Metody sterowania – sterowanie rozmyte System rozmyty (patrz MiPI) użyty jako sterownik/regulator nazywamy sterownikiem/regulatorem rozmytym Sterowanie rozmyte jest „sterowaniem za pomocą reguł” Sterowanie rozmyte można sklasyfikować jako: - nieadaptacyjne sterowanie rozmyte - adaptacyjne sterowanie rozmyte Nieadaptacyjne sterowanie rozmyte – struktura i parametry sterownika rozmytego ustalone w procesie projektowania pozostają niezmienione podczas jego działania (w czasie rzeczywistym) Adaptacyjne sterowanie rozmyte – struktura i/lub parametry podlegają zmianom podczas działania sterownika w czasie rzeczywistym Sterowanie nieadaptacyjne jest prostsze niż sterowania adaptacyjne, ale wymaga większej wiedzy o sterowanym obiekcie (o jego modelu) i może dawać gorsze wskaźniki działania

Sterowanie rozmyte a sterowanie klasyczne - podobieństwa  Próbują rozwiązać ten sam problem – problem sterowania. Muszą odnosić się do tych samych kwestii, wspólnych we wszystkich problemach sterowania, takich np. jak stabilność, jakość  Narzędzia matematyczne używane w analizie projektowanego systemu są podobne ponieważ badane są te same kwestie – stabilność, zbieżność, itd. Sterowanie rozmyte a sterowanie klasyczne - różnice  Sterowaniem klasyczne bazuje na modelach analitycznych (równania algebraiczne, różniczkowe) i sterowniki są budowane dla tych modeli; sterowanie rozmyte bazuje na heurystyce (umiejętność odkrywania nowych faktów i związków pomiędzy nimi) i ludzkim doświadczeniu wyrażonych w lingwistycznych regułach jeżeli-to a sterowniki są budowane poprzez syntezę tych reguł – różna jest forma informacji na której bazuje projektowanie sterowników  Zaawansowane sterowniki rozmyte mogą wykorzystywać zarówno modele heurystyczne jak i analityczne

Teoria sterowania nieliniowego Sterowanie rozmyte Sterowanie klasyczne Modele heurystyczne Modele analityczne Sterownik nieliniowy Teoria sterowania nieliniowego

Klasyfikacja metodologii projektowania sterowników rozmytych: - podejście prób i błędów - podejście bazujące na teorii sterowania Podejście prób i błędów – zbiór reguł jeżeli-to tworzony przez werbalizację wiedzy opartej na doświadczeniu (np. podręcznik eksploatacji) lub drogą wywiadu z ekspertem dziedzinowym w oparciu o starannie przygotowany kwestionariusz - sterownik rozmyty skonstruowany z reguł jeżeli-to testowany (symulacyjne, na rzeczywistym obiekcie) - wynik testów negatywny – powrót do tworzenia zbioru reguł w celu jego udoskonalania Podejście bazujące na teorii sterowania – struktura i parametry sterownika rozmytego są projektowane tak, aby spełnione były pewne kryteria „dobrego” działania, np. stabilność

Podejście prób i błędów  Krok 1: Przeprowadź analizę sterowanego systemu i wybierz zmienne, którymi będzie charakteryzowany stan obiektu (wejścia sterownika) i zmienne sterujące (wyjścia sterownika); określ dziedziny rozważań dla wybranych zmiennych  Krok 2: Zbuduj bazę reguł rozmytych jeżeli-to określającą relację pomiędzy zmiennymi charakteryzującymi stan obiektu a zmiennymi sterującymi  Krok 3: Wkomponuj utworzoną bazę reguł rozmytych w budowany system sterownika rozmytego  Krok 4: Przeprowadź testy zamkniętego układu sterowania i jeżeli wynik testu jest niezadowalający powróć do Kroku 1

Przyjmowane domyślnie założenia przy projektowaniu systemu sterowania rozmytego 1. Obiekt jest obserwowalny i sterowalny: stan, wejście i wyjście są dostępne dla obserwacji, pomiarów lub obliczeń 2. Istnieje wiedza o obiekcie wyrażona w postaci reguł lingwistycznych, inżynierskiego doświadczenia, intuicji lub danych z obserwacji (pomiarów) wejścia – wyjścia z których można wyprowadzić reguły jeżeli-to 3. Istnieje rozwiązanie problemu sterowania rozważanym obiektem 4. Inżynier sterowania (automatyk) poszukuje sterowania „wystarczająco dobrego”, niekoniecznie najlepszego 5. Sterownik powinien być zaprojektowany tak, aby zapewnić akceptowalną jakość sterowania 6. Problemy stabilności i optymalności nie są rozważane wprost

