Wybór wierzchołka przy losowym przeszukiwaniu grafu (PRZYPADEK GRAFU SKIEROWANEGO) autorzy: Michał Przykucki Małgorzata Sulkowska promotor: dr hab. Michał Morayne
Klasyczny problem wyboru najlepszej sekretarki Algorytm optymalny: „czekaj do chwili Tn=min {i: 1/i+1/(i+1)+...+1/(n-1)<1} i w tym lub po tym czasie wybierz pierwszą kandydatkę, która jest najlepsza spośród przesłuchanych (ewentualnie ostatnią)”. Asymptotyka prawdopodobieństwa sukcesu: Po raz pierwszy rozwiązanie ww. problemu opisał w 1961 D.Lindley w pracy Dynamic programming and decision theory.
Analiza przykładowej permutacji sześcioelementowej
Wyszukiwanie jednego z dwóch skrajnych wierzchołków Algorytm optymalny: „zatrzymaj się, gdy obserwowany wierzchołek jest w danej chwili maksymalny bądź minimalny oraz prawdopodobieństwo tego, że poszukiwany wierzchołek znajduje się wśród oczekujących, wynosi zero”. Asymptotyka prawdopodobieństwa sukcesu:
Wyszukiwanie jednego z dwóch najwyższych wierzchołków Algorytm optymalny: „zatrzymaj się, gdy obserwowany wierzchołek jest w danej chwili pierwszy bądź drugi oraz prawdopodobieństwo tego, że wierzchołek drugi całego grafu znajduje się wśród oczekujących, wynosi zero”. Oszacowanie prawdopodobieństwa sukcesu:
Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów Funkcja swobody permutacji Sn: Funkcja swobody drugiego rzędu permutacji Sn: Po sprawdzeniu m wierzchołków ścieżki mamy:
Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów, c.d. Niech teraz m będzie wierzchołkiem maksymalnym grafu indukowanego przez {1 , …, m }. Mamy W sytuacji, gdy m jest drugim wierzchołkiem swojej komponenty, mamy
Dowodzenie optymalności zaprojektowanych algorytmów, c.d. Zatem gdy oraz m jest pierwszym lub drugim wierzchołkiem swojej komponenty, mamy Aby pokazać, iż zatrzymanie się wcześniej, niż nakazuje nasza reguła, nie może dać większego p-stwa sukcesu, stosujemy metodę zliczania prawdopodobieństw zdarzeń elementarnych sprzyjających naszemu algorytmowi. Ostatecznie dostajemy
Dziękuję za uwagę!