DANE INFORMACYJNE 97_10_MF_G1 i 97_93_MF_G1 Kompetencja: Nazwa szkoły: ZESPÓŁ SZKÓŁ GOSPODARKI ŻYWNOŚCIOWEJ W GOŚCINIE ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH IM. J. MARCIŃCA W KOŹMINIE WLKP. ID grupy: 97_10_MF_G1 i 97_93_MF_G1 Kompetencja: MATEMATYCZNO-FIZYCZNA Temat projektowy: RÓŻNE WŁASNOŚCI LICZB NATURALNYCH Semestr/rok szkolny: TRZECI/2010/2011

LICZBY NATURALNE Liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Pojęcie liczby jest jednym z najstarszych i najbardziej abstrakcyjnych pojęć jakie wytworzyła ludzkość. Badaniem własności liczb naturalnych zajmuje się teoria liczb Zazwyczaj mówiąc o liczbach naturalnych mamy na myśli liczby 1, 2, 3, 4..., czasem jednak wygodnie jest przyjąć, że liczba 0 jest również liczbą naturalną. Tak robi się na przykład w informatyce i teorii mnogości.

Liczby naturalne można ustawić w ciąg nieskończony. Dysponując jedynką, łatwo jest otrzymać wszystkie inne liczby naturalne. Trzeba tylko cierpliwie dodawać ... Zbiór liczb naturalnych oznaczamy symbolem N Zbiór liczb naturalnych N jest najmniejszym zbiorem, spełniającym następujące warunki: 1. 0 € N, 2. Jeśli n € N, to n + 1 € N

Pierwsze systematyczne, abstrakcyjne studia nad liczbami przypisuje się Greckim filozofom: Pitagorasowi i Archimedesowi. Poza Grecją niezależne rozważania prowadzono w rejonie Indii, Chin i Ameryki Środkowej. Dopiero w XIX w. pojawiła się ścisła, teoriomnogościowa definicja zbioru liczb naturalnych. Zgodnie z nią, zero jako odpowiednik zbioru pustego jest najmniejszym elementem tego zbioru. Wielu matematyków, szczególnie w teorii liczb jednak wyłącza tę liczbę ze zbioru liczb naturalnych.

Postulaty Peano Podanie ścisłej definicji zbioru liczb naturalnych nie było proste i zajęło matematykom wiele czasu. Giuseppe Peano zaproponował następujące warunki (tzw. postulaty lub aksjomaty Peano), które musi spełniać zdefiniowany zbiór liczb naturalnych, aby ta definicja była prawidłowa: -Istnieje liczba naturalna 0; -Każda liczba naturalna ma swój następnik, oznaczany S(a); -Zero nie jest następnikiem żadnej liczby naturalnej; -Różne liczby naturalne mają różne następniki: -Jeśli zero ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność (zasada indukcji matematycznej).

Podstawowe własności dla wszystkich liczb naturalnych: -jeśli m < n to m <= n; -~(n < n); -jeśli m <= n i ~(m = n) to m < n; -jeśli S(m) = S(n) to m = n; -jeśli n <= k <= S(n) to k=n lub k=S(n) -m <= n lub n <= m (porządek); -m = n lub n < m lub m < n.

Innym uogólnieniem pojęcia liczby naturalnej jest liczba kardynalna Innym uogólnieniem pojęcia liczby naturalnej jest liczba kardynalna. Liczba kardynalna zbioru opisuje jego moc – liczby naturalne są liczbami kardynalnymi zbiorów skończonych.

Liczby pierwsze

Liczby pierwsze to te liczby naturalne większe od 1, które mają tylko dwa dzielniki naturalne – jedynkę i samą siebie.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides.

Wyznaczanie liczb pierwszych   Łatwo szukać kolejnych liczb pierwszych nie większych od danej liczby naturalnej n. Wypisuje się kolejno liczby naturalne od 2 do n. Liczba 2, pierwsza z wypisanych liczb, jest liczbą pierwszą; pozostawia się ją i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 2, gdyż nie są to liczby pierwsze.  Z liczb pozostałych po tym wykreśleniu kolejną po liczbie 2 jest liczba 3. Pozostawia się ją jako liczbę pierwszą  i wykreśla się wszystkie dalsze liczby podzielne przez 3, które nie zostały poprzednio wykreślone. Z pozostałych teraz liczb kolejną po 2 i 3 jest liczba 5; pozostawia się ją i wykreśla wszystkie dalsze liczby podzielne przez 5, które nie zostały dotychczas wykreślone. Kontynuując to wykreślanie, dojdzie się wreszcie do tego, że wszystkie liczby, które nie są pierwsze zostaną wykreślone, pozostaną tylko liczby pierwsze nie większe od n. Ta metoda zwana jest sitem Eratostenesa. .