Sterownik Mamdani’ego i Larsen’a Pierwszy sterownik rozmyty został zaproponowany przez Mamdani’ego w 1975 roku Sterownik Mamdani’ego oparty jest na skończonym zbiorze reguł jeżeli-to . postaci (i – ta reguła): gdzie, są zbiorami rozmytymi, oraz są odpowiednio wejściowymi i wyjściowymi zmiennymi rozmytymi, a Każda z reguł zbioru reguł rozmytych definiuje zbiór rozmyty w przestrzeni U x V

Taką bazę reguł nazywamy bazą w postaci koniunkcyjnej Można pokazać, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: gdzie, Aij oraz Bi są zbiorami rozmytymi w Xj  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego () Taką bazę reguł nazywamy bazą w postaci koniunkcyjnej

Fakt 1. Ponieważ każdy system MIMO może zawsze być zdekomponowany do na systemy MISO, bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Fakt 2. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „niekompletne” reguły postaci gdzie, r < p Dowód. Niekompletna reguła jest równoważna regule gdzie, I1 jest uniwersalnym zbiorem rozmytym na całej przestrzeni rozważań R

Fakt 3. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły OR reguły postaci Dowód. Intuicyjne rozumienie operatora OR pozwala napisać następujące dwie reguły równoważne podanej regule OR a z faktu 2 mamy, że każda z tych reguł jest równoważna regule postaci (*)

Fakt 4. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek stwierdzenie rozmyte Dowód. W istocie takie stwierdzenie rozmyte jest równoważne regule która ma formę reguły postaci (*)

Fakt 5. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „reguły stopniowane” postaci Dowód. Wyrażeniu „mniejszy x” można nadać formę stwierdzenia rozmytego przez zdefiniowanie zbioru rozmytego mniejszy x. Oznaczmy ten zbiór A. Podobnie można postąpić z wyrażeniem „większy y”. Oznaczmy reprezentujący je zbiór rozmyty B. Podana reguła stopniowana może być wówczas zapisana a z faktu 2 mamy, że taka reguła jest równoważna regule postaci (*)

Fakt 6. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły „jeżeli nie” Dowód. Traktując która w oparciu o prawo de Morgana jest równoważna regule Intuicyjne rozumienie wyrażenia „jeżeli nie” pozwala napisać następującą regułę równoważną podanej jako odrębny zbiór rozmyty i opierając się na fakcie 3 możemy stwierdzić, że rozważana reguła jest równoważna (*)

Fakt 7. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły ostre (klasyczne) Dowód. Jeżeli funkcje przynależności zbiorów Ai,j oraz zbioru Bi przyjmują tylko dwie wartości 0 oraz 1 to reguła (*) staje się regułą nie-rozmytą Podsumowanie: Biorąc pod uwagę Fakt 1 bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Biorąc pod uwagę Fakt 2-7 bez utraty ogólności możemy rozważać modele lingwistyczne w postaci koniunkcyjnej jako ogólne modele lingwistyczne

Interpretacja bazy reguł - funkcja rozmyta zdefiniowana odcinkami Sterownik rozmyty jest sterownikiem, który realizuje (nieliniowe) odwzorowanie zdefiniowane za pomocą reguł jeżeli-to

Ogólne prawo sterowania - zadane bazą reguł rozmytych Określenie wartości sterowania – użycie bazy reguł rozmytych, mechanizmu wnioskowania i aktualnego wejścia sterownika Sterownik Mamdani’ego i Larsen’a – wnioskowanie uproszczone Mamdani’ego

Przypadek I: Wejście i wyjście sterownika rozmytego – zbiory rozmyte I. Jeżeli jest wejściem do systemu rozmytego sterownika określonym w dziedzinie , wówczas wyjście indukowane tym wejściem poprzez i-tą regułę JEŻELI–TO jest zbiorem rozmytym określonym przez złożenie zbioru wejścia i i-tej reguły określonym na dziedzinie Kroki obliczenia zbioru 1. Obliczenie stopnia spełnienia poszczególnych czynników przesłanki i-tej reguły przez dane wejście 2. Obliczenie stopnia spełnienia całej przesłanki i-tej reguły 3. Obliczenie zbioru

Najczęściej stosowana S-norma MAX - wybrana T-norma T-norma MIN: sterownik Mamdani’ego T-norma PROD: sterownik Larsen’a II. Zbiór wyjścia indukowany zbiorem wejścia poprzez bazę reguł JEŻELI–TO sterownika jest zbiorem rozmytym określonym przez agregację zbiorów rozmytych i określonym na dziedzinie - wybrana S-norma Najczęściej stosowana S-norma MAX

