi 0. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. Prawdopodobieństwo zdarzenia możliwego A: 0<P(A)<1

PRZYKŁAD 4 W pudełku znajduje się 8 orzechów laskowych, 12 włoskich i 20 ziemnych. Losujemy jeden spośród wszystkich orzechów. Obliczmy prawdopodobieństwo wylosowania orzecha każdego rodzaju. W pudełku razem jest 40 orzechów. Przyjmijmy oznaczenia: L-zdarzenie polegające na wylosowaniu orzecha laskowego, W-włoskiego, Z-ziemnego. Orzechów laskowych jest 8. Zatem P(L)=8:40=0,2 Orzechów włoskich jest 12. Zatem P(W)=12:40=0,3 Orzechów ziemnych jest 20. Zatem P(Z)=20:40-0,5 Rozwiązanie można przedstawić w formie drzewka.

Przykładowe zadania egzaminacyjne – koniecznie przeanalizuj rozwiązania

Do pojemnika wsypano 200 koralików białych i 300 czerwonych Do pojemnika wsypano 200 koralików białych i 300 czerwonych. Wymieszano je i zapakowano do woreczków po 50 sztuk. Okazało się, że w jednym z woreczków znalazły się tylko białe koraliki. Dokończ poniższe zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Wobec tego nie jest możliwe, aby Wszystkie pozostałe białe koraliki znajdowały się w trzech woreczkach. W jednym z pozostałych woreczków nie było białych koralików. W większości pozostałych woreczków znalazło się po 17 białych koralików. W każdym z pozostałych woreczków było więcej koralików białych niż czerwonych. Odp. D

W szufladzie znajduje się 10 par skarpetek, w tym 3 pary skarpetek czarnych. Tomek losowo wyjmuje po jednej skarpetce z szuflady. Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P , jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli zdanie jest fałszywe. Tomek , aby mieć pewność, że przynajmniej dwie skarpetki będą czarne, musi wyjąć co najmniej 16 skarpetek. P F Tomek za pierwszym razem nie wyjął czarnej skarpetki. Prawdopodobieństwo, że za drugim razem wyjmie czarną skarpetkę, wzrosło.

PODSUMOWANIE Umiesz Podać przykłady doświadczeń losowych dokonać analizy prostych doświadczeń losowych, określić prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w przykładowych doświadczeniach, może potrafisz przewidzieć swoją wygraną lub szczęśliwy numerek a to byłoby frajdą dla nas wszystkich??? , .