Twierdzenie Czebyszewa Czebyszew udowodnił następujące twierdzenie: Dla dowolnej liczby naturalnej n większej od 1, między liczbami n a 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza.

Największa znana liczba pierwsza Największa odkryta dotąd liczba pierwsza to: 2^{25964951}-1 i liczy sobie 7 816 230 cyfr w zapisie dziesiętnym. Została ona odkryta 18. lutego 2005 roku przez projekt GIMPS.

Liczby naturalne dodatnie a1, Liczby naturalne dodatnie a1,...,an nazywamy względnie pierwszymi, jeśli ich największym wspólnym dzielnikiem jest liczba 1.

Liczby złożone - Liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi, tj. posiadają jakiś dodatni dzielnik różny od jedności i ich samych.

Specjalne rodzaje liczb pierwszych

Liczby pierwsze bliźniacze Liczby pierwsze p i q nazywamy bliźniaczymi jeśli p = q + 2. Przykłady: 3 i 5, 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19, 29 i 31, 41 i 43, 59 i 61, 71 i 73... Zauważmy, ż 5 jest bliźniacza zarówno z 3 jak i z 7.

Już w 1919 roku Norweg Brun wykazał, że szereg odwrotności bliźniaczych liczb pierwszych jest zbieżny. Zbieżność ta może być spowodowana przez to, że liczb bliźniaczych jest tylko skończenie wiele; jeśli tak nie jest - to znaczy przynajmniej, że są one "rzadko położone".

Największą znaną obecnie parą liczb bliźniaczych jest para liczb : (260 497 545ˇ26 625-1,  260 497 545ˇ26 625+1).

Liczby pierwsze Mersenne`a Liczby Mersenne'a to liczby określone wzorem 2n - 1 gdzie n jest liczbą pierwszą. Niektóre z liczb Mersenne'a są liczbami pierwszym na przykład dla n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607... Niektóre jednak nie są liczbami pierwszymi na przykład dla n=11, 67, 257

tego typu - niestety błędną. Ciekawostka! Liczby te zostały tak nazwane na cześć francuskiego matematyka Marina Mersenne'a, który opublikował tablicę liczb pierwszych tego typu - niestety błędną.

Liczby Mersenne'a można określić także jako sumę n pierwszych wyrazów postępu geometrycznego 20, 21, 22, 23, ... Mamy więc M1 = 1, M2 = 3, M3 = 7, M4 = 15, M5 = 31, M6 = 63... Wiadomo, że jeżeli n jest liczbą złożoną, to liczba Mn jest także liczbą złożoną. Prawdziwe jest także stwierdzenie, że jeżeli liczba Mn jest liczbą pierwszą, to liczba n musi być pierwszą, ale niekoniecznie na odwrót.

Liczby pierwsze Mersenne'a Mp, gdzie p jest liczbą pierwszą oraz p ≤ 127, zostały odkryte przed erą komputerów. Pierwszą próbę szukania liczb pierwszych Mersenne'a przy użyciu komputera podjął w 1951 r. A. Turing, ale nie odniósł sukcesu. Obecnie znane są metody umożliwiające sprawdzenie czy liczba 2p - 1, jest pierwsza czy też złożona, jedną z metod polega na obliczaniu wyrazów pewnego ciągu rekurencyjnego podanego przez E. Lucasa i D.H. Lehmera

Wykaz przykładowych liczb pierwszych Mersenne'a 1. 22 – 1 2. 23 - 1 3. 25 - 1 4. 27 - 1 5. 213 – 1 6. 217 - 1 7. 219 - 1 8. 231 – 1 9. 261 - 1 10. 289 - 1 11. 2107 - 1 12. 2127 – 1 13. 2521 - 1 14. 2607 - 1 15. 21279 – 1 16. 22203 – 1 ...

Liczby Mersenne'a są związane z odnajdywaniem kolejnych liczb doskonałych, ponieważ występują we wzorze, który generuje liczby doskonałe. Odkryciu nowej liczby pierwszej Mersenne'a towarzyszy więc odkrycie nowej liczby doskonałej.

Największą obecnie znaną taką liczbą pierwszą jest 2 25964951 -1. W chwili obecnej duże liczby pierwsze będące liczbami Mersenne'a poszukuje się za pomocą projektów obliczeń rozproszonych takich jak GIMPS.

Obliczenia rozproszone (ang. distributed computing) to takie obliczenia,które umożliwiają współdzielenie zasobów obliczeniowych,które są częstogeograficznie rozproszone. W obliczeniach rozproszonych zadanie obliczeniowepoddane zostaje dekompozycji np. na programy, procesy, procesory. Szczególną popularnością wśród użytkowników Internetu cieszą się projekty,w których użytkownicy udostępniają odpłatnie bądź nieodpłatnie moc obliczeniowąswoich komputerów firmom prywatnym, instytucjom naukowym, rządowym lubosobom prywatnym.

Założycielem i autorem oprogramowania jest George Woltman. Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) to projekt ochotników używająych Prime95 i MPrime, specjalnych darmowych programów open source, w celu znalezienia liczb pierwszych Mersenne'a. Założycielem i autorem oprogramowania jest George Woltman. Projekt odnosi sukcesy - znaleziono 8 liczb Mersenne'a, każda z nich była największą liczbą pierwszą w momencie odkrycia. W lutym 2005 największą znaną liczbą pierwszą jest 2 25 964 951 − 1, znaleziona 18 lutego 2005.

LICZBY DOSKONAŁE

Liczba doskonała to taka liczba, która jest równa sumie wszystkich swoich dzielników mniejszych od niej samej.

Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, Pierwsze wzmianki o liczbach doskonałych pojawiają się w Elementach Euklidesa około 300 r. p.n.e: Jeśli wziąć dowolnie dużo liczb, z których pierwsza jest jedynką, a każda następna jest dwa razy większa od poprzedniej i dodać je do siebie to, jeśli w wyniku otrzyma się liczbę pierwszą, to liczba ta pomnożona przez liczbę dwa razy większą od ostatniej w tym szeregu będzie liczbą doskonałą.

Odkryto sporo liczb doskonałych, ale nie udało Ważne!!! Odkryto sporo liczb doskonałych, ale nie udało się znaleźć żadnej nieparzystej. Nie udowodniono również, że nie ma nieparzystych liczb doskonałych.

Pierwsza liczba doskonała to 6 Pierwsza liczba doskonała to 6. D6 = { 1, 2, 3, 6 } 6 = 1 + 2 + 3 Druga liczba doskonała to 28. D6 = { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Kabaliści utrzymywali, że nie przypadkiem Bóg stworzył świat w sześć dni, a Księżycowi kazał obiegać Ziemię w ciągu 28 nocy. Dwie kolejne liczby doskonałe znalazł Euklides: 496 i 8128. On też zauważył, że jeśli liczby p i 2p - 1 są pierwsze, to liczba postaci 2p-1(2p - 1) jest liczbą doskonałą.

  Wykaz początkowych liczb doskonałych :    1. - 6   2. - 28   3. - 496   4. - 8128   5. - 33 550 336   6. - 8 589 869 056   7. - 137 438 691 328   8. - 2 305 843 008 139 952 128   9. - 260(261-1) 10. - 288(289-1) 11. - 2106(2107-1) 12. - 2126(2127-1) 13. - 2520(2521-1) 14. - 2606(2607-1) 15. - 21278(21279-1) 16. - 22202(22203-1) 17. - 22280(22281-1)

Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest: 230402456·(230402457-1) Liczy ona 18 304 103 cyfr!

Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później Piątą liczbę doskonałą znaleziono ponad tysiąc lat później. Kolejne dwie liczby odkrył Cataldi na początku XVII w. Później liczby doskonałe odkrywali Fermat, Mersenne i Euler. Historia największych liczb doskonałych związana jestz odkrywaniem coraz to większych liczb pierwszych Mersenna. Dziś w dobie komputerów znamy ich niewiele. Wszystkie znane liczby doskonałe mają postać zaproponowaną przez Euklidesa.

Ciekawe zależności i układy liczb naturalnych

9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888

1 x 1 = 1 11 x 11 = 121 111 x 111 = 12321 1111 x 1111 = 1234321 11111 x 11111 = 123454321 111111 x 111111 = 12345654321 1111111 x 1111111 = 1234567654321 11111111 x 11111111 = 123456787654321 111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Liczby zaprzyjaźnione

Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284. Gdy zapytano Pitagorasa: Co to jest przyjaciel? Odpowiedział:  Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń, to stosunek liczb 220 i 284.

DEFINICJA Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych takich, że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników). Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284

Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona sama ze sobą.

Przykłady liczb zaprzyjaźnionych:

Historia odkrycia Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: -Mersenne, -Fermat, a także -Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". ;) Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109.

Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb Ciekawostka: Na początku 2001 roku Mariano Garcia znalazł milionową parę liczb zaprzyjaźnionych. W maju tego samego roku znaleziono już  takich par aż 2 122 263!

Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione W starożytności liczbom zaprzyjaźnionym przypisywano znaczenie mistyczne. Dzisiaj już wiara w zaprzyjaźnione liczby wygasła, i nikt nie korzysta z przykładu średniowiecznego księcia, którego liczbowa wartość imienia wynosiła 284 i który pozostał do śmierci kawalerem, bo nie mógł znaleźć narzeczonej, której imię miałoby wartość 220.

n>1 pierwsze będzie liczbą naturalną P=3*2n-1-1 Q=3*2n-1 Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra’e ok. roku 850. n>1 pierwsze będzie liczbą naturalną P=3*2n-1-1 Q=3*2n-1 r=9*22n-1-1 Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to 2npq i 2nr są liczbami zaprzyjaźnionymi

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850. Niech: N>1, będzie liczbą naturalną,  P = 3*2n-1-1 q= 3*2n-1 r=9*22n-1-1 Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to   2npq i 2n r  są liczbami zaprzyjaźnionym

Liczby najbardziej złożone

DEFINICJA Liczbą najbardziej złożoną nazywamy taką liczbę , która ma więcej podzielników , niż każda liczba naturalna mniejsza od niej: np. liczba 6 jest najbardziej złożona , gdyż ma cztery podzielniki , a liczby naturalne mniejsze od 6 mają mniej podzielników .

LICZBY ANTYPIERWSZE Liczbę antypierwszą definiujemy jako liczbę, która ma więcej  dzielników niż każda dodatnia liczba całkowita mniejsza od niej.  Kolejnymi liczbami antypierwszymi są: 1 (1 dzielnik), 2 (2 dzielniki), 4 (3 dzielniki), 6 (4 dzielniki), 12 (6 dzielników) itp.

CZY TO TYLKO ZBIEG OKOLICZNOŚCI ?

Z matematycznego punktu widzenia: Czemu równa się 100% w życiu? Co oznacza dać 100%? Jak osiągnąć 100%. Czemu równa się 100% w życiu?

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Jeśli litery: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z są reprezentowane przez liczby: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26.

Wtedy: CIĘŻKA PRACA H-A-R-D-W-O-R- K 8+1+18+4+23+15+18+11 = 98% a WIEDZA K-N-O-W-L-E-D-G-E 11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%

lecz ŻYCZLIWOŚĆ A-T-T-I-T-U-D-E 1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%

Stąd matematyczna konkluzja: Ciężką pracą Hard Work i Wiedzą Knowledge dojdziesz blisko celu, ale Życzliwością Attitude osiągniesz cel!

LICZBY TRÓJKĄTNE tk = k ( k + 1 ) / 2, k € N tk - jest sumą kolejnych liczb naturalnych Przykład: t3 = 3 ( 3 + 1) / 2 = 6

Nazwa liczb trójkątnych pochodzi stąd, że tk jest liczbą np Nazwa liczb trójkątnych pochodzi stąd, że tk jest liczbą np. monet jednakowej wielkości z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet. t1 = 1 t2 = 3 t3 = 6

LICZBY KWADRATOWE Nazwa "liczby kwadratowe" pochodzi stąd, że każda taka liczba  o numerze n jest liczbą np. kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku  zbudowanym z n kół.

LICZBY LUSTRZANE Liczby lustrzane - to tak para liczb, z których jedna powstaje przez zapisanie cyfr dziesiętnych drugiej w odwrotnej kolejności (lustrzane odbicie). Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie, np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11.

Liczba złota liczba charakteryzująca złoty podział odcinka. Kolejne przybliżenia liczby złotej można otrzymać obliczając ilorazy sąsiednich liczb Fibonacciego czyli liczb: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ... Ilorazy te są równe: 0, 1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 21/34, 34/55, 55/89...

Jako pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p. n. e Jako pierwszy wyrysował złoty podział Hippasus w V wieku p.n.e. Starożytni Grecy uważali złoty podział za idealną proporcję, którą chętnie realizowali w architekturze. Wielki astronom Kepler powiedział: "Geometria ma dwa cenne skarby: jeden z nich to twierdzenie Pitagorasa, drugi - podział odcinka w stosunku średnim i skrajnym. Pierwsze porównać do miary złota. Drugie jest niby kamień drogocenny". Liczba złota ma ciekawe własności: - aby ją podnieść do kwadratu, wystarczy dodać do niej jedynkę, - aby znaleźć jej odwrotność, wystarczy odjąć jedynkę.

LICZBY PALINDROMICZNE Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy palindromem. Przykłady liczb palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...  

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11, np. 1221:11=192.

W prezentacji wykorzystano materiały zawarte na stronach: http://www

POZDRAWIAMY Z GOŚCINA

POZDRAWIAMY Z WYKŁADU W KOŹMINIE WLKP.