Mechanizm wnioskowania rozmytego Przedstawiony system: Czysty system rozmyty Baza reguł rozmytych Zbiór rozmyty w U Zbiór rozmyty w V Mechanizm wnioskowania rozmytego

Wnioskowanie Mamdani’ego – czysty system rozmyty -ilustracja

System rozmyty z rozmywaniem i wyostrzaniem W zastosowaniach technicznych wymagamy najczęściej: - wejście sterownika rozmytego ostre – wartość pomiaru - wyjście sterownika rozmytego ostre – poziom sterowania Przypadek II: Wejście i wyjście sterownika rozmytego – zbiory ostre System rozmyty z rozmywaniem i wyostrzaniem Baza reguł rozmytych x w U y w V Rozmywanie Wyostrzanie Mechanizm wnioskowania rozmytego Zbiór rozmyty w U Zbiór rozmyty w V

Rozmywanie - fuzyfikacja Interpretacja ostrego pomiaru w kategoriach rozmytych Stosowane podejścia:  pomiar dokładny – przyporządkowanie pomiarowi ostremu zbioru rozmytego singleton Singleton (jednoelementowy zbiór rozmyty): Singleton jest to taki zbiór rozmyty A, którego nośnik S(A) zawiera tylko jeden element o stopniu przynależności różnym od zera

Gaussowska funkcja przynależności:  pomiar niedokładny, rozkład probabilistyczny błędu pomiaru normalny – przyporządkowanie pomiarowi ostremu zbioru rozmytego określonego gaussowską funkcja przynależności Gaussowska funkcja przynależności: Przykład: gaussian(x;50,20) Inna możliwość: zbiór rozmyty z trójkątną funkcją przynależności

Wyostrzanie - defuzyfikacja Defuzyfikacja zbioru rozmytego to operacja określenia „ostrej” wartości reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) We wnioskowaniu Mamdani’ego, czyli w podejściu uproszczonym stosowana jest metoda środka ciężkości (COA, COG) Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejście formalnym

Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG) Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy Regulator rozmyty składa się z czterech następujących elementów: 1. Bazy reguł (zbiór reguł If-Then), która zawiera wyrażoną w logice rozmytej kwantyfikację lingwistycznego opisu tego, jak osiągnąć dobre sterowanie

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 2. Mechanizmu wnioskowania (nazywanego też modułem wnioskowania rozmytego), który emuluje podejmowanie decyzji interpretując i stosując wiedzę o to tym, jak najlepiej sterować procesem

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 3. Interfejsu rozmywania (fuzzification interface), który przetwarza ostre (crisp) wejścia regulatora w informację rozmytą, którą mechanizm wnioskowania może łatwo użyć do uaktywnienia i stosowania reguł

Typowy układ sterowania rozmytego – struktura i elementy – c.d. 4. Interfejsu wyostrzania (defuzification interface), który przetwarza konkluzje mechanizmu wnioskowania w ostre wejścia dla procesu

Zbiór reguł przy koniunkcyjnej formie przesłanek bazy reguł dzieli dziedzinę wejścia na kratownicę rozmytych hiperskrzynek. Każda hiperskrzynka jest przecięciem odpowiednich jednowymiarowych zbiorów rozmytych wejścia systemu Liczba reguł w koniunkcyjnej formie, potrzebna do pokrycia całego obszaru wejścia określona jest wzorem gdzie p jest wymiarem przestrzeni wejścia a Ni jest liczbą wartości lingwistycznych przypisywanych i-tej zmiennej wejścia (przesłanki)

Zwykle wymagane cechy poprawnie zbudowanej bazy reguł Kompletność. Zbiór reguł JEŻELI-TO jest kompletny (zupełny), jeżeli dla każdego elementu przestrzeni rozważań istnieje co najmniej jedna reguła w bazie taka, że w jej przesłance istnieje zbiór rozmyty do którego stopień przynależności tego elementu jest różny od zera (większy od zera) Spójność. Zbiór reguł JEŻELI-TO jest spójny, jeżeli nie istnieją w nim reguły z taką samą częścią JEŻELI lecz różnymi częściami TO

Przykład 1. Obiekt Możliwości: - sterowanie u określa i realizuje człowiek - sterowanie u określa i realizuje sterownik rozmyty wyposażony w wiedzę (baza reguł) przekazaną przez człowieka i posiadający możliwość mierzenia stanu wahadła (pomiary) i realizacji sterowania (urządzenie wykonawcze)

