METODY NUMERYCZNE I OPTYMALIZACJA Wydział Elektroniki Kier. Automatyka i Robotyka III r. dr inż. Ewa Szlachcic Zakład Sterowania i Optymalizacji Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska pok. 219 C-3 email: ewa.szlachcic@pwr.wroc.pl Materiały: ewa.szlachcic.staff.iiar.pwr.wroc.pl

Program wykładu Wprowadzenie do metod numerycznych i zadań optymalizacji Definicja zadania optymalizacji i jego klasyfikacja Przykłady praktycznych zadań optymalizacji Metody rozwiązywania układów równań liniowych Metody rozwiązywania równania nieliniowego Metody rozwiązywania układu równań nieliniowych Metody aproksymacji funkcji Metody interpolacji funkcji Metody programowania liniowego PL Metody programowania nieliniowego PN: Metody optymalizacji bez ograniczeń Metody optymalizacji z ograniczeniami Przegląd metod optymalizacji lokalnej i globalnej Techniki meta-heurystyczne optymalizacji – oparte nie tylko na biologii (algorytmy genetyczne, ewolucyjne, immunologiczne, mrówkowe, algorytmy optymalizacji rojem cząstek, poszukiwania harmonii)

Literatura cz. 1 Metody numeryczne Klamka J., Ogonowski Z., Jamicki M., Stasik M., Metody numeryczne, Wyd. Pol Śląskiej Gliwice 2004 Majchrzak E., Mochnacki B., Metody numeryczne, Podstawy teoretyczne, aspekty praktyczne i algorytmy, Wyd. Pol Śląskiej Gliwice 2004 Povstenko J., Wprowadzenie do metod numerycznych, Wyd. Akad. Ofic. Wyd. EXIT, Warszawa 2002 Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, WNT Warszawa 1998 Wanat K., Algorytmy numeryczne, Wyd. Dir, Gliwice, 1993 Bjorck A., Dahlquist G., Metody numeryczne, PWN 1987 Ralston A., Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, 1983 Dryja M., Jankowscy J. i M., Przegląd metod i algorytmów numerycznych, WNT, Warszawa 1982

Literatura cz.2 Metody optymalizacji Stachurski A., Wierzbicki A.P., Podstawy optymalizacji, PWN Warszawa 1999 Cegielski A. Programowanie matematyczne, Wyd. Uniw. Zielonog. 2004 Findeisen S., Szymanowski W., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, PWN, 1987 Garfinkel R.S, Nemhauser G.L., Programowanie całkowitoliczbowe, PWN, Warszawa, 1978 Michalewicz Z., Algorytmy genetyczne+struktury danych= programy ewolucyjne, WNT Warszawa, 1999 Arabas J., Wykłady z algorytmów ewolucyjnych, WNT Warszawa, 2001 Wierzchoń S.T., Sztuczne systemy immunologiczne, Teoria i zastosowania, EXIT Warszawa, 2002.

Układy równań liniowych Należy rozwiązać układ m równań liniowych z n niewiadomymi: (i=1,2,3,…,m) lub w zapisie macierzowym: gdzie: A = [aij] jest macierzą współczynników stopnia [m*n] x-wektor niewiadomych, b- wektor wyrazów wolnych.

Układy równań nieliniowych Układ n równań nieliniowych zawierający n niewiadomych: lub w postaci macierzowej gdzie:

Sformułowanie zadania optymalizacji Wektor zmiennych decyzyjnych x: gdzie: n – ilość zmiennych decyzyjnych.   Funkcja celu (funkcja kryterialna) f(x) : oraz m funkcji ograniczeń gi(x):

Technika optymalizacji Zadanie optymalizacji polega na znalezieniu wektora zmiennych decyzyjnych x, należącego do zbioru rozwiązań dopuszczalnych X w postaci: takiego, że dla Co jest równoznaczne zapisowi:

Programowanie liniowe. Podstawy teoretyczne PL Programowanie liniowe. Podstawy teoretyczne PL. Warunki konieczne i dostateczne optymalizacji liniowej. Metody simpleks, dwufazowy simpleks, dualny simpleks. Inne algorytmy liniowe. Programowanie liniowe ze zmiennymi rzeczywistymi, programowanie liniowe ze zmiennymi dyskretnymi. w tym: Programowanie całkowitoliczbowe liniowe Metody odcięć. Metody podziału i ograniczeń. Klasyczne zadania optymalizacji dyskretnej (problem plecakowy, przydziału, komiwojażera, problemy szeregowania zadań.), przepływy w sieciach i zadania transportowe. Programowanie nieliniowe. Podstawy teoretyczne PN. Warunki konieczne i wystarczające optymalności. Metody dokładne i heurystyczne (m.in.. genetyczne i ewolucyjne) poszukiwania ekstremum bez ograniczeń i z ograniczeniami.

Przykłady praktycznych zastosowań: Optymalne projektowanie procesów technologicznych Identyfikacja procesów technologicznych Optymalne zarządzanie przedsiębiorstwem - minimalizacja kosztów, maksymalizacja zysków w przedsiębiorstwie Polioptymalne zadanie dla modelu gospodarki narodowej (np.: maksymalizacja konsumpcji i środków trwałych oraz minimalizacja poziomu zadłużenia zagranicznego gospodarki) Sterowanie procesem technologicznym Projektowanie efektywnej struktury systemu (np. sieci komputerowej) Projektowanie optymalnego przepływu w sieciach ( sieci dystrybucji wody, sieci dystrybucji gazu, sieci komputerowej) Zadania optymalnego przydziału, zadania dystrybucji produktów Zadania optymalnego rozmieszczenia ( minimalizacja strat czy odpadów- optymalny rozkrój , optymalne cięcie, optymalny kształt)

Zadanie programowania liniowego PL przy ograniczeniach: dim x=n, dim c=n Macierze A1, A2 odpowiadają za współczynniki w m1 i m2 ograniczeniach dim A1 =[m 1 x n], dim A2 =[m 2 x n] Wektory b1, b2 odpowiadają za prawe strony ograniczeń dim b1=m1, dim b2=m2

Zadanie programowania kwadratowego gdzie:: Przykład zadania programowania nieliniowego przy ograniczeniach: