Równania diofantyczne 1

Diofantos z Aleksandrii jako pierwszy systematycznie zajął się algebrą, czyli teorią rozwiązywania równań. Diofantos narzucał na rozpatrywane równania takie warunki, aby rozwiązanie zawsze mieściło się w zbiorze liczb dodatnich i wymiernych. Rozważał co prawda zadanie sprowadzające się do równania 4x + 20 = 0, ale twierdził, że to równanie daje absurdalne rozwiązanie, liczby ujemne uważał za niedopuszczalne i je odrzucał. Rozwiązywał za to równania kwadratowe, układy równań kwadratowych, pisał o liczbach trójkątnych i kwadratowych oraz ustalał zależności między nimi. 

ILE LAT ŻYŁ DIOFANTOS?

W XIV wieku grecki mnich Maksymus Planudes umieścił w swojej antologii wiersz „Epitafium Diofanta”. Jego treść jest jednocześnie zadaniem tekstowym: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant – a dzięki przedziwnej Sztuce zmarłego i wiek zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część Życia minęła; a znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg, Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka, Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek Ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

ROZWIĄZANIE: x – czas życia Diofantosa 1/6x – jego dzieciństwo 1/12x – okres młodości 1/7x – czas między wiekiem młodzieńczym a ślubem 5 – lata oczekiwania na syna 1/2x – czas życia syna 4 – czas, jaki Diofantos żył po śmierci syna Rozwiązanie zadania polega na ułożeniu prostego równania z jedną niewiadomą: 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x Stąd po wykonaniu prostych działań otrzymujemy x = 84, czyli Diofantos żył 84 lata. 

ZADANIA DIOFANTOSA

Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco: Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół.

Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco: Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół.

Twierdzenie Diofantosa, że ośmiokrotnie wzięta liczba powiększona o jedność jest zawsze kwadratem, pokazuje poniższy rysunek:

RÓWNANIA DIOFANTYCZNE Równaniem diofantycznym nazywamy równanie o dwóch lub więcej niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Nazwa tego typu równań pochodzi od imienia Diofantosa. Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania: * Czy ma ono rozwiązania? * Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)? * Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

NWD Twierdzenie Jeśli a oraz b są liczbami całkowitymi, nie równocześnie równymi zero, to istnieją liczby całkowite x oraz y spełniające równanie diofantyczne NWD(a, b) = xa + by.

NWD(309,186) Stosujemy algorytm Euklidesa do obliczenia NWD(309,186) 309 = 1 · 186 + 123 186 = 1 · 123 + 63 123 = 1 · 63 + 60 63 = 1 · 60 + 3 60 = 20 · 3 + 0 Wtedy mamy NWD(309, 186) = 3 oraz 3 = 63 − 1 · 60 = = 63 − 1 · (123 − 1 · 63) = 2 · 63 − 1 · 123 = = 2 · (186 − 1 · 123) − 1 · 123 = 2 · 186 − 3 · 123 = = 2 · 186 − 3 · (309 − 1 · 186) = = −3 · 309 + 5 · 186 Zatem 3 = −3 · 309 + 5 · 186 i rozwiązanie naszego równania diofantycznego jest postać x = −3, y = 5. 11-5-31

Równanie ax + by = c Twierdzenie Równanie diofantyczne ax+by = c posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) dzieli c. Jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania ax + by = c to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: x = x0 + · t , y = y0 − · t gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. Zatem nasze wcześniejsze równanie diofantyczne 309x + 186y = 3 ma nieskończenie wiele rozwiązań i są one postaci x = −3 + 62 · t, y = 5 − 103 · t, gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą. 11-5-31

Przykłady równań diofantycznych Równanie 2x+1=y2 ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3) xy=yx ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy x=2, y=4 oraz x=4, y=2 11-5-31

Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie Zadanie 1. Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie: 1001x + 35y = 49 Rozwiązanie Obliczmy NWD(1001, 35) stosując algorytm Euklidesa. 1001 = 28 · 35 + 21 2 · (1001 − 28 · 35) − 1 · 35 =2 · 1001 − 57 · 35 35 = 1 · 21 + 14 21 − 1 · (35 − 1 · 21) = 2 · 21 − 1 · 35 =21 − 1 · 14 =7 21 = 1 · 14 + 7 14 = 21 · 7 + 0 Stad 2 · 1001 − 57 · 35 = 7 i mnożąc obie strony przez 7 mamy 14 · 1001 + (−399) · 35 = 49 Para x0 = 14, y0 = −399 jest rozwiązaniem. Zatem wszystkie rozwiązania naszego równania są postaci: x =x0 + · t = 14 + 5 · t y =y0 − · t = −399 − 143 · t t − liczba całkowita. 11-5-31

Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, Zadanie 2 Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Znajdź wszystkie możliwe sposoby zakupu. Rozwiązanie Jeśli x jest liczba biletów po 3 zł, a y jest liczba biletów po 5 zł, to 3x + 5y = 149. Otrzymujemy: x = 298 + 5 · t y = −149 − 3 · t, t − liczba całkowita Liczby biletów muszą być liczbami nieujemnymi. Należy zatem dobrać takie t, aby x = 298 + 5 · t ≥ 0, y = −149 − 3 · t ≥ 0. Po prostych przekształceniach tych nierówności mamy y = −149 − 3 · t, −59 ≤ t ≤ −50. 11-5-31