Struktura układu sterowania automatycznego rozmytego Struktura układu sterowania ręcznego Wahadło odwrócone Wahadło odwrócone Sterownik rozmyty Struktura układu sterowania automatycznego rozmytego

Siła przyłożona do wózka – Wybór wejść i wyjść sterownika rozmytego Wejścia regulatora: Uchyb położenia Położenie pożądane Położenie aktualne Wyjście regulatora: Zmiana uchybu Siła przyłożona do wózka –

Określenie pożądanej trajektorii Pożądane położenie: r(t) = 0 Opis lingwistyczny Zmienne lingwistyczne: Pożądane położenie: „Uchyb” – e(t) r(t) = 0 „Zmiana uchybu” – Zależności: „Siła” – u(t)

Przyjęcie konwencji znaku zmiennych: Położenie  +  Uchyb - ; Położenie  -  Uchyb + Zmiana położenia  +  Zmiana uchybu - ; Zmiana położenia  -  Zmiana uchybu + Siła  +

Wartości lingwistyczne (dla wszystkich zmiennych):  ujemna, duża co do wartości – „neglarge” - NL  ujemna, mała co do wartości – „negsmall” - NS  zero – „zero” - Z  dodatnia, mała co do wartości – „possmall” - PS  dodatnia, duża co do wartości – „poslarge” - PL

Wahadło odwrócone w różnych położeniach i różnych jego zmianach Położenie pożądane Uchyb dodatni Uchyb ujemny Uchyb ujemny (zerowy) Zmiana uchybu dodatnia Zmiana uchybu ujemna Siła dodatnia

Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych Uchyb Zmiana uchybu Siła

Jak działają funkcje przynależności? Pokazanie jak je interpretować dla różnych wartości elementów z dziedziny rozważań Np. dla e(t) i possmall (i) e(t) = - π/2; jesteśmy całkowicie pewni, że e(t) = - π/2 nie jest „possmall” (ii) e(t) = π/8; jesteśmy połowicznie pewni, że e(t) = π/8 jest „possmall” (iii) e(t) = π/4; jesteśmy całkowicie pewni, że e(t) = π/4 jest „possmall” (iv) e(t) = π; jesteśmy całkowicie pewni, że e(t) = π nie jest „possmall”

Zdefiniowanie wartości rozmytych dla poszczególnych zmiennych rozmytych -inne propozycje

Budowa reguł Przykładowa sytuacja 1 Czynniki przesłanki (stwierdzenie o stanie):  uchyb jest ujemny duży I  zmiana uchybu jest ujemna duża Konkluzja (stwierdzenie o działaniu):  siła jest dodatnia duża Reguła

Przykładowa sytuacja 2 Czynniki przesłanki (stwierdzenie o stanie):  uchyb jest zerowy (bliski zeru) I  zmiana uchybu jest dodatnia mała Konkluzja (stwierdzenie o działaniu):  siła jest ujemna mała Reguła

Przykładowa sytuacja 3 Czynniki przesłanki (stwierdzenie o stanie):  uchyb jest dodatni duży I  zmiana uchybu jest ujemna mała Konkluzja (stwierdzenie o działaniu):  siła jest ujemna mała Reguła

„siła” „uchyb” „zmiana uchybu” NL NS Z PS PL PL PL ? PL ? PS ? Z ? PL Pełna baza reguł (tablica reguł) Wypełniamy wspólnie ! „siła” „uchyb” „zmiana uchybu” NL NS Z PS PL PL PL ? PL ? PS ? Z ? PL ? PL ? PS ? Z ? NS ? PL ? PS ? Z ? NS NL ? PS ? Z ? NS ? NL ? NL ? Z ? NS NL ? NL ? NL ?

Jak to działa? - Które reguły są uaktywniane dla danych wartości wejść Wejścia: e(t) = 0, de(t)/dt = π/8 – π/32 = 3π/32 ≈ 0.2945 Uaktywnione reguły

„siła” „uchyb” „zmiana uchybu” NL NS Z PS PL PL PL PL PS Z PL PL PS Z Uaktywnione reguły „siła” „uchyb” „zmiana uchybu” NL NS Z PS PL PL PL PL PS Z PL PL PS Z NS PL PS Z NS NL PS Z NS NL NL Z NS NL NL NL

Wnioskowanie z wykorzystaniem uaktywnionych reguł i aktualnego wejścia

Powierzchnia odpowiedzi regulatora rozmytego wahadła odwróconego

Dziękuję za uczestnictwo i uwagę