Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania1 Linearyzacja Modele liniowe powstają też w wyniku linearyzacji nieliniowych modeli przestrzeni stanu w otoczeniu tzw. trajektorii nominalnej Weźmy nieliniowy niestacjonarny model przestrzeni stanu - równanie stanu - równanie wyjścia gdzie - stan - wejście - wyjście - funkcje różniczkowalne w sposób ciągły względem swoich argumentów
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania2 Trajektorię nominalną określa się w następujący sposób: Definicja trajektorii nominalnej: Dla nominalnego sygnału wejścia nominalna trajektoria stanu spełnia równanie stanu i nominalna trajektoria wyjścia spełnia równanie wyjścia Jeżeli nominalna trajektoria wejścia jest stała trajektoria stanu jest stanem równowagi, który spełnia równanie dla wszystkich
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania3 Odchylenia stanu ( w tym stanu początkowego), wejścia i wyjścia od ich trajektorii nominalnych oznaczymy Korzystając z powyższych oznaczeń – równanie stanu Rozwijamy funkcję w szereg Taylora w otoczeniu wartości nominalnych
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania4 Z definicji trajektorii nominalnej stanu i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione Zlinearyzowane równanie stanu
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania5
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania6 Zlinearyzowane równanie stanu
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania7 Podobnie dla równania wyjścia Rozwijamy funkcję w szereg Taylora w otoczeniu wartości nominalnych
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania8 Z definicji trajektorii nominalnej wyjścia i zakładając, że warunki zaniedbania reszty z wyrazów wyższych rzędów są spełnione Zlinearyzowane równanie wyjścia
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania9
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania10 Zlinearyzowane równanie wyjścia
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania11 Przykład Ruch kulki toczącej się w wyżłobionej belce (patrz rysunek) opisywany jest równaniami Zmienne - położenie kulki (wyjście) - kąt pochylenia belki (wyjście) - przyłożony moment obrotowy (wejście) Parametry - przyśpieszenie ziemskie - moment bezwładności belki - masa kulki - promień kulki - moment bezwładności kulki
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania12 Definiujemy zmienne stanu Wejście Wyjście Równania stanu gdzie
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania13 Równanie wyjścia Interesuje nas sterowanie w sytuacji: belka w położeniu ustalonym poziomym i kulka poruszająca się ruchem jednostajnym. Przyjmując, że obserwację rozpoczynamy w chwili t 0, położenie początkowe wynosi p 0, zaś prędkość ruchu jednostajnego v 0, możemy napisać
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania14 Podstawmy te ustalenia do równań stanu
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania15 Dla przyjętej trajektorii stanu, aby spełniała ona wymagania definicji trajektorii nominalnej czyli Podsumowanie: Nominalna trajektoria wejścia Nominalna trajektoria stanu Nominalna trajektoria wyjścia
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania16 Definiujemy zmienne przyrostowe w otoczeniu trajektorii nominalnych - stanu - wejścia - wyjścia
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania17 Funkcje f(x(t), u(t)) i h(x(t), u(t))
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania18 Jakobiany
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania19
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania20
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania21
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania22
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania23 Wartości jakobianów na trajektoriach nominalnych
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania24
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania25
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania26 Model nieliniowy Model zlinearyzowany w otoczeniu trajektorii nominalnych
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania27
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania28 Model szczególny trajektorii nominalnych – stała trajektoria wejścia, trajektoria stanu = stan równowagi Sprawdzić czy jest to stan równowagi!
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania29 Model zlinearyzowany w otoczeniu stanu równowagi
Modelowanie i podstawy identyfikacji 2009/2010Modele fenomenologiczne - przykłady Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.Katedra Inżynierii Systemów Sterowania30