Odpowiedź Bilety można zakupić na 10 różnych sposobów t −59 −58 −57 −56 −55 −54 −53 −52 −51 −50 x 3 8 13 18 23 28 33 38 43 48 y 25 22 19 16 10 7 4 1 11-5-31

A oto kilka zadań, które rozwiązaliśmy na tablicy 11-5-31

Wyznacz liczby n spełniające równanie: (n+3)(n+4)(n+5)=1320 Rozwiązanie: Liczbę 1320 rozkładamy na czynniki pierwsze 1320=23*3*5*11 Następnie wybieramy trzy dzielniki tej liczby których iloczyn wynosi 1320 i są trzema kolejnymi liczbami naturalnymi 10,11,12 Stąd n=7 11-5-31

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie Rozwiązanie I xy+3x-2y=36 Przekształcamy do postaci x(y+3)-2(y+3)=30 Stąd (x-2)(y-3)=30 Liczby x-2 i y-3 są całkowite, zaś 30 można przedstawić w postaci 30=1*30=30*1=2*15=15*2=3*10=10*3=5*6=6*5 11-5-31

Rozważane równanie jest równoważne alternatywie układów równań x-2=1 Po wstawieniu kolejnych postaci liczby 30 otrzymamy wyniki: (3,27), (4,12), (5,7), (7,3), (8,2) 11-5-31

Tak jak tutaj 11-5-31

Rozwiązanie II Wyznaczamy z równania zmienną x x=36+2y/y+3 Stąd Szukana liczba x będzie naturalna, gdy 30/y+3 będzie liczbą całkowitą, tzn. y+3 będzie dzielnikiem liczby 30. Zachodzi to wtedy, gdy y+3 przyjmuje jedną z wartości 1,2,3,5,6,10,15,30 oraz y jest liczbą naturalną. Stąd y należy do {2,3,7,12,27}. 11-5-31

A tu kilka przykładów do samodzielnego wykonania. (2x+y)(5x+3y)=7 xy=x+y+3 x2=14+y2 x2+y2=x+y+2 x2-7y=10 11-5-31

Równanie diofantyczne posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy Równanie a1x1 + ... + anxn = b Twierdzenie Równanie diofantyczne a1x1 + ... + anxn = b posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1, ..., an)|b. 11-5-31

Jak rozwiązać równanie a1x1 + ... + anxn = b, gdy NWD(a1, ..., an) dzieli b? 11-5-31

Zadanie Rozwiąż równanie diofantyczne 12x + 15y + 7z = 11. Rozwiązanie Ponieważ NWD(12, 15) = 3, więc 12x + 15y = 3(4x + 5y) = 3w. Zatem nasze równanie możemy zastąpić układem równań 12x + 15y = 3w 3w + 7z = 11 . Najpierw rozwiązujemy drugie równanie znanym nam sposobem otrzymując rozwiązanie z = 11 − 3 · u, w = −22 + 7 · u. Teraz wstawiamy wyliczone w do pierwszego równania Otrzymując 12x + 15y = 3(−22 + 7u). 11-5-31

cd. rozwiązania Po podzieleniu obu stron przez 3 mamy 4x + 5y = −22 + 7u. Ponieważ NWD(4, 5) = 1, wiec najpierw szukamy konkretnego rozwiązania równania 4x + 5y = 1. 4 · (−1) + 5 · 1 = 1. wiec 4 · (22 − 7u) + 5 · (−22 + 7u) = −22 + 7u. Odpowiedź: Rozwiązaniem naszego wyjściowego równania jest trójka liczb postaci x = 22 − 7u + 5t y = −22 + 7u − 4t z = 11 − 3u gdzie t oraz u są dowolnymi liczbami całkowitymi. 11-5-31

Równanie Pitagorasa Istnieje trójkąt prostokątny, którego boki maja długości 3, 4 oraz 5. Jakie inne trójkąty prostokątne, których boki są liczbami naturalnymi, można skonstruować? Prowadzi to do wyznaczenia rozwiązań równania diofantycznego x2 + y2 = z2 zwanego równaniem Pitagorasa. Trójka x0, y0, z0 jest rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej d trójka dx0, dy0, dz0 tez jest rozwiązaniem tego równania, bo (dx0)2 + (dy0)2 = (dz0)2 ↔ x20+ y20 = z20 11-5-31

Wnioski Bardzo częstym zadaniem na konkursach matematycznych, w których członkowie naszych grup biorą udział- jest zagadnienie rozwiązywania równań lub układów równań w liczbach całkowitych lub naturalnych. Ale dopiero przygotowując prezentację dowiedzieliśmy się ,że są to równania diofantyczne, a ich rozwiązania często związane są z bardzo pomysłowymi rozumowaniami.

Bibliografia W.Sierpiński ,, Czym zajmuje się teoria liczb” W. Sierpiński ,, O rozwiązywaniu równań w liczbach całkowitych” A.P. Juszkiewicz ,, Historia Matematyki” Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,,O liczbach i równaniach” Z. Bobiński,P. Jarek, A. Świątek, M. Uscki ,, Miniatury matematyczne” Zasoby internetowe