TEORIA ERGODYCZNA Bartosz Frej Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej

Przedmiot zainteresowania Teoria ergodyczna to dziedzina matematyki zajmująca się badaniem przekształceń określonych na pewnych abstrakcyjnych przestrzeniach, ze szczególnym uwzględnieniem asymptotycznych własności tych przekształceń. Pomimo takiej definicji celu badań jest to nauka mocno zakorzeniona w rzeczywistych problemach.

Trochę mechaniki Jeden z klasycznych modeli fizycznych – cząstka w zamkniętym pudle. Do jej opisu potrzebujemy 6 współrzędnych: trzy współrzędne położenia i trzy prędkości (lub pędu).

Trochę mechaniki Znając te współrzędne i znając siły jakie działają na naszą cząstkę możemy z odpowiednich równań obliczyć, jak będzie się poruszała.

Trochę mechaniki Jeśli rozważymy dwie cząstki, będziemy mieć dwanaście współrzędnych w opisie – sześć dla jednej i sześć dla drugiej cząstki. Ogólnie – k cząstek to 6k współrzędnych w równaniach.

Trochę mechaniki Ale co zrobić gdy mamy tyle cząstek, ile dyktuje liczba Avogadra? W praktyce nigdy nie uzyskamy dokładnej informacji o współrzędnych pędu i położenia tylu cząstek, a nawet gdyby, to jaką wartość miałoby w istocie rozwiązanie równań, które mają 1023 niewiadomych? Zakładając, że dałoby się to zrobić...

Mechanika statystyczna Zamiast pytać o szczegółową historię cząstek możemy zadawać pytania innej natury: jakie jest prawdopodo- bieństwo, że układ w trakcie swojej ewolucji będzie się znajdował w jednym ze stanów z wyróżnionego zbioru (np. wszystkie cząstki w jednej połówce pudełka)? Ludwig Boltzmann (1844-1906)‏

Mechanika statystyczna czy układ będzie miał tendencję do powracania do stanu początkowego? czy stan układu będzie dążył do jakiegoś położenia równowagi? Josiah Willard Gibbs (1839-1903)‏

Układ dynamiczny Matematyczny model: X – zbiór wszystkich stanów układu Tt – przekształcenia przestrzeni X, które odpowiadają upływowi czasu t Zakładamy, że Tt+s(x)=Tt(Ts(x)) dla każdego stanu x

Układ dynamiczny W ogóle nie zajmujemy się pytaniem, jaki jest wymiar naszej przestrzeni! Dzięki temu zyskujemy uniwersalność. Dla mola cząstek wymiar będzie duży. Ale dla ruchu wahadła zbiór stanów X może być odcinkiem [-α,α], gdzie α jest maksymalnym wychyleniem wahadła.

Układ dynamiczny Upraszczając sytuację możemy umówić się, że mierzymy stan układu jedyne co pewien czas t', np. co sekundę, i zamiast zestawu przekształceń Tt rozważać tylko to jedno T=Tt'. Otrzymujemy układ dynamiczny (X,T), czyli zbiór z działaniem pewnego przekształcenia – główny obiekt zainteresowania teorii ergodycznej.

Przekształcenie piekarza Znany przykład układ dynamicznego: X = kwadrat, którego bokami są odcinki [0,1)‏ T = przekształcenie kwadratu, w którym kwadrat najpierw ściskamy dwukrotnie w pionie, a następnie przekrawamy na pół i jedną połówkę ustawiamy na drugiej.

Przekształcenie piekarza Ponieważ powyższe przekształcenie kwadratu przypomina czynności wykonywane przy wyrabianiu ciasta, nazywa się je czasem przekształceniem piekarza. Wzór tego przekształcenia: T(x,y)=(2x, 1/2y) dla x<1/2 T(x,y)=(2x - 1, 1/2y + 1) w przeciwnym razie

Co robi przekształcenie piekarza? Rozważmy ciasto-kwadrat z nadzieniem. Zadziałajmy kilkakrotnie przekształceniem piekarza.

To przekształcenie nieźle miesza Jak widać nadzienie zostało równomiernie rozłożone w całym cieście. Mówimy, że przekształcenie piekarza ma własność mieszania. Nie wszystkie przekształcenia kwadratu mają tę cechę!

Kiepskie mieszanie Na przykład T(x,y)=(x+r,y) gdy x+r<1 T(x,y)=(x+r-1,y) w przeciwnym razie tylko przesuwa nadzienie poziomo

P(A∩T-nB) → P(A)∙P(B), gdy n→∞. Mieszanie Mieszanie jest ważnym pojęciem w teorii ergodycznej. Jeśli przez P(A) oznaczymy pole zbioru A, to przekształcenie kwadratu T ma własność mieszania, gdy dla dowolnych zbiorów A i B zachodzi P(A∩T-nB) → P(A)∙P(B), gdy n→∞.

Mieszanie Innymi słowy, przekształcenie T ma własność mieszania, gdy każdy zbiór B jest po odpowiednio wielu iteracjach T równomiernie rozłożony w całej przestrzeni. Jego pole w dowolnym wycinku przestrzeni jest wprost proporcjonalne do pola całego zbioru. Dla ergodyków ciekawe są też pytania jakie jest tempo zbieżności w definicji mieszania i jak zależy ono od wyboru zbiorów A i B.

Wrocławska grupa ergodyków W Instytucie Matematyki i Informatyki PWr teorią ergodyczną zajmuje się grupa 10 osób (w tym 5 doktorantów) pod kierunkiem profesorów Tomasza Downarowicza i Zbigniewa Kowalskiego. Badamy jeszcze ciekawsze rzeczy niż przekształcenie piekarza. Ciastem chętnie zajmujemy się w wolnych chwilach. Zapraszamy!